《探究與發(fā)現(xiàn)“楊輝三角”中的一些秘密》教學(xué)設(shè)計(jì)(部級優(yōu)課)-數(shù)學(xué)教案

探究數(shù)學(xué)秘密，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美——“楊輝三角”中的一些秘密一、教材背景分析1．教材的地位和作用“楊輝三角”是我國古代數(shù)學(xué)重要成就之一，顯示了我國古代人民的卓越智慧和才能，應(yīng)抓住這一題材，對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育，激勵學(xué)生的民族自豪感。2．學(xué)情分析本節(jié)課面對的是高二年級的學(xué)生,這個年齡段的學(xué)生思維活躍,求知欲強(qiáng),但在思維習(xí)慣上還有待教師引導(dǎo)。通過之前的學(xué)習(xí)學(xué)生已經(jīng)掌握了分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,理解了排列、組合的概念,掌握了二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)。同時(shí)對于數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法也有了初步的認(rèn)識。對于本節(jié)探究與發(fā)現(xiàn)的研究性學(xué)習(xí),可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情,提高課堂效率,使知識得到螺旋式的鞏固與提高。而對于加強(qiáng)學(xué)生自身對于數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識及實(shí)際問題的分析能力方面,還有待于教師的指導(dǎo)幫助。學(xué)生根據(jù)教師提供的情境,采用觀察、分析、抽象、概括等方式探索知識,歸納知識。通過創(chuàng)設(shè)情境疑問,引導(dǎo)學(xué)生開展獨(dú)立思考、主動探究、合作交流,探求解決問題的方法。鼓勵學(xué)生創(chuàng)新思考,加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。3．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn):掌握二項(xiàng)式展開式的性質(zhì),理解二項(xiàng)展開式的系數(shù)與楊輝三角之間的聯(lián)系。難點(diǎn):通過探究楊輝三角的規(guī)律,初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)中“合情推理”、“歸納假設(shè)”等研究問題的數(shù)學(xué)方法。二、教學(xué)目標(biāo)新課標(biāo)指出教學(xué)目標(biāo)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生學(xué)會知識與技能的過程,也要同時(shí)體現(xiàn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)形成正確價(jià)值觀的過程。結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,制定如下教學(xué)目標(biāo):1．通過課前組織學(xué)生開展“了解楊輝三角、探究與發(fā)現(xiàn)楊輝三角包含的規(guī)律”的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生感受我國古代數(shù)學(xué)成就及其數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。2．掌握二項(xiàng)式展開式的性質(zhì),理解二項(xiàng)展開式的系數(shù)與楊輝三角之間的聯(lián)系。3．通過探究楊輝三角的規(guī)律,初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)中“合情推理”、“歸納假設(shè)”等研究問題的數(shù)學(xué)方法。4．采用學(xué)生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生問題意識，提高學(xué)生思維能力，孕育學(xué)生創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)生探索、研究我國古代數(shù)學(xué)的熱情。三、教學(xué)基本流程設(shè)計(jì)追溯歷史，引入追溯歷史，引入“三角”善于觀察，發(fā)現(xiàn)善于觀察，發(fā)現(xiàn)“秘密”數(shù)學(xué)文化，拓展視野數(shù)學(xué)文化，拓展視野課堂小結(jié)，升華點(diǎn)睛課堂小結(jié)，升華點(diǎn)睛研究歷史，升華情感研究歷史，升華情感四、教學(xué)過程1、追溯歷史，引入“三角”師：展示圖片--華夏傳說中的河圖和洛書。伏羲根據(jù)河圖演繹了八卦，大禹根據(jù)洛書劃分了九州。由此可以說河圖和洛書是我們?nèi)A夏文化的起源。河圖、洛書其實(shí)也是世界上最古老的數(shù)陣。什么是數(shù)陣呢？將數(shù)字按照一定順序組合成圖形就是數(shù)陣。今天，我們就一起來研究一個特殊的三角數(shù)陣。