具有逆斷面的總則

具有逆斷面的總則

1逆斷在弱可乘正解中的應(yīng)用1982年，蜀鶴和mcfadan引入了“s正半組”的概念，即。在s的正半組中，s的逆截面稱為s的逆截面。如果s的每個(gè)元素都包含一個(gè)唯一的逆元素，則反截面的概念被引入以來，國內(nèi)外許多科學(xué)家研究了該組，并取得了許多重要的結(jié)果。1985年，賽德引入了一個(gè)可乘反截面的概念，并獲得了逆截面是可乘的充要條件。1989年，薩德通常提供了一個(gè)基于逆截面的正常半組結(jié)構(gòu)理論。1994年，蜀爾特和阿爾莫納斯研究了弱勢(shì)代表的逆截面。我們可以利用逆截面來執(zhí)行正截面。1999年，陳建飛引入了正截面的概念。這是反截面概念的推廣，類似于逆截面，因此，可以引入純文本、弱文本的概念。本工作的主要目標(biāo)是引入和研究正半組的弱復(fù)合截面。設(shè)S是正則半群,So是S的子半群.對(duì)于任意x∈S,集合So∩V(x)記作VSo(x),VSo(x)中的元素記為xo,并且記如果對(duì)任意x∈S,|VSo(x)|=1,則稱So為S的逆斷面,其中V(x)表示x的逆元的集合.設(shè)S是半群.則S的子半群So稱為S的純正斷面,如果滿足下列條件:(1.1)(?a∈S)VSo(a)≠?;(1.2)?a,b∈S,若{a,b}∩So≠?,則VSo(a)VSo(b)?VSo(ba).如果So是S的純正斷面,那么由條件(1.1)知S是正則半群;由條件(1.2)知So是S的純正子半群.如果SoSSo?So,則稱S的子半群So為S的擬理想.2飽和斷面的可乘性定義1設(shè)S是具有純正斷面So的正則半群.如果滿足則稱So是可乘的,其中E(So)是So的冪等元的帶.定義2設(shè)S是具有純正斷面So的正則半群.如果滿足則稱So是弱可乘的,其中E(So)是So的冪等元的帶.眾所周知,集合I和Λ在逆斷面與純正斷面的研究中起著重要作用.利用I和Λ,純正斷面So是可乘的,弱可乘和擬理想可以等價(jià)地定義.純正斷面So是(1)可乘的如果ΛI(xiàn)?E(So).(2)弱可乘的如果VSo(ΛI(xiàn))?E(So).(3)擬理想如果ΛI(xiàn)?So.顯然如果So是正則半群S的可乘純正斷面,那么So是弱可乘的且So是S的擬理想.定理2.1設(shè)S是具有弱可乘純正斷面So的正則半群.則對(duì)?e∈E(S),有VSo(e)?E(So).證明對(duì)任意的e∈E(S),取eo∈VSo(e),則eo=eoeeo=eoeeeo.因?yàn)镾o是弱可乘的,所以eo在So中只有冪等的逆元.但So是純正的且eo∈So,故eo是冪等元.定理2.2設(shè)S是具有純正斷面So的正則半群.則So是可乘的充要條件是So是S的擬理想且對(duì)任意的e∈E(S),有VSo(e)?E(So).證明若So是可乘的,則對(duì)任意的e∈E(S),eo∈VSo(e),有eo=eoeeo=eoeeeo∈E(So).反之,令e∈Λ,f∈I且x∈VSo(ef),則(fxe)2=fxe且ef∈V(fxe)∩So.由假設(shè)ef是冪等元.故ΛI(xiàn)?E(So),即So是可乘的.事實(shí)上,我們有下面的關(guān)于純正斷面是可乘的與弱可乘的和擬理想的關(guān)系.定理2.3純正斷面So是可乘的充要條件是So是弱可乘的且So是擬理想.證明必要性顯然.