一種判斷矩陣一致性的統(tǒng)計檢驗方法

一種判斷矩陣一致性的統(tǒng)計檢驗方法

層次分析法（ahp）是一種實用的多參數(shù)法。評價矩陣a=（aj）nn的一致性要求是應(yīng)用的關(guān)鍵先決條件。鑒于人們認(rèn)識的多樣性和客觀事物的復(fù)雜性,決策者或?qū)＜医o出的判斷矩陣,并不總能滿足上述要求,因此,需要對判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗。然而,AHP中常規(guī)的一致性檢驗方法“一致性比例檢驗法”存在以下幾點不足:第一,一致性比例C.R.應(yīng)小于0.1的規(guī)定缺乏必要的理論依據(jù),同時,矩陣階數(shù)越高,這一要求越難滿足;第二,對于一般的判斷矩陣,其特征值的求解較困難。對于一個不具有滿意一致性的判斷矩陣,其特征值的求解是一種浪費。有鑒于此,本文根據(jù)一致性要求的實質(zhì),應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計原理,提出一種新的檢驗判斷矩陣一致性的統(tǒng)計檢驗方法,它從新的視覺去認(rèn)識判斷矩陣的一致性,并且彌補(bǔ)了一致性比例檢驗法的上述兩點不足。當(dāng)決策者或?qū)＜医o出的判斷矩陣的一致性較差時,如何對其修正,是AHP應(yīng)用時所必須解決的問題。迄今,許多學(xué)者對此進(jìn)行了研究,并提出了自己的思想方法,這些方法各有利弊,如文獻(xiàn)利用向量概念給出了校正判斷矩陣的一般規(guī)則,該法雖直觀,能與決策者進(jìn)行交互,但校正速度慢;文獻(xiàn)利用判斷矩陣的特征向量對矩陣進(jìn)行全面修正,速度快,但原判斷矩陣所包含的信息丟失較多。本文以統(tǒng)計檢驗方法為檢驗標(biāo)準(zhǔn),給出一種修正判斷矩陣一致性的方法。該法通過每次修改判斷矩陣的一對元素,使其一致性得到逐步改進(jìn),直到達(dá)到滿意的精度。1判斷矩陣與a的關(guān)系判斷矩陣A=(aij)n×n,如果aij>0,aij=1aji,?i,jaij>0,aij=1aji,?i,j,則稱A為正互反矩陣;如果A進(jìn)一步滿足aijajk=aik,?i,j,k,則稱A為完全一致性矩陣。在判斷矩陣的構(gòu)造中,并不總是要求判斷矩陣具有傳遞性和完全一致性,這是由客觀事物的復(fù)雜性和人的認(rèn)識多樣性所決定的。但判斷矩陣是計算排序權(quán)向量的根據(jù),故要求判斷矩陣有大體上的一致性(滿意的一致性)是應(yīng)該的。T.L.Saaty在文獻(xiàn)中給出了一致性指標(biāo)C.Ι.=λmax-nn-1C.I.=λmax?nn?1、與判斷矩陣A的階數(shù)n有關(guān)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.和一致性比例C.R.=C.Ι.R.Ι.C.R.=C.I.R.I.。并規(guī)定,若判斷矩陣A是完全一致性矩陣,當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征值λmax=n;若C.R.<0.1,則判斷矩陣A具有滿意的一致性。2采用統(tǒng)一評價方法評價矩陣的一致性(1)計算多元線性歸一化時的和法設(shè)A=(aij)n×n為n階判斷矩陣,其排序向量為w=(w1,w2,…,wn)T.令B=(bij)n×n,其中bij=aij/∑iaij(i,j=1,2,?,n)bij=aij/∑iaij(i,j=1,2,?,n)。再令wi=1nn∑j=1bij(i=1,2,?,n)wi=1n∑j=1nbij(i=1,2,?,n),由此求得判斷矩陣排序向量w=(w1,w2,…,wn)T的方法稱為“和法”。定義設(shè)矩陣C=(cij)n×n為判斷矩陣A的導(dǎo)出矩陣,其中,cij=bijwi(1)式中,bij=aij∑iaij?wi=1nn∑j=1bij(i,j=1,2,?,n)。