高二數(shù)學 模擬試題 教案

2019-2020高二上學期期初模擬卷一、單選題（共8題，每小題4分，共32分）1.函數(shù)的部分圖象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的圖象關(guān)于直線對稱，排除C、D；當時，，所以，排除B.【詳解】設，因為，所以的圖象關(guān)于軸對稱.所以的圖象關(guān)于直線對稱，排除C、D；當時，，所以，排除B，故選：A【點睛】解決本類題時，通常是利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)值等排除選項.2.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】D【解析】試題分析：，,故選D.考點：點線面的位置關(guān)系.3.已知點A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（）A.（0，1） B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由0可得點M在射線OA上．求出直線和BC的交點N的坐標，①若點M和點A重合，求得b；②若點M在點O和點A之間，求得b；③若點M在點A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結(jié)果．【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為1，由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，故0，故點M在射線OA上．設直線y＝ax+b和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為（，）．①若點M和點A重合，如圖：則點N為線段BC的中點，故N（，），把A、N兩點的坐標代入直線y＝ax+b，求得a＝b．②若點M在點O和點A之間，如圖：此時b，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若點M在點A的左側(cè)，則b，由點M的橫坐標1，求得b＞a．設直線y＝ax+b和AC的交點為P，則由求得點P的坐標為（，），此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即?（1﹣b）?|xN﹣xP|，即（1﹣b）?||，化簡可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此時b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．兩邊開方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化簡可得b＞1，故有1b．綜上可得b的取值范圍應是，故選B．【點睛】本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應用，還考查了運算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．4.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.5.在中，角ABC的對邊分別為a,b,c,且則a的值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得到角C，又，故A=，利用正弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】由可得：,即tanC=1,故C=A=由正弦定理：可得：,∴故選D【點睛】此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．6.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學的名著．在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個問題中，這位公公的長兒的年齡為（）A.歲 B.歲 C.歲 D.歲【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列是等差數(shù)列，由，求得數(shù)列的首項，即可得到答案．【詳解】設這位公公的第個兒子的年齡為，由題可知是等差數(shù)列，設公差為，則，又由，即，解得，即這位公公的長兒的年齡為歲．故選C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列前n項和公式的應用，其中解答中認真審題，熟練應用等差數(shù)列的前n項和公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知等差數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前5項和等于（）A.30 B.45 C.90 D.186【答案】C【解析】由，，，所以．8.若，則下列代數(shù)式中值最大的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】因為，綜上可得最大，故選A.二、多選題（共4題，每小題5分，共20分）9.下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（）

A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導公式可得正確結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,當時，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導公式變換使其符合要求.10.等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，前項和為，下列選擇項正確的是（

