區(qū)間數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用

區(qū)間數(shù)的運(yùn)算及其在管理上應(yīng)用蘭繼斌lanjibin@區(qū)間數(shù)的運(yùn)算定義1設(shè)a=[a-,a+]={x︱a-≤x≤a+,a-,a+∈R},則稱是一個(gè)區(qū)間數(shù)。特別地，如果a-=a+，則是a一個(gè)普通實(shí)數(shù)。設(shè)a=[a-,a+],b=[b-,b+]兩個(gè)區(qū)間數(shù)，a=b當(dāng)且僅當(dāng)a-=b-

，a+=b+。兩個(gè)區(qū)間數(shù)a=[a-,a+],b=[b-,b+]之間的二元運(yùn)算關(guān)系如下區(qū)間數(shù)的運(yùn)算（1）加法運(yùn)算：a＋b=[a-+b-,a++b+]（2）減法運(yùn)算：a-b=[a--b+,a+-b-]（3）乘法運(yùn)算：ab=[min{a-b-,a-b+,a+b-,a+b+},max{a-b-,a-b+,a+b-,a+b+},]區(qū)間數(shù)的運(yùn)算特別地，當(dāng)區(qū)間數(shù)a，b為非負(fù)區(qū)間數(shù)時(shí)，即a-≥0，b-≥0，有ab=[a-b-,a＋b＋]數(shù)乘運(yùn)算：區(qū)間數(shù)的運(yùn)算（4）除法運(yùn)算：特別地，當(dāng)區(qū)間數(shù)a，b為正區(qū)間數(shù)時(shí)，有區(qū)間數(shù)的運(yùn)算（5）指數(shù)關(guān)系：其中為實(shí)數(shù)c>1，a為正區(qū)間數(shù)；（6）對(duì)數(shù)關(guān)系：其中為實(shí)數(shù)c>1，b為正區(qū)間數(shù)；區(qū)間數(shù)的運(yùn)算（7）乘方運(yùn)算：其中a為正區(qū)間數(shù)；開(kāi)方運(yùn)算：其中a為正區(qū)間數(shù)；區(qū)間數(shù)的比較為了方便，設(shè)區(qū)間數(shù)a=[a-,a+]和b=[b-,b+]。方法1

