高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)5 第5講　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)課標(biāo)要求考情分析1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.直線、平面垂直的判定及性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng)用、直線與平面所成的角等內(nèi)容．多出現(xiàn)在解答題的第(1)問，難度中等.核心素養(yǎng)：邏輯推理、直觀想象1．直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α常用結(jié)論1．三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質(zhì)定理))線面垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質(zhì)定理))面面垂直．2．直線與平面垂直的常用結(jié)論(1)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；(2)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直；(3)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．【小題自測】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)已知直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.()(2)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(3)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，若m∥n，m⊥α，則n⊥α.()(4)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．()(5)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：選C.由PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，A正確；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即B，D正確．3．已知直線l和平面α，β，且l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.由面面垂直的判定定理可得，若l?α，l⊥β，則α⊥β，充分性成立；若l?α，α⊥β，則l不一定垂直于β，必要性不成立；所以若l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件，故選A.4．(教材改編)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7對．答案：7考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)(多維探究)考向1證明線面垂直(2022·東北三省四市聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)．(1)證明：DE⊥平面BB1C1C；(2)求三棱錐D-EBC的體積與三棱柱ABC-A1B1C1體積的比值．【解】(1)證明：取BC的中點(diǎn)為F，連接AF，EF(圖略)，因?yàn)锽B1⊥平面ABC，AF?平面ABC，所以BB1⊥AF.因?yàn)锳B＝AC，BF＝CF，所以BC⊥AF.又BB1∩BC＝B，所以AF⊥平面BB1C1C.因?yàn)锳D綊eq\f(1,2)BB1，EF綊eq\f(1,2)BB1，所以AD綊EF，所以四邊形DEFA為平行四邊形，所以DE∥AF，所以DE⊥平面BB1C1C.(2)VD-EBC＝eq\f(1,3)·S△BCE·DE＝eq\f(1,3)×eq\f(6×3,2)×4＝12.VABC-A1B1C1＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×6×4×6＝72.所以三棱錐D-EBC的體積與三棱柱ABC-A1B1C1體積的比值為eq\f(1,6).判定線面垂直的四種方法考向2證明線線垂直(巧用結(jié)論1)如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f(1,3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求證：PA⊥CD.【證明】因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由eq\r(3)AC＝BC得∠ABC＝30°，設(shè)AD＝1，由3AD＝DB得DB＝3，BC＝2eq\r(3)，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因?yàn)镻D⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又因?yàn)镻A?平面PAB，所以PA⊥CD.證明線線垂直的基本方法(1)證明一條直線垂直于經(jīng)過另一直線的平面，稱之為線面垂直法；(2)計(jì)算兩條直線所成角等于90°，稱之為計(jì)算角度法．【對點(diǎn)訓(xùn)練】S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC，所以DE⊥AB，因?yàn)镾A＝SB，所以△SAB為等腰三角形，所以SE⊥AB.又SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，所以AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.又AC∩AB＝A，所以SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，則BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，所以SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)(師生共研)(2022·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.證明：平面ACD⊥平面ABC.【證明】如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，OD.因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以O(shè)B⊥AC.在△ABD與△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，所以△ABD≌△CBD(SAS)，所以AD＝CD.因?yàn)椤鰽CD是直角三角形，所以AC是斜邊，所以∠ADC＝90°，所以DO＝AO＝eq\f(1,2)AC.所以DO2＋BO2＝AO2＋BO2＝AB2＝BD2，所以∠BOD＝90°，所以O(shè)B⊥OD.又DO∩AC＝O，所以O(shè)B⊥平面ACD.又OB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.證明面面垂直的2種方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．(2021·高考全國卷乙節(jié)選)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM.證明：平面PAM⊥平面PBD.證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，所以PD⊥AM.