區(qū)間數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用

區(qū)間數(shù)的運(yùn)算及其在管理上應(yīng)用蘭繼斌lanjibin@區(qū)間數(shù)的運(yùn)算定義1設(shè)a=[a-,a+]={x︱a-≤x≤a+,a-,a+∈R},則稱是一個區(qū)間數(shù)。特別地，如果a-=a+，則是a一個普通實數(shù)。設(shè)a=[a-,a+],b=[b-,b+]兩個區(qū)間數(shù)，a=b當(dāng)且僅當(dāng)a-=b-

，a+=b+。兩個區(qū)間數(shù)a=[a-,a+],b=[b-,b+]之間的二元運(yùn)算關(guān)系如下區(qū)間數(shù)的運(yùn)算（1）加法運(yùn)算：a＋b=[a-+b-,a++b+]（2）減法運(yùn)算：a-b=[a--b+,a+-b-]（3）乘法運(yùn)算：ab=[min{a-b-,a-b+,a+b-,a+b+},max{a-b-,a-b+,a+b-,a+b+},]區(qū)間數(shù)的運(yùn)算特別地，當(dāng)區(qū)間數(shù)a，b為非負(fù)區(qū)間數(shù)時，即a-≥0，b-≥0，有ab=[a-b-,a＋b＋]數(shù)乘運(yùn)算：區(qū)間數(shù)的運(yùn)算（4）除法運(yùn)算：特別地，當(dāng)區(qū)間數(shù)a，b為正區(qū)間數(shù)時，有區(qū)間數(shù)的運(yùn)算（5）指數(shù)關(guān)系：其中為實數(shù)c>1，a為正區(qū)間數(shù)；（6）對數(shù)關(guān)系：其中為實數(shù)c>1，b為正區(qū)間數(shù)；區(qū)間數(shù)的運(yùn)算（7）乘方運(yùn)算：其中a為正區(qū)間數(shù)；開方運(yùn)算：其中a為正區(qū)間數(shù)；區(qū)間數(shù)的比較為了方便，設(shè)區(qū)間數(shù)a=[a-,a+]和b=[b-,b+]。方法1