日本學(xué)者Nakaharaetal給出了如下的區(qū)間數(shù)大小比較的可能度公式：區(qū)間數(shù)的比較方法2

張全，樊治平給出了比較兩個(gè)區(qū)間數(shù)大小的可能度，即區(qū)間數(shù)的比較方法3達(dá)慶利，劉新旺針對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件的系數(shù)均為區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，在提出基于模糊約束滿意度的求解方法的過(guò)程中，給出了如下兩個(gè)區(qū)間數(shù)大小比較的可能度，為區(qū)間數(shù)的比較方法4張興芳，張興偉給出了基于可信度的兩個(gè)區(qū)間數(shù)大小比較的方法為：區(qū)間數(shù)的比較方法5徐澤水，達(dá)慶利給出了兩個(gè)區(qū)間數(shù)大小比較的可能度，得到一個(gè)可能度矩陣進(jìn)行排序。（1）均是實(shí)數(shù)時(shí)，稱的可能度為區(qū)間數(shù)的比較(2)a,b同時(shí)為區(qū)間數(shù)或者有一個(gè)為區(qū)間數(shù)時(shí)，a≥b的可能度定義為區(qū)間數(shù)的比較區(qū)間數(shù)可能度的二維定義設(shè)a=[a-,a+],b=[b-,b+],且a-≠a+，b-≠b+,在圖1中，s′是a≥b的部分，故圖1oa-a+b-b+y=xS′S〞XY區(qū)間數(shù)的比較方法6Ishibuchi和Tanaka在求解目標(biāo)函數(shù)系數(shù)為區(qū)間數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí),定義了一種兩個(gè)區(qū)間數(shù)比較的弱偏好序關(guān)系,具體如下:區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用凈現(xiàn)值法在項(xiàng)目投資決策、投資評(píng)價(jià)、債券評(píng)價(jià)、醫(yī)療設(shè)備投資決策、長(zhǎng)期投資決策及項(xiàng)目投資柔性等方面得到廣泛的應(yīng)用，是經(jīng)濟(jì)活動(dòng)評(píng)判的一種重要方法。凈現(xiàn)值指標(biāo)也是項(xiàng)目財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)之一。目前，對(duì)凈現(xiàn)值法的研究及成果主要有：基于有效性測(cè)度研究區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用模糊投資支出和凈現(xiàn)金流量，利用模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型資本預(yù)算問(wèn)題，由仿真遺傳算法求解機(jī)會(huì)約束規(guī)劃模型問(wèn)題；采用風(fēng)險(xiǎn)累加法及參考經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)法確定折現(xiàn)率，并引入實(shí)物期權(quán)理論對(duì)凈現(xiàn)值法進(jìn)行研究；采用動(dòng)態(tài)觀念和方法來(lái)對(duì)現(xiàn)金流量及折現(xiàn)率進(jìn)行測(cè)算；從再投資假設(shè)和對(duì)項(xiàng)區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用目現(xiàn)金流的重新分類的角度，修正凈現(xiàn)值法的計(jì)算模式；采用信息論中的“熵”作為度量項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)的數(shù)量指標(biāo)，結(jié)合現(xiàn)金流量隨機(jī)過(guò)程分析，就風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率問(wèn)題給出了在風(fēng)險(xiǎn)條件下的隨機(jī)凈現(xiàn)值分析方法；從不確定性角度研究?jī)衄F(xiàn)值問(wèn)題；結(jié)合概率上的偏差，用資產(chǎn)定價(jià)模型估計(jì)改進(jìn)凈現(xiàn)值方法。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，凈現(xiàn)值法存在較大的局限性，主要表現(xiàn)在：區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用1）各期凈現(xiàn)金流和折現(xiàn)率的確定較為困難。由于大多數(shù)的投資項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)較高，影響因素較多，因而投資項(xiàng)目的各期凈現(xiàn)金流量和折現(xiàn)率經(jīng)常變化，往往難以確定，特別是長(zhǎng)期投資項(xiàng)目更是如此。我們可以觀察2007年至今中國(guó)股票市場(chǎng)的變化及中國(guó)人民銀行對(duì)利率的調(diào)整情況。區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用2）忽視了投資項(xiàng)目中的經(jīng)營(yíng)柔性，導(dǎo)致在許多情況下對(duì)項(xiàng)目?jī)r(jià)值的低估。現(xiàn)實(shí)中，決策者會(huì)根據(jù)具體的市場(chǎng)環(huán)境靈活調(diào)整投資決策，凈現(xiàn)值法不能反映這種靈活性。凈現(xiàn)值法假設(shè)項(xiàng)目投產(chǎn)后總是按決策之初的既定程序進(jìn)行，未考慮決策者對(duì)未來(lái)變化的適時(shí)調(diào)整。預(yù)測(cè)往往是有偏差的，偏差200％也不奇怪。區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用3）傳統(tǒng)的凈現(xiàn)值法假定年利率是固定的，這不符合現(xiàn)實(shí)情況。從經(jīng)濟(jì)發(fā)展的角度來(lái)說(shuō)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展不是平穩(wěn)的，年利率是隨經(jīng)濟(jì)的發(fā)展而變化的，即年利率可能是一個(gè)隨機(jī)變量。從人對(duì)事物認(rèn)識(shí)的角度上說(shuō)，人們對(duì)事物發(fā)展的估計(jì)通常是模糊的，不是精確的，并且人們對(duì)事物變化的承受能力有一個(gè)范圍，如果事物的變化在這個(gè)范圍內(nèi)，是可以接受的，一旦超出這個(gè)范圍，則人們就不會(huì)接受因這一變化而產(chǎn)生的結(jié)果。區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用凈現(xiàn)值（netpresentvalue，NPV）是項(xiàng)目投資決策中應(yīng)用十分廣泛的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。凈現(xiàn)值投資評(píng)價(jià)法的原理簡(jiǎn)單且重要，即只有當(dāng)投資項(xiàng)目的產(chǎn)出大于或至少等于其投入時(shí)，該投資才是值得的。凈現(xiàn)值指標(biāo)是對(duì)投資項(xiàng)目進(jìn)行動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)的最重要指標(biāo)之一，該指標(biāo)要求考察項(xiàng)目壽命期內(nèi)每年發(fā)生的現(xiàn)金流量，按一定的折現(xiàn)率將各年凈現(xiàn)金流量折現(xiàn)到同一點(diǎn)（通常是期初）的現(xiàn)值累加值就是凈現(xiàn)值，即：區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用iNPVOi*圖1區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用式（1）中，NPV為凈現(xiàn)值，F(xiàn)t為第t年的凈現(xiàn)金流量，i為折現(xiàn)率。決策準(zhǔn)則為：①若NPV≥0，則認(rèn)為項(xiàng)目在經(jīng)濟(jì)效益上是可被接受；②若NPV

＜0，則認(rèn)為項(xiàng)目在經(jīng)濟(jì)效益上是不可被接受的。區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用假定決策者對(duì)某投資項(xiàng)目發(fā)生在壽命期內(nèi)第t年的凈現(xiàn)金流量估計(jì)為Ft，其中t=0，1，2，…，N；Ft=[Ft-，F(xiàn)t+]為區(qū)間數(shù)；期望的折現(xiàn)率估計(jì)為i=[i-，i+]。由區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則和式(1)可得項(xiàng)目區(qū)間凈現(xiàn)值：區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用為分析方便，假定項(xiàng)目投資均在期初，且項(xiàng)目期初投資額是確定的，設(shè)為F0

，投資后每年的凈現(xiàn)金流量估計(jì)為區(qū)間數(shù)Ft=[Ft-，F(xiàn)t+]，其中t=1，2，…，N，折現(xiàn)率估計(jì)為區(qū)間數(shù)i=[i-，i+]，項(xiàng)目壽命周期為N