因?yàn)镻B⊥AM，且PB∩PD＝P，PB?平面PBD，PD?平面PBD，所以AM⊥平面PBD.又AM?平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD.2.如圖，已知△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)E與點(diǎn)D在平面ABC的同側(cè)，且CE∥BD，BD＝2CE.F為AD的中點(diǎn)，連接EF.(1)求證：EF∥平面ABC；(2)求證：平面AED⊥平面ABD.證明：(1)如圖，取AB的中點(diǎn)為O，連接OC，OF，因?yàn)镺，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥BD且BD＝2OF，又CE∥BD且BD＝2CE，所以CE∥OF且CE＝OF，所以四邊形OCEF為平行四邊形，所以EF∥OC.又EF?平面ABC且OC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槿切蜛BC為等邊三角形，所以O(shè)C⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，所以O(shè)C⊥平面ABD，因?yàn)镋F∥OC，所以EF⊥平面ABD，又EF?平面AED，所以平面AED⊥平面ABD.助學(xué)培優(yōu)14立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng)，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化．立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求軌跡的長度等．類型一判定動(dòng)點(diǎn)軌跡的形狀如圖，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點(diǎn)，H是點(diǎn)B在AC上的射影，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡()A．是圓 B．是橢圓C．是拋物線 D．不是平面圖形【解析】如圖，過點(diǎn)B作圓的直徑BD，連接CD，AD，則BC⊥CD，再過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接HE，因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.又注意到過點(diǎn)B與直線AD垂直的直線都在同一個(gè)平面內(nèi)，于是結(jié)合點(diǎn)B，E位置，可知，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡是以BE為直徑的圓．【答案】A類型二求動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．【解析】如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點(diǎn)M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，D1M⊥B1C1，且D1M＝eq\r(3).由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點(diǎn)．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點(diǎn)P，使MP＝eq\r(2)，連接D1P，則D1P＝eq\r(D1M2＋MP2)＝eq\r(（\r(3)）2＋（\r(2)）2)＝eq\r(5)，連接MG，MH，易得MG＝MH＝eq\r(2)，故可知以M為圓心，eq\r(2)為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以eq\o(GH,\s\up8(︵))的長為eq\f(1,4)×2π×eq\r(2)＝eq\f(\r(2)π,2).【答案】eq\f(\r(2)π,2)解答這類問題的關(guān)鍵是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，一般可以從兩方面考慮：一是利用曲線的定義；二是利用解析法求出軌跡方程．【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足MP＝MC，則點(diǎn)M的軌跡為()解析：選A.取AD的中點(diǎn)E，連接PE，PC，CE，取PC，AB的中點(diǎn)F，G，連接DF，DG，F(xiàn)G，易知PE⊥平面ABCD，從而PE⊥DG，又易知DG⊥EC，EC∩PE＝E，所以DG⊥平面PEC，又PC?平面PEC，所以DG⊥PC，由PD＝DC知DF⊥PC，DF∩DG＝D且DF，DG?平面DFG，所以PC⊥平面DFG，又F是PC的中點(diǎn)，所以平面DFG上的點(diǎn)到點(diǎn)P，C的距離相等，又平面DFG∩平面ABCD＝DG，所以線段DG上的M點(diǎn)應(yīng)滿足MP＝MC.故選A.2.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在正方體的底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡的面積是________．解析：如圖，連接DN，則△MDN為直角三角形，在Rt△MDN中，MN＝2，P為MN的中點(diǎn)，連接DP，則DP＝1，所以點(diǎn)P在以D為球心，半徑R＝1的球面上，又因?yàn)辄c(diǎn)P只能落在正方體上或其內(nèi)部，所以點(diǎn)P的軌跡的面積等于該球面面積的eq\f(1,8)，故所求面積S＝eq\f(1,8)×4πR2＝eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)[A級基礎(chǔ)練]1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n解析：選C.由題意知，α∩β＝l，所以l?β，因?yàn)閚⊥β，所以n⊥l.2．已知△ABC所在的平面為α，l，m是兩條不同的直線，l⊥AB，l⊥AC，m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．不確定解析：選C.因?yàn)閘⊥AB，l⊥AC，AB，AC?α，又AB∩AC＝A，所以l⊥α.同理可證m⊥α，所以l∥m.3．(2022·四川天府名校4月診斷測試)已知a，b為不同的直線，α，β為不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是()A．若a⊥α，b∥α，則b⊥aB．若a?α，α∥β，則a∥βC．若a∥α，b⊥β，a∥b，則α⊥βD．若α∩β＝b，a?α，a⊥b，則α⊥β解析：選D.對于A，若a⊥α，則a垂直于α內(nèi)的所有直線及與α平行的所有直線，又b∥α，則b⊥a，故A正確；對于B，a?α，α∥β，根據(jù)兩平面平行的定義，可得a∥β，故B正確；對于C，若b⊥β，a∥b，則a⊥β，又a∥α，所以α⊥β，故C正確；對于D，若α∩β＝b，a?α，a⊥b，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出a⊥β，即不能得出α⊥β，故D錯(cuò)誤．故選D.4.如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：選C.因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)，若AP⊥D1M，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為()A．兩個(gè)點(diǎn) B．線段C．圓的一部分 D．拋物線的一部分解析：選B.如圖，取B1B的中點(diǎn)E，CB的中點(diǎn)F，連接AE，EF，AF，DM.