日本學(xué)者Nakaharaetal給出了如下的區(qū)間數(shù)大小比較的可能度公式：區(qū)間數(shù)的比較方法2

張全，樊治平給出了比較兩個區(qū)間數(shù)大小的可能度，即區(qū)間數(shù)的比較方法3達(dá)慶利，劉新旺針對目標(biāo)函數(shù)和約束條件的系數(shù)均為區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃問題，在提出基于模糊約束滿意度的求解方法的過程中，給出了如下兩個區(qū)間數(shù)大小比較的可能度，為區(qū)間數(shù)的比較方法4張興芳，張興偉給出了基于可信度的兩個區(qū)間數(shù)大小比較的方法為：區(qū)間數(shù)的比較方法5徐澤水，達(dá)慶利給出了兩個區(qū)間數(shù)大小比較的可能度，得到一個可能度矩陣進(jìn)行排序。（1）均是實數(shù)時，稱的可能度為區(qū)間數(shù)的比較(2)a,b同時為區(qū)間數(shù)或者有一個為區(qū)間數(shù)時，a≥b的可能度定義為區(qū)間數(shù)的比較區(qū)間數(shù)可能度的二維定義設(shè)a=[a-,a+],b=[b-,b+],且a-≠a+，b-≠b+,在圖1中，s′是a≥b的部分，故圖1oa-a+b-b+y=xS′S〞XY區(qū)間數(shù)的比較方法6Ishibuchi和Tanaka在求解目標(biāo)函數(shù)系數(shù)為區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃問題時,定義了一種兩個區(qū)間數(shù)比較的弱偏好序關(guān)系,具體如下:區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用凈現(xiàn)值法在項目投資決策、投資評價、債券評價、醫(yī)療設(shè)備投資決策、長期投資決策及項目投資柔性等方面得到廣泛的應(yīng)用，是經(jīng)濟(jì)活動評判的一種重要方法。凈現(xiàn)值指標(biāo)也是項目財務(wù)評價和社會經(jīng)濟(jì)評價的重要指標(biāo)之一。目前，對凈現(xiàn)值法的研究及成果主要有：基于有效性測度研究區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用模糊投資支出和凈現(xiàn)金流量，利用模糊機(jī)會約束規(guī)劃模型資本預(yù)算問題，由仿真遺傳算法求解機(jī)會約束規(guī)劃模型問題；采用風(fēng)險累加法及參考經(jīng)驗數(shù)據(jù)法確定折現(xiàn)率，并引入實物期權(quán)理論對凈現(xiàn)值法進(jìn)行研究；采用動態(tài)觀念和方法來對現(xiàn)金流量及折現(xiàn)率進(jìn)行測算；從再投資假設(shè)和對項區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用目現(xiàn)金流的重新分類的角度，修正凈現(xiàn)值法的計算模式；采用信息論中的“熵”作為度量項目投資風(fēng)險的數(shù)量指標(biāo)，結(jié)合現(xiàn)金流量隨機(jī)過程分析，就風(fēng)險補(bǔ)償率問題給出了在風(fēng)險條件下的隨機(jī)凈現(xiàn)值分析方法；從不確定性角度研究凈現(xiàn)值問題；結(jié)合概率上的偏差，用資產(chǎn)定價模型估計改進(jìn)凈現(xiàn)值方法。在實際應(yīng)用過程中，凈現(xiàn)值法存在較大的局限性，主要表現(xiàn)在：區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用1）各期凈現(xiàn)金流和折現(xiàn)率的確定較為困難。由于大多數(shù)的投資項目風(fēng)險較高，影響因素較多，因而投資項目的各期凈現(xiàn)金流量和折現(xiàn)率經(jīng)常變化，往往難以確定，特別是長期投資項目更是如此。我們可以觀察2007年至今中國股票市場的變化及中國人民銀行對利率的調(diào)整情況。區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用2）忽視了投資項目中的經(jīng)營柔性，導(dǎo)致在許多情況下對項目價值的低估?，F(xiàn)實中，決策者會根據(jù)具體的市場環(huán)境靈活調(diào)整投資決策，凈現(xiàn)值法不能反映這種靈活性。凈現(xiàn)值法假設(shè)項目投產(chǎn)后總是按決策之初的既定程序進(jìn)行，未考慮決策者對未來變化的適時調(diào)整。預(yù)測往往是有偏差的，偏差200％也不奇怪。區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用3）傳統(tǒng)的凈現(xiàn)值法假定年利率是固定的，這不符合現(xiàn)實情況。從經(jīng)濟(jì)發(fā)展的角度來說，經(jīng)濟(jì)發(fā)展不是平穩(wěn)的，年利率是隨經(jīng)濟(jì)的發(fā)展而變化的，即年利率可能是一個隨機(jī)變量。從人對事物認(rèn)識的角度上說，人們對事物發(fā)展的估計通常是模糊的，不是精確的，并且人們對事物變化的承受能力有一個范圍，如果事物的變化在這個范圍內(nèi)，是可以接受的，一旦超出這個范圍，則人們就不會接受因這一變化而產(chǎn)生的結(jié)果。區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用凈現(xiàn)值（netpresentvalue，NPV）是項目投資決策中應(yīng)用十分廣泛的評價標(biāo)準(zhǔn)。凈現(xiàn)值投資評價法的原理簡單且重要，即只有當(dāng)投資項目的產(chǎn)出大于或至少等于其投入時，該投資才是值得的。凈現(xiàn)值指標(biāo)是對投資項目進(jìn)行動態(tài)評價的最重要指標(biāo)之一，該指標(biāo)要求考察項目壽命期內(nèi)每年發(fā)生的現(xiàn)金流量，按一定的折現(xiàn)率將各年凈現(xiàn)金流量折現(xiàn)到同一點(diǎn)（通常是期初）的現(xiàn)值累加值就是凈現(xiàn)值，即：區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用iNPVOi*圖1區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用式（1）中，NPV為凈現(xiàn)值，F(xiàn)t為第t年的凈現(xiàn)金流量，i為折現(xiàn)率。決策準(zhǔn)則為：①若NPV≥0，則認(rèn)為項目在經(jīng)濟(jì)效益上是可被接受；②若NPV

＜0，則認(rèn)為項目在經(jīng)濟(jì)效益上是不可被接受的。區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用假定決策者對某投資項目發(fā)生在壽命期內(nèi)第t年的凈現(xiàn)金流量估計為Ft，其中t=0，1，2，…，N；Ft=[Ft-，F(xiàn)t+]為區(qū)間數(shù)；期望的折現(xiàn)率估計為i=[i-，i+]。由區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則和式(1)可得項目區(qū)間凈現(xiàn)值：區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用為分析方便，假定項目投資均在期初，且項目期初投資額是確定的，設(shè)為F0

，投資后每年的凈現(xiàn)金流量估計為區(qū)間數(shù)Ft=[Ft-，F(xiàn)t+]，其中t=1，2，…，N，折現(xiàn)率估計為區(qū)間數(shù)i=[i-，i+]，項目壽命周期為N

