上海市東昌中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

東昌中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)月考2023.10一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中第1題至第6題每題填對(duì)得4分，否則一律得零分；第7題至第12題每題填對(duì)得5分，否則一律得零分）1．直線的傾斜角為________．2．關(guān)于的方程的一個(gè)根是，則______．3．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則直線的方程是___________．4．已知直線，若直線在軸上的截距為2，則實(shí)數(shù)______．5．已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)______．6．若兩個(gè)方程，中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．7．已知向量，，若，則______．8．設(shè)點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是______．9．已知直線過(guò)點(diǎn)，且與直線的夾角為，則直線的方程為_______________．10．設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．11．曲線圍成的圖形的面積為__________．12．若對(duì)圓上任意一點(diǎn)，的取值與無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中第13題第14題每天4分，第15題第16題每題5分）13．平面內(nèi)點(diǎn)到、的距離之和是10，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B． C． D．14．若直線與直線平行，則的值為（）A．2或 B． C．或1 D．215．若，下列四個(gè)不等式：①②③④.其中不正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．316．已知點(diǎn)在圓內(nèi)，直線是以為中點(diǎn)的弦所在直線，直線的方程為，則（）A．且與圓相離 B．且與圓相切C．且與圓相交 D．且與圓相離三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17．（本題滿分14分，本題共有2個(gè)小題，第1題滿分6分，第2題滿分8分）已知中，，.（1）若，求邊上的高所在直線的一般式方程；（2）若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，求邊所在直線的一般式方程．

18．（本題滿分14分，本題共有2個(gè)小題，第1題滿分6分，第2題滿分8分）在等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的前項(xiàng)和．19．（本題滿分14分，本題共有2個(gè)小題，第1題滿分7分，第2題滿分7分）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到原點(diǎn)，光線經(jīng)過(guò)的重心．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸（為正方向），建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求的重心的坐標(biāo)，及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的周長(zhǎng)．

20．（本題滿分18分，本題共有3個(gè)小題，第1題滿分4分，第2題滿分6分，第3題滿分8分）已知直線和圓．（1）直線恒過(guò)一定點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短，求出弦長(zhǎng)；（3）在（2）的前提下，直線是過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線，求圓心在直線上，且與圓外切的動(dòng)圓中半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．21．（本題滿分18分，本題共有3個(gè)小題，第1題滿分4分，第2題滿分6分，第3題滿分8分）已知圓，定點(diǎn)，，其中為正實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于圓上任意一點(diǎn)均有成立（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)，的值；（3）當(dāng)，時(shí)，對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，若在圓上都存在不同的兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、填空題1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.12.11．曲線圍成的圖形的面積為______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，曲線化為，即；

當(dāng)時(shí)，曲線化為，即；

當(dāng)時(shí)，曲線化為，即；

當(dāng)時(shí)，曲線化為，即.

畫出圖像：因此曲線圍成圖形的面積.12．若對(duì)圓上任意一點(diǎn)，的取值與無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【解析】設(shè).

故可以看作點(diǎn)到直線與直線距離之和的5倍.∵的取值與無(wú)關(guān)，∴這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無(wú)關(guān)，如圖所示：可知直線平移時(shí)，點(diǎn)與直線的距離之和均為之間的距離，即此時(shí)圓在兩直線內(nèi)部.

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，化簡(jiǎn)得，

解得或（舍去），∴，即.故答案為：.二、選擇題13.B14.B15.C16.A15．若，下列四個(gè)不等式：①②③④.不正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由可得，從而，①不正確；，②正確；，則成立，③不正確；，④正確.故不正確的不等式的個(gè)數(shù)為2，故選C.16．已知點(diǎn)在圓內(nèi)，直線是以為中點(diǎn)的弦所在直線，直線的方程為，則（）A．且與圓相離 B．且與圓相切C．且與圓相交 D．且與圓相離【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，則.

因?yàn)閳A心到直線的距離，故直線與圓相離.

又直線的方程為，即，所以.

故選：A.三．解答題17.（1）；（2）.18.（1）；（2），∴為定值，.19.（1）；（2）.20．（本題滿分18分，本題共有3個(gè)小題，第1題滿分4分，第2題滿分6分，第3題滿分8分）已知直線和圓．（1）直線恒過(guò)一定點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)最短，求出弦長(zhǎng)；（3）在（2）的前提下，直線是過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線，求圓心在直線上，且與圓外切的動(dòng)圓中半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）；弦長(zhǎng)為；（3）.【解析】（1）證明：由直線得.

聯(lián)立，解得，所以直線恒過(guò)一定點(diǎn)；

（2）要使直線皮圓所截得的弦長(zhǎng)最短，則.

由圓得，所以圓心為，則，∴，解得；∴弦長(zhǎng)為；（3）由（2）得，直線，即.如圖，過(guò)與直線垂直的直線方程為，即.

聯(lián)立，解得.而到直線的距離，故所求圓的半徑為.即圓心在直線上，且與圓相外切的動(dòng)圓中半徑最小圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.21．（本題滿分18分，本題共有3個(gè)小題，第1題滿分4分，第2題滿分6分，第3題滿分8分）已知圓，定點(diǎn)，，其中為正實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于圓上任意一點(diǎn)均有成立（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)和的值；（3）當(dāng)，時(shí)，對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，若在圓上都存在不同的兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）相離；（2），；（3）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的半徑，圓心.

直線的方程為：，即，