引理判斷矩陣A為完全一致性矩陣的充要條件是其導(dǎo)出矩陣C中元素全為1,即C=[11?111?1????11?1]證明必要性:設(shè)判斷矩陣A為完全一致性矩陣,則A的每一列歸一化后就是相應(yīng)的排序向量w,即bij=wi(i,j=1,2,…n),由(1)式,可得cij=1(i,j=1,2,…n)。充分性:設(shè)A的導(dǎo)出矩陣C=[11?111?1????11?1],即cij(i,j=1,2,…n),由(1)式可得bijwi=1,從而bij=wi(i,j=1,2,…,n)。這表明,判斷矩陣A的任意一列的歸一化列向量就是其相應(yīng)的排序向量,故A的最大特征根唯一,且λmax=n(n為判斷矩陣A的階數(shù)),從而A為完全一致性矩陣。綜上,定理得證。(2)元素cij的模型建立由上述引理可知:若C中存在某個元素cij不為1,則說明判斷矩陣A不為完全一致性矩陣,且cij偏離1越大,說明aij對A的一致性的影響越大。由此,一個判斷矩陣A的導(dǎo)出矩陣C中的元素cij可視作以1為均值的正態(tài)隨機(jī)變量,即cij～N(1,δ20),其中,δ20為常數(shù),且諸cij(i,j=1,2,…,n)相互獨立。據(jù)此,可以應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計有關(guān)原理,得出以下結(jié)論。結(jié)論設(shè)A為n階判斷矩陣,C=(cij)n×n為其導(dǎo)出矩陣,cij～N(1,δ20),其中,δ20為常數(shù),且諸cij(i,j=1,2,…,n)相互獨立,將矩陣C中元素從左到右、從上到下拉直后依次排列,記為ci(i=1,2,…,n2),可以證明,統(tǒng)計量χ2=n2-1∑i=1(ci+1-ci)22δ2～χ2(n2-1)(2)(3)決策人偏好選取判斷矩陣的一般規(guī)定構(gòu)造出統(tǒng)計量后,可用統(tǒng)計檢驗方法對判斷矩陣A的一致性作出檢驗。具體方法如下:①上述定理的假設(shè)cij～N(1,δ20)中δ20的大小反映了cij對其數(shù)學(xué)期望Ecij=1偏離程度大小。因此,常數(shù)δ20的不同值反映了決策人對判斷矩陣的“滿意一致性”的不同要求。顯然,較小的δ20值意味著對判斷矩陣一致性有較高的要求。故決策人可依據(jù)決策問題的具體情況,以及個人偏好選取適當(dāng)δ20的值。一般可令δ20取14、19、116中的任何一個值或是滿足不等式116≤δ20≤14的其他值。為了與T.L.Saaty的一致性比例結(jié)果相銜接,對低階判斷矩陣可取δ20=116或19,高階判斷矩陣可取δ20=14或19。②對于一個有滿意一致性的判斷矩陣A,由其導(dǎo)出矩陣C算出的上述統(tǒng)計量χ20應(yīng)該較小。反之,若χ20過大,則可認(rèn)為判斷矩陣A不具有滿意的一致性。于是,判斷矩陣A的一致性檢驗問題即成為如下的統(tǒng)計假設(shè)檢驗問題:假設(shè)Η0∶δ2≤δ20(3)對于給定的顯著性水平α,令P{χ2≥χ2α(n2-1)}=α.上述括號內(nèi)的事件為小概率事件,當(dāng)判斷矩陣的導(dǎo)出矩陣的χ2觀測值χ20<χ2α?xí)r,即可認(rèn)為A具有滿意的一致性;反之,則判斷矩陣A不具有滿意的一致性。③作為一種統(tǒng)計檢驗方法,其檢驗臨界值依賴于顯著性水平α和方差δ0的選取,這樣就為決策者留有較大的決策空間。表1列出3～6階判斷矩陣在不同顯著性水平下的臨界值。3評估矩陣對應(yīng)關(guān)系的修正方法(1)判斷矩陣a的校正定義設(shè)矩陣D=(dij)n×n為判斷矩陣A的偏差矩陣,其中,dij=cij-1(4)式中,cij(i,j=1,2,…n)意義同前。由文獻(xiàn)可知:當(dāng)D中的元素絕對值較大時,會引起判斷矩陣的不一致性,這時需要對判斷矩陣A進(jìn)行校正。顯然,首先需要校正的是D中絕對值最大的對應(yīng)元素。