5.1.2導數(shù)的概念及其幾何意義（第1課時）-高中數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

人教A版（2019）高中數(shù)學選擇性必修二5.1.2導數(shù)的概念及其幾何意義

第一課時課程標準1.通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬間變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道導數(shù)是關(guān)于瞬間變化率的數(shù)學表達，體會導數(shù)的內(nèi)涵與思想；2.體會極限思想；3.通過函數(shù)圖象直接理解導數(shù)的幾何意義。一二三學習目標據(jù)導數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程．正確理解曲線“過某點”和“在某點”處的切線，并會求其方程.培養(yǎng)學生數(shù)學抽象及直觀想象的核心素養(yǎng)，提升數(shù)學運算核心素養(yǎng).學習目標新課導入一類是物理學中的問題，涉及平均速度和瞬時速度；一類是幾何學中的問題，涉及割線斜率和切線斜率.

這兩類問題來自不同的學科領(lǐng)域，但在解決問題時，都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時變化率”的思想方法；問題的答案也有一樣的表示形式.下面我們用上述思想方法研究更一般的問題.前面我們研究了兩類變化率問題：無限逼近無限逼近新知探究一：導數(shù)的概念1.平均變化率

對于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋?x，相應地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋?x).這時，x的變化量為?x，y的變化量為

?y＝f(x0＋?x)－f(x0).我們把比值

，即叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋?x的平均變化率.

4.函數(shù)的平均變化率為0，并不一定說明函數(shù)f(x)沒有變化新知探究一：導數(shù)的概念2.瞬時變化率

3.導數(shù)的概念新知探究一：導數(shù)的概念導數(shù)是平均變化率的極限，是瞬時變化率的數(shù)學表達.如果當無限趨近于0時，平均變化率

無限趨近于一個確定的值，即

有極限，則稱_________________________，并把這個確定的值叫做______________________(也稱為__________),記作_

___或____

__.用極限符號表示這個定義，

就是_

_________________________________

y＝

f(x)在x

＝

x0處可導瞬時變化率

y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)新知解析說明1.f′(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0其導數(shù)值一般也不相同；2.

f′(x0)與?x的具體取值無關(guān)；3.瞬時變化率與導數(shù)是同一概念的兩個名稱；問題

根據(jù)導數(shù)的定義，你能用導數(shù)來重述跳水運動員速度問題和拋物線切線問題的結(jié)論嗎？由導數(shù)的定義可知問題1中運動員在t=1時的瞬時速度為v(1)就是函數(shù)h(t)在t=1處的導數(shù)h′(1)，即問題2中拋物線f(x)＝x2在點P0(1,1)處的切線P0T的斜率k0就是函數(shù)f(x)＝x2在x＝1處的導數(shù)f′(1)，即新知解析導數(shù)的作用：導數(shù)可以描繪任何事物的瞬時變化率問題

根據(jù)導數(shù)的定義，你能歸納出求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的步驟嗎？新知解析一差、二比、三極限典例分析例1設(shè)

，求解：1.設(shè)函數(shù)

f(x)在x＝x0處可導，若，則f′(x0)=()A.1B.-1C.D.C2.設(shè)函數(shù)

f(x)在x＝x0處可導，若

()A.f′(x0)B.2f′(x0)C.-2f′(x0)D.0B跟蹤練習典例分析例2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱.已知在第

xh時，原油的溫度（單位：℃）為

計算第2h與第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.解：在第2h和6h時，原油溫度的瞬時變化率就是f′(2)和

f′(6).

所以典例分析追問：

和

在這個實際問題中的意義是什么？

表示在第2h時，原油溫度的瞬時變化率為－3℃/h.這說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降.導數(shù)(瞬時變化率)為負，體現(xiàn)了下降的變化趨勢.

表示在第6h時，原油溫度的瞬時變化率為5℃/h，這說明在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率上升.導數(shù)(瞬時變化率)為正，體現(xiàn)了上升的變化趨勢.1.在例2中，計算第3h與第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.解：在第3

h附近，原油溫度大約以1

℃/h的速率下降；在第5

h附近，原油溫度大約以3

℃/h的速率上升.課本P66鞏固練習典例分析例3一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時汽車的速度(單位:m/s)為

y＝v(t)＝-t2＋6t＋60，求汽車在第2s與第6s時的瞬時加速度，并說明它們的意義.追問1：速度與瞬時加速度的關(guān)系是什么？瞬時加速度就是速度的瞬時變化率.解：在第2s和第6s時，汽車的瞬時加速度就是

和所以因為同理，追問2：和在這個實際問題中的意義是什么？

在本題中

是t0時刻汽車的瞬時加速度，反映了速度在t0時刻附近的變化情況.

表示在第2s時，汽車的瞬時加速度是2m/s2，這說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加2m/s.導數(shù)(瞬時變化率)為正，體現(xiàn)了增加的變化趨勢.

表示在第6s時，汽車的瞬時加速度是－6m/s2，這說明在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少6m/s.導數(shù)(瞬時變化率)為負，體現(xiàn)了減少的變化趨勢.瞬時速度是位移的瞬時變化率，瞬時加速度是速度的瞬時變化率.典例分析課本P66鞏固練習3.一質(zhì)點A沿直線運動，位移y(單位:m)與時間t(單位:s)之間的關(guān)系為y(t)=2t2+1，求質(zhì)點A在t=2.7s時的瞬時速度.因此質(zhì)點A在t=2.7s時的瞬時速度為10.8