2023-2024學(xué)年吉林省長春市第十一高中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年吉林省長春市第十一高中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某學(xué)校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.32．如圖，正四棱柱是由四個(gè)棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合的元素個(gè)數(shù)（）A.1 B.2C.4 D.83．某公司有1000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者．要對這個(gè)公司員工的收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為（）A.100 B.15C.80 D.504．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.5．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或6．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.7．若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為（）A. B.C. D.8．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A B.C. D.9．已知命題是真命題，那么的取值范圍是（）A. B.C. D.10．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________14．已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若△的面積為2，邊上中線的長為．且，則△外接圓的面積為___________15．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______16．已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.18．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時(shí)，證明l與C總相交；（2）m取何值時(shí)，l被C截得的弦長最短？求此弦長19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）已知等差數(shù)列的公差，前3項(xiàng)和，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）雙曲線的離心率為，虛軸的長為4.（1）求的值及雙曲線的漸近線方程；（2）直線與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，求的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.（1）求四棱錐S－ABCD的側(cè)面積；（2）求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時(shí)人.故選：.2、A【解析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，正四棱柱的三個(gè)邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個(gè)數(shù)為1.故選：A.3、C【解析】按照比例關(guān)系，分層抽取.【詳解】由題意可知，所以應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為.故選：C4、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A5、A【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程，可解得公差d得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.6、D【解析】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的概率是，故選D.7、D【解析】分析出為等腰直角三角形，可得出原點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，由此可解得的值.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，由于且，所以，為等腰直角三角形，且圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用圓周角求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于求出弦心距，再利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù).8、A【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，故恒成立.【詳解】由題意可得，，，，.故選：A9、C【解析】依據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，僅當(dāng)時(shí)成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若成立，則，解之得綜上，取值范圍是故選：C10、D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.11、A【解析】由定義證明函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)不等式恒能成立的性質(zhì)得出，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】任取，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，使得，則即故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意全稱量詞與存在量詞對題意的影響．等價(jià)轉(zhuǎn)化如下：(1)，，使得成立等價(jià)于(2)，，不等式恒成立等價(jià)于(3)，，使得成立等價(jià)于(4)，，使得成立等價(jià)于12、B【解析】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時(shí)，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4x＋3y－6＝0【解析】直接求出兩直線l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出直線的斜率，然后求出所求直線方程【詳解】由方程組可得P（0，2）∵l⊥l3，∴kl=﹣，∴直線l的方程為y﹣2=﹣x，即4x＋3y－6＝0故答案為：4x＋3y－6＝014、或【解析】由已知，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形面積公式、余弦定理列方程求邊長b、c，應(yīng)用余弦定理求邊長a，根據(jù)正弦定理求外接圓半徑，再用圓的面積公式求面積.【詳解】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系有，又，∴，∴，∴．又，∴，即又據(jù)題意，得，且，∴或，故或，∴△外接圓的半徑或，∴△外接圓的面積為或故答案為：或15、【解析】根據(jù)給定條件求出正項(xiàng)等比數(shù)列的公比即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：16、2【解析】由已知可用表示，代入所求式子后，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求【詳解】解：由題意得，即，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，上式取得最小值4，故的最小值2故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】（1）根據(jù)離心率可得的關(guān)系，再將的坐標(biāo)代入方程后可求，從而可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線的方程為，，結(jié)合內(nèi)切圓的半徑為可得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于的方程，求出其解后可得直線方程.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，故可設(shè)，故橢圓方程為，代入得，故，故橢圓方程為：.【小問2詳解】的周長為，故.設(shè)，由題設(shè)可得直線與軸不重合，故可設(shè)直線，則，由可得，整理得到，此時(shí)，故，解得，故直線的方程為：或.18、（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點(diǎn)，進(jìn)而判斷定點(diǎn)和圓C的位置關(guān)系，最后得到答案；（2）當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時(shí)，弦長最短，進(jìn)而求出m，然后根據(jù)勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點(diǎn)P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當(dāng)圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時(shí)，弦AB的長度最短，此時(shí)PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當(dāng)時(shí)，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.19、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時(shí)，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無極大值.【小問2詳解】因?yàn)樵谏嫌薪?，所以在上有解，?dāng)時(shí)，不等式成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)在上有解，令，則由（1）知時(shí)，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍20、（1）（2）【解析】（1）由，且成等比數(shù)列列式求解出和，然后寫出；（2）由，用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）∵，∴①又∵成等比數(shù)列，∴，②∵，由①②解得：，，∴（2）∵，，∴兩式相減，得∴【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的計(jì)算，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.21、（1），，雙曲線的漸近線方程為和；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式，結(jié)合虛軸長的定義進(jìn)行求解即可；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用方程解的個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以有ca而該雙曲線的虛軸的長為4，所以，所以，因此雙曲線的浙近線方程為：y=±x?x-y=0或；【小問2詳解】由（1）可知：，，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，與直線聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與雙曲