因為它是造成不一致性的主要原因。比如,設(shè)dij是D中絕對值最大者,不妨設(shè)dij>0,則可知A中第i行第j列aij偏大,同時與aij所對應(yīng)的互反元素aji=1aij將偏小,且dji<0,所以,適當(dāng)改變aij的元素值,使其變小,比如變?yōu)閍*ij,同時aji=1aij將自然變大,此時aji變?yōu)?a*ij。由于決策者或?qū)＜医o出的判斷矩陣一般不會出現(xiàn)很大的失誤,因此,對影響判斷矩陣一致性的元素可進(jìn)行適當(dāng)微調(diào),使判斷矩陣的一致性得到逐步改進(jìn)。(2)a設(shè)偏差矩陣nn綜上所述,對于一致性不滿意的判斷矩陣修正方法步驟如下:①按和法計算判斷矩陣A=(aij)n×n的排序向量w;②求出判斷矩陣A的導(dǎo)出矩陣C=(cij)n×n及偏差矩陣D=(dij)n×n;③找出偏差矩陣中絕對值最大的元素dij;④當(dāng)dij>0時,若amk>1,則a*mk=amk-1;若amk<1,則a*mk=amk/(amk+1);當(dāng)dij<0時,若amk>1,則a*mk=amk+1;若amk<1,a2mk=amk/(1-amk);⑤令a*km=1/a*mk,a*ij=aij,且i,j≠m,k;⑥用統(tǒng)計方法進(jìn)行一致性檢驗,若A*=(a*ij)n×n具有滿意的一致性,則停止;否則,用A*代替A,重復(fù)上述步驟。4判斷矩陣b.r.準(zhǔn)則規(guī)定,主要結(jié)果如下下面給出用統(tǒng)計假設(shè)檢驗法對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗的實例。選取α=0.05,每個算例同時列出了該判斷矩陣的一致性比例C.R.以示對比。經(jīng)檢驗后,若判斷矩陣不具有滿意一致性時,用上述修正方法對判斷矩陣進(jìn)行修正。對判斷矩陣,可驗知A不具有滿意的一致性。統(tǒng)計檢驗法,取δ0=14?α=0.05,由“和積法”求得的排序向量,由(1)式得導(dǎo)出矩陣,由(2)式得χ20=19.81>χ20.05=15.507,判斷矩陣A不具有滿意的一致性(與C.R.準(zhǔn)則結(jié)論一致),有必要進(jìn)行修正。由(4)式得偏差矩陣。其中,絕對值最大的元素為d32=0.619>0,且a32=2>1,故應(yīng)將a32減小,a23增大,即a*32=1,a*23=1/a*32=1,從而可得,結(jié)論:判斷矩陣A*具有滿意的一致性。取δ0=14?α=0.05。同理判斷矩陣A*的導(dǎo)出矩陣已具有滿意的一致性(同C.R.準(zhǔn)則結(jié)論一致),A*即為修正后的判斷矩陣。對判斷矩陣,可驗知A具有滿意的一致性。統(tǒng)計假設(shè)檢驗法,取δ0=14?α=0.05。由(1)式計算判斷矩陣A的導(dǎo)出矩陣,并由(2)式得χ20=14.0792<χ20.05=15.507,判斷矩陣A具有滿意的一致性(同C.R.準(zhǔn)則結(jié)論一致),勿需進(jìn)行修正。對判斷矩陣,可驗知A不具有滿意的一致性。判斷矩陣A的導(dǎo)出矩陣,由(2)式得χ20=50.0288>χ20.05=24.996,判斷矩陣A不具有滿意的一致性,有必要進(jìn)行修正。判斷矩陣A的偏差矩陣,其中絕對值最大的元素為d13=1.406>0,且a13=3>1,故應(yīng)將a13減小,將a31增大,即a*13=2,a*31=1/a*13=1/2,從而可得,結(jié)論:判斷矩陣A不具有滿意的一致性。用相同的方法得到判斷矩陣A*的導(dǎo)出矩陣,矩陣A*不具有滿意的一致性,仍需進(jìn)行修正。用相同的修正方法,得修正后的判斷矩陣**=119115915211511251221。取δ0=14,用(1)式計算A**的導(dǎo)出矩陣(略),用(2)式計算得χ20=7.604<χ20.05=24.996。判斷矩陣A**已具有滿意的一致性,A**即為可采用的判斷矩陣。5顯著性