，由式（2）可得：區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用1）當(dāng)時NPV-(i+)>0，凈現(xiàn)值均大于0(如圖1)，從經(jīng)濟(jì)效益上來說該方案是獲利的，投資方案可以接受。oNPVii-

i+NPV-(x)NPV+(x)圖1區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用2）當(dāng)時NPV+(i-)<0，凈現(xiàn)值均小于0(如圖2)，從經(jīng)濟(jì)效益上來說該方案是虧損的，投資方案不可以接受。oNPVii-

i+NPV-(x)NPV+(x)圖2區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用3）當(dāng)NPV-(i+)<0且NPV+(i-)>0時，不能確定凈現(xiàn)值是大于0還是小于0，從經(jīng)濟(jì)效益上來說不能確定該方案是否獲利，此時又可分成下列4種情況來考慮：區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用①如圖3所示，NPV-(i+)<0且NPV+(i-)>0時，此時存在i1*,i2*∈[i-，i+]，分別使得NPV-(i1*)=0和NPV+(i2*)=0成立。當(dāng)時i∈[i-，i1*]，凈現(xiàn)值均大于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來說是獲利的，投資方案可以接受；區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用i-oNPViNPV-(x)NPV+(x)i+i1*圖3i2*s′s〞區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用當(dāng)時i∈(i1*

，i2*

]，不能確定凈現(xiàn)值大于0還是小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來說不能確定是否獲利，即不能確定投資方案是否可以接受；當(dāng)時i∈(i2*

，i+]，凈現(xiàn)值均小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來說是虧損的，投資方案不可以接受。也可以考慮獲得收益的可能度:s′/(s′+s〞)區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用②如圖4所示，NPV-(i-)>0且NPV+(i+)>0，此時存在i1*∈[i-,i+]，使得NPV-(i1*)=0成立。當(dāng)i∈[i-,i1*]時，凈現(xiàn)值均大于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來說是獲利的，投資方案可以接受；當(dāng)i∈[i1*,i+]時，不能確定凈現(xiàn)值大于0還是小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來說不能確定是否獲利，即不能確定投資方案是否可以接受。區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用oNPVii-i1*

i+NPV-(x)NPV+(x)圖4S′S〞區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用③如圖5所示，NPV-(i-)<0且NPV+(i+)<0，此時存在i2*∈[i-,i+]，使得NPV+(i2*)=0成立。當(dāng)i∈[i-,i2*]時，不能確定凈現(xiàn)值大于0還是小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來說不能確定是否獲利，即不能確定投資方案是否可以接受；當(dāng)i∈[i2*,i+]時，凈現(xiàn)值均小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來說是虧損的，投資方案不可以接受。區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用oNPVii-

i2*i+NPV-(x)NPV+(x)圖5區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用④如圖6所示，NPV-(i-)<0且NPV+(i+)>0，此時存在i1*,i2*∈[i-,i+]，使得NPV－(i1*)=0和NPV+(i2*)=0成立。當(dāng)i∈[i-,i+]時，不能確定凈現(xiàn)值大于0還是小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來說不能確定是否獲利，即不能確定投資方案是否可以接受。區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用oNPVii-

i+NPV-(x)NPV+(x)圖6區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用將上述決策信息告知決策者，由決策者根據(jù)對未來折現(xiàn)率的期望值來對項目進(jìn)行決策：如果決策者對未來折現(xiàn)率的期望值在項目可獲利的折現(xiàn)率范圍之內(nèi)，可考慮是否接受投資方案；如果決策者不舍棄投資方案，則可由其提供新的凈現(xiàn)金流量及折現(xiàn)率的估計區(qū)間；待再次對項目進(jìn)行決策分析后，將決策信息反饋給決策者，再由決策者對投資方案進(jìn)行決策。區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用基于區(qū)間數(shù)折現(xiàn)率的項目投資回收期

項目在期初支付投資額為F0(F0<0)，當(dāng)年產(chǎn)生受益，設(shè)決策者對折現(xiàn)率的估計為區(qū)間數(shù)i=[i-,i+]，第t年的現(xiàn)金流量估計為區(qū)間數(shù)Ft=[Ft-,Ft+]，由區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則知，第t年的現(xiàn)值為區(qū)間數(shù)

區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用經(jīng)過n年后的收益現(xiàn)值為區(qū)間數(shù)

區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用記：隨著n的增大而逐步增大，且為了確定項目的投資回收期，將

區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用n=1,2,….代入f(n),g(n)，確定N1,N2，使得

通過內(nèi)部插值法可以計算出：

區(qū)間數(shù)在財務(wù)評價中的應(yīng)用由于f(n)≤g(n)，顯然有T2≤T1，則項目的區(qū)間回收