，由式（2）可得：區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用1）當(dāng)時(shí)NPV-(i+)>0，凈現(xiàn)值均大于0(如圖1)，從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)該方案是獲利的，投資方案可以接受。oNPVii-

i+NPV-(x)NPV+(x)圖1區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用2）當(dāng)時(shí)NPV+(i-)<0，凈現(xiàn)值均小于0(如圖2)，從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)該方案是虧損的，投資方案不可以接受。oNPVii-

i+NPV-(x)NPV+(x)圖2區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用3）當(dāng)NPV-(i+)<0且NPV+(i-)>0時(shí)，不能確定凈現(xiàn)值是大于0還是小于0，從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)不能確定該方案是否獲利，此時(shí)又可分成下列4種情況來(lái)考慮：區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用①如圖3所示，NPV-(i+)<0且NPV+(i-)>0時(shí)，此時(shí)存在i1*,i2*∈[i-，i+]，分別使得NPV-(i1*)=0和NPV+(i2*)=0成立。當(dāng)時(shí)i∈[i-，i1*]，凈現(xiàn)值均大于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)是獲利的，投資方案可以接受；區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用i-oNPViNPV-(x)NPV+(x)i+i1*圖3i2*s′s〞區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用當(dāng)時(shí)i∈(i1*

，i2*

]，不能確定凈現(xiàn)值大于0還是小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)不能確定是否獲利，即不能確定投資方案是否可以接受；當(dāng)時(shí)i∈(i2*

，i+]，凈現(xiàn)值均小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)是虧損的，投資方案不可以接受。也可以考慮獲得收益的可能度:s′/(s′+s〞)區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用②如圖4所示，NPV-(i-)>0且NPV+(i+)>0，此時(shí)存在i1*∈[i-,i+]，使得NPV-(i1*)=0成立。當(dāng)i∈[i-,i1*]時(shí)，凈現(xiàn)值均大于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)是獲利的，投資方案可以接受；當(dāng)i∈[i1*,i+]時(shí)，不能確定凈現(xiàn)值大于0還是小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)不能確定是否獲利，即不能確定投資方案是否可以接受。區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用oNPVii-i1*

i+NPV-(x)NPV+(x)圖4S′S〞區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用③如圖5所示，NPV-(i-)<0且NPV+(i+)<0，此時(shí)存在i2*∈[i-,i+]，使得NPV+(i2*)=0成立。當(dāng)i∈[i-,i2*]時(shí)，不能確定凈現(xiàn)值大于0還是小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)不能確定是否獲利，即不能確定投資方案是否可以接受；當(dāng)i∈[i2*,i+]時(shí)，凈現(xiàn)值均小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)是虧損的，投資方案不可以接受。區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用oNPVii-

i2*i+NPV-(x)NPV+(x)圖5區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用④如圖6所示，NPV-(i-)<0且NPV+(i+)>0，此時(shí)存在i1*,i2*∈[i-,i+]，使得NPV－(i1*)=0和NPV+(i2*)=0成立。當(dāng)i∈[i-,i+]時(shí)，不能確定凈現(xiàn)值大于0還是小于0，方案從經(jīng)濟(jì)效益上來(lái)說(shuō)不能確定是否獲利，即不能確定投資方案是否可以接受。區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用oNPVii-

i+NPV-(x)NPV+(x)圖6區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用將上述決策信息告知決策者，由決策者根據(jù)對(duì)未來(lái)折現(xiàn)率的期望值來(lái)對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行決策：如果決策者對(duì)未來(lái)折現(xiàn)率的期望值在項(xiàng)目可獲利的折現(xiàn)率范圍之內(nèi)，可考慮是否接受投資方案；如果決策者不舍棄投資方案，則可由其提供新的凈現(xiàn)金流量及折現(xiàn)率的估計(jì)區(qū)間；待再次對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行決策分析后，將決策信息反饋給決策者，再由決策者對(duì)投資方案進(jìn)行決策。區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用基于區(qū)間數(shù)折現(xiàn)率的項(xiàng)目投資回收期

項(xiàng)目在期初支付投資額為F0(F0<0)，當(dāng)年產(chǎn)生受益，設(shè)決策者對(duì)折現(xiàn)率的估計(jì)為區(qū)間數(shù)i=[i-,i+]，第t年的現(xiàn)金流量估計(jì)為區(qū)間數(shù)Ft=[Ft-,Ft+]，由區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則知，第t年的現(xiàn)值為區(qū)間數(shù)

區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用經(jīng)過(guò)n年后的收益現(xiàn)值為區(qū)間數(shù)

區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用記：隨著n的增大而逐步增大，且為了確定項(xiàng)目的投資回收期，將

區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用n=1,2,….代入f(n),g(n)，確定N1,N2，使得

通過(guò)內(nèi)部插值法可以計(jì)算出：

區(qū)間數(shù)在財(cái)務(wù)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用由于f(n)≤g(n)，顯然有T2≤T1，則項(xiàng)目的區(qū)間回收