計(jì)算當(dāng)n依次取1，2，3，4，5，6時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的值，并指出該三角數(shù)陣就是楊輝三角。課前開展學(xué)習(xí)活動：了解“楊輝三角”的歷史背景、地位、作用。學(xué)生暢談“楊輝三角”，對它有何了解及認(rèn)識。生：楊輝，字謙光，我國南宋末年的數(shù)學(xué)家，生平著作甚多，他編著的數(shù)學(xué)書共有5種21本，他在1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了這個三角數(shù)形表，所以后人以他的名字來命名這個表，楊輝在書中還說明了這個方法出于公元11世紀(jì)我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲的《釋鎖算術(shù)》。其實(shí)，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡也發(fā)現(xiàn)了這個表，所以這個表也叫“帕斯卡三角”。但是帕斯卡出生于1623年，從時(shí)間的對比上，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早五百年左右。21世紀(jì)以來，國外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”。師：“楊輝三角”是我國古代數(shù)學(xué)重要成就之一，顯示了我國古代人民卓越的智慧和才能。楊輝三角在整個數(shù)學(xué)史中也扮演著重要的角色：北宋的賈憲用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高階等差級數(shù)；牛頓用它算微積分；華羅庚老先生思路更廣，差分方程和無窮級數(shù)都談到了它。那么，我們又能從楊輝三角中探尋到哪些秘密呢？讓我們一起來研究一下?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生開展課外學(xué)習(xí)，了解“楊輝三角”的歷史背景、地位、作用，弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)文化.2、善于觀察，發(fā)現(xiàn)“秘密”合作探究，小組展示成果：（1）對稱性；（2）遞推性；（3）研究橫行規(guī)律；（4）研究斜行規(guī)律。3、數(shù)學(xué)文化，拓展視野（1）“楊輝三角”中蘊(yùn)含著斐波那契數(shù)列與斐波那契螺旋線。自然界中有很多的事物都跟這條螺旋曲線有關(guān)聯(lián)，比如說：我們的颶風(fēng)現(xiàn)象，人的耳朵，海螺，還有多肉植物的花瓣。很多的藝術(shù)家和建筑師也將這條螺旋曲線應(yīng)用于他們的作品中，像我們著名的藝術(shù)作品巴特農(nóng)神廟，還有《蒙娜麗莎》，這些作品中也都能找到斐波那契螺旋線。【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)規(guī)律其實(shí)源于自然，只要我們擁有一雙善于觀察的眼睛，及時(shí)捕捉到它們，我們就可以再次將這些規(guī)律應(yīng)用于我們的生活，為我們帶來美的感受。（2）寶塔詩與楊輝三角寶塔詩起源于唐詩,創(chuàng)始人是唐代詩人張南史。現(xiàn)在應(yīng)當(dāng)是“千古不朽之作”了。寶塔詩誕生以后,不少詩人相繼效仿。據(jù)說,白居易也作了這樣一首:《詩》，師生共同欣賞。古往今來的寶塔詩,都是底寬頂尖、兩側(cè)對稱的結(jié)構(gòu)。往往重疊詩題單字為雙句,而后總是雙句成行,每行每句遞增一字;在行行遞增的過程中每行雙句壓韻,兩句之間多成對偶(偶爾不是對偶句,也必然一氣相通)。這種對稱、和諧、堅(jiān)實(shí)的寶塔結(jié)構(gòu),給人一種文思如泉、層出不窮、生生不息、疊彩成山的美感。僅僅從外形上看,這種富于美感的寶塔詩,就與楊輝三角數(shù)表十分相似?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓同學(xué)們感受到：美其實(shí)是想通的，數(shù)學(xué)文化中的美也可以滲透到其他學(xué)科中去。（3）“楊輝三角”與謝爾賓斯基三角形如果用筆將楊輝三角中的偶數(shù)與奇數(shù)分別標(biāo)出,你能發(fā)現(xiàn)什么圖形?我們會得到著名的謝爾賓斯基三角形。這種三角形結(jié)構(gòu)強(qiáng)度高、用料省，因此，它在力學(xué)中有很高的應(yīng)用價(jià)值，那像大家剛才提到的埃菲爾鐵塔的結(jié)構(gòu)與這種三角形的結(jié)構(gòu)就十分的相似。謝爾賓斯基三角形同時(shí)還是分形幾何的基礎(chǔ)，那這幅圖片就是我們的分形幾何藝術(shù)，這種圖形在局部和整體上具有某種自相似性，給人以多層次結(jié)構(gòu)，非常的奇異、美麗、超乎我們的想象，這些都是我們數(shù)學(xué)的杰作?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓同學(xué)們了解數(shù)學(xué)規(guī)律在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用，并從中感受數(shù)學(xué)之美。4、課堂小結(jié)，升華“點(diǎn)睛”通過學(xué)生的總結(jié),回顧本課“楊輝三角”的規(guī)律，并初步體會到研究數(shù)陣的方法。“楊輝三角”雙語視頻的展示,使學(xué)生更加深入了解到楊輝三角更多