）A. B.C.當時最小 D.時的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為，因為，求得，根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列，得到正確；再由前項公式，結(jié)合二次函數(shù)和不等式的解法，即可求解.【詳解】由題意，設等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，則，故正確；因為，由可知，當或時最小，故錯誤，令，解得或，即時的最小值為，故正確.故選：【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及前項和公式的應用，其中解答中熟練應用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，結(jié)合數(shù)列的函數(shù)性進行判斷是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.11.如圖，在直三棱柱中，，，點D，E分別是線段BC，上的動點（不含端點），且．則下列說法正確的是（）A.平面B.該三棱柱的外接球的表面積為C.異面直線與所成角的正切值為D.二面角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】由平行線分線段成比例可知，可判斷A；由題意知直三棱柱是長方體沿對角面切開的一半，故外接球為長方體外接球，球心在中點，即可判斷B；，所以異面直線與所成角為，求解即可判斷C；以A為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角即可判斷D.【詳解】在直三棱柱中，四邊形是矩形，因為，所以，不在平面內(nèi)，平面，所以平面，A項正確；因為，所以，因為，所以，所以，易知是三棱柱外接球的直徑，所以三棱柱外接球的表面積為，所以B項錯誤；因為，所以異面直線與所成角為．在中，，，所以，所以C項錯誤；二面角即二面角，以A為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖則，,,,設平面的法向量，則，即，令可得，設平面的一個法向量為，則，即，令可得故二面角的余弦值為，所以D項正確．故選：AD【點睛】本題主要考查了線面平行的判定，異面直線所成的角，二面角的向量求法，外接球的表面積，考查了空間想象力，屬于難題.12.某同學在研究函數(shù)的性質(zhì)時，受兩點間距離公式的啟發(fā)，將變形為，則下列關(guān)于函數(shù)的描述正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)的圖象是中心對稱圖形C.函數(shù)的值域是D.方程無實數(shù)解【答案】ACD【解析】【分析】設，，函數(shù)表示軸上點到兩點的距離之和，讓在軸上移動，可觀察出函數(shù)的變化情況，從而判斷各選項的正確性．【詳解】設，，表示軸上點到兩點的距離之和，設，以為焦點，為短軸上一個端點，作橢圓，軸與此橢圓相切于點，當從向右移動時，逐漸增大，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，A正確；當與重合時，最小，最小值為，因此的值域是，C正確；函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，不是中心對稱是，B錯誤；當或時，，由于，因此和都無解，D正確．故選：ACD．【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是把函數(shù)轉(zhuǎn)化為軸上點到兩點的距離之和，這樣通過點的移動直觀地得出函數(shù)的性質(zhì)．三、填空題（共4題，每小題5分，共20分）13.現(xiàn)有紅球個白球350個，用分層抽樣方法從中隨機抽取120個小球，其中抽出的紅球有50個．則__________．【答案】250【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的計算規(guī)則計算可得；【詳解】解：，解得．故答案為：【點睛】本題考查分層抽樣的應用，屬于基礎(chǔ)題.14.設a，b是非零實數(shù)，且滿足，則＝_______．【答案】【解析】【分析】先把已知條件轉(zhuǎn)化為．利用正切函數(shù)的周期性求出，即可求得結(jié)論．【詳解】因為，（tanθ）∴∴．tanθ＝tan（kπ）．∴故答案為．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查了兩角和的正切公式，屬于中檔題．15.如圖，圓與軸相切于點，與軸正半軸交于兩點（在的上方），且．（Ⅰ）圓的標準方程為；（Ⅱ）過點任作一條直線與圓相交于兩點，下列三個結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的序號是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依題意，設（為圓的半徑），因為，所以，所以圓心，故圓的標準方程為．（Ⅱ）聯(lián)立方程組，解得或，因為在的上方，所以，，令直線方程為，此時，，所以，，，因為，，所以．所以，，正確結(jié)論的序號是①②③．考點：圓的標準方程，直線與圓的位置關(guān)系．16.已知函數(shù)對任意的，都有，函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，則方程在區(qū)間內(nèi)的所有零點之和為_____________．【答案】4【解析】∵函數(shù)是奇函數(shù)∴函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱∴把函數(shù)的圖象向右平移1個單位可得函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則.又∵∴，從而∴，即∴函數(shù)的周期為2，且圖象關(guān)于直線對稱.畫出函數(shù)的圖象如圖所示：∴結(jié)合圖象可得區(qū)間內(nèi)有8個零點，且所有零點之和為.故答案為4.點睛：函數(shù)零點的求解與判斷：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．四、解答題（共6題，共78分）17.已知函數(shù).（1）求的振幅、最小正周期和初相位；（2）將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，當時，求的取值范圍.【答案】（1）振幅為，最小正周期為，初相位為；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，進而可求得函數(shù)的振幅、最小正周期和初相位；（2）利用圖象變換求得，由求得取值范圍，利用余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1），因此，函數(shù)的振幅為，最小正周期為，初相位為；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則，當時，，，所以，，因此，當時，的取值范圍是.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的振幅、最小正周期和初相位的求解，同時也考查了余弦型函數(shù)值域的求解，以及利用圖象變換求函數(shù)解析式，考查計算能力，屬于中等題.18.已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求解出，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）通過分析數(shù)列的規(guī)律，由此求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由于，所以對應的區(qū)間為：，則；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個.所以.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，考查分析思考與解決問的能力，屬于中檔題.19.如圖：在直三棱柱中，，，是棱上一點，是的延長線與的延長線的交點，且平面.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）若點在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）連結(jié)，設，連結(jié)，由平面，利用線面平行的性質(zhì)，可得，由是的中點，證得為的中點；（2）建立空間直角坐標系，用向量法求二面角的正弦值；（3）在第二問的基礎(chǔ)上，設，根據(jù)直線與平面所成的角的正弦值，求出，求出線段的長【詳解】（1）連結(jié)，設，連結(jié)∵平面，平面，平面平面，∴.∵為正方形的中心，∴.∴.∵，∴.（2）以為坐標原點，為軸，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標系.則，，，，，設平面的法向量為，又則，令，得，設平面的法向量為，又則則，令，得，∴.∴.∴二面角的正弦值為.（3）設，其中∴∵，∴∴，.【點睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)，利用空間向量坐標運算解決二面角，線面角問題，還考查了學生空間想象能力，運算能力，屬于中檔題.20.某公司有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元（），剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高．（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則調(diào)整員工從事第三產(chǎn)業(yè)的人數(shù)應在什么范圍？（2）在（1）的條件下，若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用剩余員工創(chuàng)造的年總利潤大于等于原來的年總利潤可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意得到，分離變量可知，根據(jù)對號函數(shù)單調(diào)性可求得的最小值，由此得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：，即，又，；（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則，，即恒成立，函數(shù)在上是減函數(shù)，函數(shù)的最小值為，.即的取值范圍為.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題，涉及到函數(shù)最值的求解問題；本題中求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的關(guān)系，利用對號函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)最值，進而得到參數(shù)范圍.21.在平面直角坐標系中，已知直線∶和圓∶，是直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為.（1）若，求點坐標；（2）若圓上存在點，使得，求點的橫坐標的取值范圍；（3）設線段的中點為，與軸的交點為，求線段長的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先求出到圓心的距離為，設，解方程即得解；（2）設，若圓上存在點，使得，分析得到，即，解不等式得解；（3）設，可得所在直線方程：，點的軌跡為：，根據(jù)求出最大值得解.【詳解】（1）若，則四邊形為正方形，則到圓心的距離為，∵在直線上，設故，解得，故；（2）設，若圓上存在點，使得，過作圓的切線，，∴，∴，在直角三角形中，∵，∴，即，∴，∴，解得，∴點橫坐標的取值范圍為：；（3）設，則以為直徑的圓的方程為化簡得，與聯(lián)立，可得所在直線方程：，聯(lián)立，得，∴的坐標為，可得點軌跡為：，圓心，半徑.其中原點為極限點（也可以去掉）.由題意可知，∴.∴.∴線段的最大值為.【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查圓中的軌跡問題的解法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸．（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，若角滿足，求的取值范圍；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍后所得到的圖象對應的函數(shù)記作，已知常數(shù)，，且函數(shù)在內(nèi)恰有個零點，求常數(shù)與的值．【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）由函數(shù)的周期公式可求出的值，求出函數(shù)的對稱軸方程，結(jié)合直線為一條對稱軸結(jié)合的范圍可得出的值，于此得出函數(shù)的解析式；