考研復習高等數(shù)學微分方程-常系數(shù)齊次

常系數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束微分方程-第八節(jié)齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化第十二章二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.當時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.當時,特征方程有一對共軛復根這時原方程有兩個復數(shù)解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束小結(jié):特征方程:實根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束若特征方程含k

重復根若特征方程含k

重實根r,則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項特征方程:推廣:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.求解初值問題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.解:由第七節(jié)例1(P293)

知,位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運動,初始求物體的運動規(guī)律立坐標系如圖,設(shè)t=0時物體的位置為取其平衡位置為原點建因此定解問題為自由振動方程,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動情況(

n=0)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解的特征:簡諧振動A:振幅,

:初相,周期:固有頻率機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(僅由系統(tǒng)特性確定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:

n<k這時需分如下三種情況進行討論:2)有阻尼自由振動情況大阻尼:

n>k臨界阻尼:

n=k解的特征解的特征解的特征機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(

n<k)小阻尼自由振動解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運動周期:振幅:衰減很快,隨時間t

的增大物體趨于平衡位置.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(

n>k)

大阻尼解的特征:1)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對任何初始條件即隨時間t

的增大物體總趨于平衡位置.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(

n=k)

臨界阻尼解的特征:任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t

軸交于一點;即隨時間t

的增大物體總趨于平衡位置.2)無振蕩現(xiàn)象;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解推廣目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解:特征方程:即其根為方程通解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.解:特征方程:特征根為則方程通解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)特征根:(1)當時,通解為(2)當時,通解為(3)當時,通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習求方程的通解.答案:通解為通解為通解為作業(yè)

P3101(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第九節(jié)目錄上頁下頁返回