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，易證DM⊥AF，DD1⊥AF，則有AF⊥平面DMD1，所以AF⊥MD1，同理MD1⊥AE，則MD1⊥平面AEF.又點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)P的軌跡為線段EF.6．已知△ABC在平面α內(nèi)，∠A＝90°，DA⊥平面α，則直線CA與DB的位置關(guān)系是________．解析：因?yàn)镈A⊥平面α，AC?平面α，所以DA⊥CA，在△ABC中，因?yàn)椤螦＝90°，所以AB⊥CA，且DA∩BA＝A，DA，BA?平面ADB，所以CA⊥平面DAB，因?yàn)镈B?平面DAB，所以CA⊥DB.答案：垂直7．(2022·長春第三次聯(lián)考)已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β；③若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m⊥n；④若m∥n，n?α，α∥β，m?β，則m∥β.其中正確的是________．(填序號)解析：若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則利用線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定可知α⊥β，故①正確；若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β或α與β相交，故②不正確；若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m與n平行、相交或異面，但m與n不一定垂直，故③不正確；若m∥n，n?α，α∥β，m?β，則m∥β，故④正確．答案：①④8.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為________．解析：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，連接PM.因?yàn)镻C⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以PC⊥AB.又因?yàn)镻C∩CM＝C，所以AB⊥平面PCM.又因?yàn)镻M?平面PCM.所以PM⊥AB，此時(shí)PM最短．因?yàn)椤螧AC＝60°，∠ACB＝90°，AB＝8，所以AC＝ABcos60°＝4，所以CM＝ACsin60°＝2eq\r(3).因?yàn)镻C⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PC⊥CM.因?yàn)樵赗t△PCM中，CM＝2eq\r(3)，PC＝4，所以PM＝eq\r(CM2＋PC2)＝eq\r(（2\r(3)）2＋42)＝2eq\r(7).答案：2eq\r(7)9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC.證明：(1)因?yàn)镻C⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PC⊥DC.又因?yàn)锳C⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因?yàn)锳B∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PC⊥AB.又因?yàn)镻C∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.10．(2021·高考全國卷甲)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積；(2)已知D為棱A1B1上的點(diǎn)，證明：BF⊥DE.解：(1)如圖，取BC的中點(diǎn)為M，連接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝eq\f(1,2)AB＝1，AB∥A1B1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，故V三棱錐F-EBC＝V三棱錐E-FBC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BC×CF×EM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).(2)證明：連接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1內(nèi)．在正方形CC1B1B中，由于F，M分別是CC1，BC的中點(diǎn)，所以由平面幾何知識可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE?平面EMB1A1，所以BF⊥DE.[B級綜合練]11.(2021·高考浙江卷)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點(diǎn)，則()A．直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCDB．直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1C．直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCDD．直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1解析：選A.連接AD1，則易得點(diǎn)M在AD1上，且AD1⊥A1D.因?yàn)锳B⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，所以A1D⊥平面ABD1，所以A1D與BD1異面且垂直．在△ABD1中，由中位線定理可得MN∥AB，所以MN∥平面ABCD.易知直線AB與平面BB1D1D成45°角，所以MN與平面BB1D1D不垂直．所以選項(xiàng)A正確．12．(2022·安徽省名校實(shí)驗(yàn)班大聯(lián)考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M為CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在側(cè)面ADD1A1內(nèi)，若BM⊥A1N，則△ABN面積的最小值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．1D．5解析：選B.如圖，設(shè)M′為DD1的中點(diǎn)，連接AM′，則易證AM′∥BM，設(shè)N′為AD的中點(diǎn)，連接A1N′，易證A1N′⊥AM′，故當(dāng)點(diǎn)N在側(cè)面ADD1A1內(nèi)且在A1N′上時(shí)，BM⊥A1N.因?yàn)锳B⊥平面ADD1A1，故求△ABN面積的最小值，即求A1N′上到點(diǎn)A的距離最近的點(diǎn)，顯然AM′與A1N′的交點(diǎn)O符合題意．易得AO＝eq\f(2\r(5),5)，所以△ABN面積的最小值為eq\f(1,2)×2×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),5)，故選B.13.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)在BB1上．(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B；(2)在下列給出的三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可以使AB1⊥平面C1DF？請選擇并證明你的結(jié)論．①F為BB1的中點(diǎn)；②AB1＝eq\r(3)；③AA1＝eq\r(2).解：(1)證明：因?yàn)锳BC-