2024屆湖北省十堰市張灣區(qū)東風(fēng)高中高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆湖北省十堰市張灣區(qū)東風(fēng)高中高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.2．在平行六面體中，點(diǎn)P在上，若，則（）A. B.C. D.3．已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.4．已知曲線，則曲線W上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值是（）A. B.C. D.5．一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.5 B.6C.7 D.86．設(shè)直線與雙曲線（，）的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.7．若圓與圓外切，則（）A. B.C. D.8．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A. B.C. D.9．已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，從中隨機(jī)選一人，則此人恰是色盲的概率是（）A.0.01245 B.0.05786C.0.02865 D.0.0374511．已知，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.2 D.12．已知三棱錐，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，用表示，則等于()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，且，，，，，則的長(zhǎng)______14．動(dòng)直線，恒過(guò)的定點(diǎn)是________15．已知點(diǎn)，則線段的垂直平分線的一般式方程為_(kāi)_________.16．若，滿足不等式組，則的最大值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，：，：.（1）若，為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知一張紙上畫(huà)有半徑為4圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)曲線C的右焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)為）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.19．（12分）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上位于第二象限的任一點(diǎn)，直線l是的外角平分線，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為N，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T在線段AB上，且，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R，求面積的取值范圍.20．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答下列題目設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且______（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知點(diǎn)F是拋物線和橢圓的公共焦點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點(diǎn)，與橢圓交于，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.求的最大值及相應(yīng)的.22．（10分）（1）已知雙曲線的離心率為2，求E的漸近線方程；（2）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，且，求C的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B2、C【解析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以有，因此，故選：C3、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤正確；當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，作差法判斷大小，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用.4、A【解析】化簡(jiǎn)方程，得到，求出的范圍，作出曲線的圖形，通過(guò)圖象觀察，即可得到原點(diǎn)距離的最小值詳解】解：即為，兩邊平方，可得，即有，則作出曲線的圖形，如下：則點(diǎn)與點(diǎn)或的距離最小，且為故選：A5、B【解析】求出樣本的中心點(diǎn)，再利用回歸直線必過(guò)樣本的中心點(diǎn)計(jì)算作答.【詳解】依題意，，則這個(gè)樣本的中心點(diǎn)為，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為6.故選：B6、C【解析】先求出，的坐標(biāo)，再求中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)滿足，可得，從而求雙曲線的離心率.【詳解】解:由雙曲線方程可知，漸近線為，分別于聯(lián)立，解得：，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，所以，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.7、C【解析】求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合兩圓相外切，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓可得，，因?yàn)閮蓤A相外切，可得，解得故選：C.8、C【解析】設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出的重心并代入歐拉線方程，驗(yàn)證并排除部分選項(xiàng)，余下選項(xiàng)再由外心、垂心驗(yàn)證判斷作答.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心坐標(biāo)為，依題意，，整理得：，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除A；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除D；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，直線AB的斜率，線段AB中點(diǎn)，線段AB中垂線方程：，即，由解得：，于是得的外心，若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，該點(diǎn)與點(diǎn)M確定直線斜率為，顯然，即點(diǎn)M不在線段BC的中垂線上，不滿足題意，排除B；若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，線段BC中垂線方程為：，即，由解得，即點(diǎn)為的外心，并且在直線上，邊AB上的高所在直線：，即，邊BC上的高所在直線：，即，由解得：，則的垂心，此時(shí)有，即的垂心在直線上，選項(xiàng)C滿足題意.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三頂點(diǎn)，則的重心為.9、B【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，的不等式，結(jié)合可得離心率的取值范圍【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對(duì)稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因?yàn)?，所以，，即，所以，即，即，故，所?故選：B10、D【解析】設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】用事件A，B分別表示隨機(jī)選1人為男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，則，且A，B互斥，故故選：D11、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因，，又，則，解得，所以實(shí)數(shù).故選：D12、D【解析】連接，利用，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】連接，如下圖.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】推導(dǎo)出，從而，結(jié)合，，，能求出的長(zhǎng)【詳解】二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面、內(nèi)，且所以,所以，，，的長(zhǎng)故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的運(yùn)算法則以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，是中檔題14、【解析】將直線方程轉(zhuǎn)化為，從而可得，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直線恒過(guò)定點(diǎn)（2，2）故答案為：15、【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點(diǎn)和直線斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，的中點(diǎn)為，可得直線的斜率為，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：16、10【解析】作出不等式區(qū)域,如圖所示:目標(biāo)最大值,即為平移直線的最大縱截距,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大為10.故答案為10.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)化簡(jiǎn)命題p，將m=3代入求出命題q，再根據(jù)或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，：，：，得：.當(dāng)時(shí)，：，因?yàn)檎婷}，為假命題，則與一真一假，當(dāng)真假時(shí)，即或，無(wú)解，當(dāng)假真時(shí)，即或，解得或，綜上得：或，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是；【小問(wèn)2詳解】因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是18、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓；(2)分為l斜率存在和不存在時(shí)討論，斜率存在時(shí)，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示的面積，根據(jù)變量范圍可求面積的最大值﹒【小問(wèn)1詳解】以O(shè)A中點(diǎn)G坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：∴可知，，設(shè)折痕與和分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，則的周長(zhǎng)為當(dāng)軸時(shí)，l的方程為，，，當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，由得，∵＞0，∴，，，令，則，，∵，∴，∴.綜上可知，S的取值范圍是19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得到的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進(jìn)一步推得，于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長(zhǎng)，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，,①當(dāng)過(guò)的直線與軸垂直時(shí)，，,②當(dāng)過(guò)的直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)，，直線方程為,聯(lián)立,可得：.,,,由弦長(zhǎng)公式可知，到距離為,故，令，則原式變?yōu)椋?，原式變?yōu)楫?dāng)時(shí)，故，由①②可知.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時(shí)的三角形的面積問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是計(jì)算三角形面積時(shí)要理清運(yùn)算的思路，準(zhǔn)確計(jì)算.20、（1）；（2）.【解析】（1）選擇不同的條件，再通過(guò)構(gòu)造數(shù)列以及累乘法即可求得對(duì)應(yīng)情況下的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再利用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和即可.【小問(wèn)1詳解】選①：∵，即，∴.即，∴數(shù)列是常數(shù)列，∴，故；選②：∵，∴時(shí)，，則，即∴，∴；當(dāng)時(shí)，也滿足，∴；選③：得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1則，∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）知當(dāng)時(shí)，，∴又∵時(shí)，，符合上式，∴∴∴而相減得∴.21、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)，，計(jì)算可得，最后可得結(jié)果.（2）假設(shè)直線的方程為，根據(jù)與拋物線相切，可得，然后與橢圓聯(lián)立，計(jì)算，然后計(jì)算點(diǎn)到的距離，計(jì)算，利用函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解