假設(shè)So是弱可乘的且So是擬理想,則由定理2.1知對(duì)任意的e∈E(S),有VSo(e)?E(So).從而由定理2.2知,So是可乘的.下面給出純正斷面是弱可乘的兩個(gè)等價(jià)條件,它們是具有逆斷面的正則半群的相應(yīng)結(jié)果的推廣.定理2.4設(shè)S是具有純正斷面So的正則半群.則So是弱可乘的充要條件是〈E(S)〉={x∈S:VSo(x)?E(So)}.證明假設(shè)So是弱可乘的.設(shè)x∈S,若VSo(x)?E(So),取xo∈VSo(x),則x=xxox=xxo·xox∈〈E(S)〉.另一個(gè)包含關(guān)系我們需要證明:若VSo(x)∪VSo(y)?E(So),則VSo(xy)?E(So).設(shè)xo∈VSo(x),yo∈VSo(y).因?yàn)镾o是弱可乘純正斷面,所以有VSo(xoxyyo)?E(So).取(xoxyyo)o∈VSo(xoxyyo),則由So是純正的且xo,yo和(xoxyyo)o是S的冪等元可知yo(xoxyyo)oxo∈E(So).但yo(xoxyyo)oxo∈V(xy),故VSo(xy)中包含冪等元.從而由文獻(xiàn)的推論2.1可知,它只包含冪等元.反之,對(duì)任意的x,y∈S,xo∈VSo(x),yo∈VSo(y),有xox∈E(S),yyo∈E(S),故xoxyyo∈〈E(S)〉.由假設(shè)可知VSo(xoxyyo)?E(So).故So是弱可乘的.在這種情況下,E(So)是〈E(S)〉的純正斷面,因?yàn)橛啥ɡ?.4可知條件(1.1)滿足,由純正斷面的定義可知條件(1.2)也滿足.定理2.5設(shè)S是具有純正斷面So的正則半群.則So是弱可乘的充要條件是IΛ={ef:e∈I,f∈Λ}是S的冪等生成的子半群且具有純正斷面E(So).證明假設(shè)So是弱可乘的,取x∈〈E(S)〉,則由定理2.4知VSo(x)?E(So).取xo∈VSo(x),則有x=xxox=xxo·xox∈IΛ,且顯然有IΛ?〈E(S)〉.反之,取x∈〈E(S)〉,則存在a,b∈S,ao∈VSo(a)和bo∈VSo(b),使得x=aaobob.對(duì)任意的aoo∈VSo(ao),boo∈VSo(bo),有bobooaooao∈E(So)且bobooaooao∈VSo(x).由文獻(xiàn)的推論2.1可知VSo(x)?E(So),從而由定理2.4的證明知,So是弱可乘的.對(duì)逆斷面而言,若S是純正半群,則所有的逆斷面都是弱可乘的.對(duì)純正斷面也有類似的結(jié)論.定理2.6設(shè)S是具有純正斷面So的正則半群.若S是純正的,則So是弱可乘的.證明對(duì)?x,y∈S與?xo∈VSo(x),yo∈VSo(y),因S是純正的,故xoxyyo∈E(S),從而VSo(xoxyyo)?E(S).且同時(shí)有VSo(xoxyyo)?So,故VSo(xoxyyo)?E(S)∩So=E(So).由定義,So是弱可乘的.推論設(shè)S是具有純正斷面So的純正半群.則So可乘的充要條件是So是擬理想.3群sing22r的電子鼻sing12r最后,給出一個(gè)具有弱可乘但非可乘的純正斷面的純正半群的例子,且此純正斷面既不是純正半群本身也不是逆斷面.在此例中,利用了奇異實(shí)2×2矩陣的半群Sing2×2R,且用Sing*2×2R表示其矩陣中(1,1)位置元素不為0的矩陣的集合.例設(shè)S1是Sing*2×2R的子集,表為令S=S1∪