江蘇省無(wú)錫市第三高級(jí)中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)模擬試題含解析

江蘇省無(wú)錫市第三高級(jí)中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓上不存在點(diǎn)，使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．若，（），則，的大小關(guān)系是A. B.C. D.，的大小由的取值確定5．在正三棱錐S?ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱，則正三棱錐S?ABC外接球的表面積是（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則的值為（）A. B.C. D.27．直線(xiàn)的傾斜角，則其斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.9．“”是“直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家程大位（1533-1606年）所著.該書(shū)中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數(shù)是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.111．已知橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn),則的值為A. B.C. D.12．已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫(xiě)出一個(gè)離心率且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程________,并寫(xiě)出該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程________14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為5，若，那么△的周長(zhǎng)是______.15．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______16．已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y0＞0）到焦點(diǎn)的距離為2，則p＝__三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已如空間直角標(biāo)系中，點(diǎn)都在平面內(nèi)，求實(shí)數(shù)y的值18．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓A：的圓心為A，過(guò)點(diǎn)B(，0)任作直線(xiàn)l交圓A于點(diǎn)C、D，過(guò)點(diǎn)B作與AD平行的直線(xiàn)交AC于點(diǎn)E.（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的軌跡與y軸正半軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且斜率為k1，k2的兩直線(xiàn)交動(dòng)點(diǎn)E的軌跡于M、N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，若，證明：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn).19．（12分）已知圓.（1）若直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求直線(xiàn)的方程；（2）若斜率為1的直線(xiàn)被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)圓的圓心，求直線(xiàn)的方程.20．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若在處取得極值，求a的值；（2）若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓C上，直線(xiàn)PA交x軸于點(diǎn)M（1）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)PB交x軸于點(diǎn)N，問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q（不與O重合），使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)，根據(jù)題意，可知的方程為直線(xiàn)，根據(jù)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離建立方程，求出，進(jìn)而求出，的值，以及到直線(xiàn)的距離，再根據(jù)面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，即，；所以直線(xiàn)的方程為，所以到直線(xiàn)的距離為；又，所以的面積為.故選：C.2、C【解析】取的中點(diǎn)，連接，易證平面，進(jìn)一步得到線(xiàn)面角，再解三角形即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點(diǎn)，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C3、C【解析】點(diǎn)P取端軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，使得∠F1PF2是最大角．已知橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2是鈍角，可得b≥c，利用離心率計(jì)算公式即可得出【詳解】∵點(diǎn)P取端軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，使得∠F1PF2是最大角已知橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2是鈍角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a∴故選C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).4、A【解析】∵且，∴，又，∴，故選A.5、A【解析】由題意推出平面，即平面，，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，求出直徑即可求出球的體積【詳解】∵，分別為棱，的中點(diǎn)，∴，∵三棱錐為正棱錐，作平面，所以是底面正三角的中心，連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因?yàn)镾?ABC是正三棱錐。所以，以，，為從同一定點(diǎn)出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補(bǔ)成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的體對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，，所以.故選：A.6、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，且等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以，即.故選：B7、B【解析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，確定正確選項(xiàng).【詳解】直線(xiàn)的傾斜角為，則斜率為，在上為增函數(shù).由于直線(xiàn)的傾斜角，所以其斜率的取值范圍為，即.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為22.故選：C.9、A【解析】根據(jù)直線(xiàn)垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直，則，解得或，則“”是“直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直”的充分非必要條件.故選：A.10、A【解析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式和求和公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)這個(gè)塔頂層有盞燈，則問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為381，所以，解得，所以這個(gè)塔的最底層有盞燈.故選：A.11、C【解析】根據(jù)題意可知，結(jié)合的條件，可知，故選C考點(diǎn)：橢圓和雙曲線(xiàn)性質(zhì)12、A【解析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系，即可判斷位置關(guān)系.【詳解】對(duì)圓，其圓心，半徑；對(duì)圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令雙曲線(xiàn)為，根據(jù)離心率可得，結(jié)合雙曲線(xiàn)參數(shù)關(guān)系寫(xiě)出一個(gè)符合要求的雙曲線(xiàn)方程，進(jìn)而寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】由題設(shè)，可令雙曲線(xiàn)為且，∴，則，故為其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)漸近線(xiàn)方程為.故答案為：，(答案不唯一).14、16【解析】利用橢圓的定義可知，又△的周長(zhǎng)，即可求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng).【詳解】由橢圓定義知：，所以△的周長(zhǎng)為.故答案為：16.15、【解析】利用焦點(diǎn)坐標(biāo)為求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，所以焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案：16、2【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，即可求解【詳解】解：∵拋物線(xiàn)C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y0＞0）到焦點(diǎn)的距離為2，∴由拋物線(xiàn)的定義可得，，解得p＝2故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】方法一：根據(jù)平面向量基本定理即可解出；方法二：先求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)即可求出【詳解】方法一：，由題意知A，B，C，P四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足∵，∴∴，而，∴方法二：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∴取，則，∵，∴，解得18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)作出圖象，易知|EB|＋|EA|為定值，根據(jù)橢圓定義即可判斷點(diǎn)E的軌跡，從而寫(xiě)出其軌跡方程；(2)設(shè)，當(dāng)直線(xiàn)MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，聯(lián)立MN方程和E的軌跡方程得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)解出k與m的關(guān)系即可以判斷MN過(guò)定點(diǎn)；最后再考慮MN斜率不存在時(shí)是否也過(guò)該定點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】由圓A：可得(，∴圓心A(－，0)，圓的半徑r＝8，，，可得，，，由橢圓的定義可得：點(diǎn)E的軌跡是以A(，0)、B(，0)為焦點(diǎn)，2a＝8的橢圓，即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，∴動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，P(0，3)，設(shè)，當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，由，可得，∴，，∵，∴，即，整理可得：，∴k＝m＋3或m＝3，當(dāng)m＝3時(shí)，直線(xiàn)MN的方程為：，此時(shí)過(guò)點(diǎn)P(0，3)不符合題意，∴k＝m＋3，∴直線(xiàn)MN的方程為：此時(shí)直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)(－1，－3)，當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí)，，，解得，此時(shí)直線(xiàn)MN的方程為：，過(guò)點(diǎn)(－1，－3)，綜上所述：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)(－1，－3).19、（1）（或（2）或【解析】(1)由條件可得，由此可求直線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式求直線(xiàn)的方程；(2)由條件可求到直線(xiàn)的距離，利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】圓，得圓心，半徑，直線(xiàn)的斜率：，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，有，解得.所求直線(xiàn)的方程為：.（或【小問(wèn)2詳解】直線(xiàn)m被圓C截得的弦EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)圓心C，∴圓心C到直線(xiàn)的距離為.設(shè)直線(xiàn)方?為，則解得或直線(xiàn)的方程為：或20、（1）（2）【解析】(1)對(duì)求導(dǎo),再根據(jù)題意有,據(jù)此列式求出;(2)由題可知對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,因此求出在區(qū)間上的最小值即可得出結(jié)論.【詳解】(1),則,因?yàn)樵谔幦〉脴O值,所以,解得,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),在處取得極值;(2)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以對(duì)恒成立,則對(duì)恒成立,∵當(dāng)時(shí),,∴,即a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性與極值求參,需要學(xué)生對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)牢固掌握且靈活運(yùn)用.21、（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】（1）利用及已知即可得到證明，從而求得通項(xiàng)公式；（2）先求出通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】因，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，又，解