光學(xué)設(shè)計第08章 單色像差

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光學(xué)系統(tǒng)以單色光成像時，可產(chǎn)生五種性質(zhì)不同的像差，它們是球差、慧差、像散、像面彎曲和畸變，通稱為單色像差。這些單色像差中，有的僅與孔徑有關(guān)，只有當(dāng)成像光束孔徑角加大時才產(chǎn)生；有的僅與視場有關(guān)，只有當(dāng)成像范圍加大時才產(chǎn)生；有的則與孔徑和視場均有關(guān)。

§1球差

一球差的基本概念

如圖8－1所示,由軸上物點(diǎn)A發(fā)出的近軸光線1和1/,經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后,交軸上點(diǎn)A/；由

A發(fā)出的上、下邊緣光線3和3經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，交軸上于C點(diǎn)；由A點(diǎn)發(fā)出的上、下帶

//

光線（Uz?0.707UM）2和2/經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，交光軸于B/點(diǎn)。它們的后截距分別為

l,LM,LZ。

///圖8－1軸上物點(diǎn)單色光成像引起的像差――球差

由軸上物點(diǎn)所發(fā)出的光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，在光軸上不能交于一點(diǎn)，這是由于光學(xué)系統(tǒng)的孔徑大而引起的，這就是球差。

///假使我們以近軸交點(diǎn)為參考點(diǎn)，那么邊緣光線的縱向球差為：LAM?LM?l

帶光線的縱向球差為：LAZ?LZ?l

假使LAM?0,球差為負(fù)，稱為欠校正球差；假使LAM?0，球差為正，稱為過校正球差。

為了更直觀地表征因球差引起的像點(diǎn)的彌散程度，往往采用橫向球差的概念，它們是縱向球差在近軸像面上的投影（彌散），數(shù)學(xué)表達(dá)式為

TLAM?(LM?l)?tanUM?LAM?tanUMTLAZ?(LZ?l)?tanUZ?LAZ?tanUZ

/////////////////當(dāng)用一個光屏沿著光軸移動時，在屏上所得到的像為不同大小的彌散斑。如圖8－1所示。

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二球差表達(dá)式

光學(xué)系統(tǒng)的球差值是通過對整個系統(tǒng)進(jìn)行光路計算求得的。系統(tǒng)的總球差值是各個折射面累加而得，即每個折射面對系統(tǒng)的總球差值均有“貢獻(xiàn)〞。這些貢獻(xiàn)量就是系統(tǒng)的球差分布。

圖8－2球差的傳遞與單球面的球差

如圖8－2所示，在光學(xué)系統(tǒng)中某個折射表面以前的各個折射面產(chǎn)生的球差設(shè)為LA，是該折射面的物方球差，其后面的球差LA/為像方球差。LA/不能認(rèn)為是給定折射面產(chǎn)生的球差值，它包含了前面幾個折射面的球差貢獻(xiàn)；也不能認(rèn)為是該折射球面前幾個球面產(chǎn)生的球差的簡單累加。實(shí)際上，該球差由兩部分組成，一部分是該折射面本身產(chǎn)生的球差，以?*表示；另一部分是折射面物方球差（前幾個前球差累積）LA乘以該折射面的轉(zhuǎn)面倍率M而得，因此

/*LA???M?LA科爾伯（A.Kerber）選擇___n?u?sinU?Mn/?u/?sinU/

作為軸向像差的轉(zhuǎn)面公式。則單球面的球差表示為：

??LA?*/n?u?sinUn?u?sinU/////?LA

整理，得

n?u?sinU?LA?n?u?sinU?LA?n?u?sinU??

/////*令??S?S?2?n?u?sinU??，則

///////*式中S一2尋常稱為球差系數(shù)。

////?n?u?sinU?LA?n?u?sinU?LA

對于由多個光學(xué)元件組成的光學(xué)系統(tǒng)，各個表面的貢獻(xiàn)為：

n1?u1?sinU1?LA1?n1?u1?sinU1?LA1?n1?u1?sinU1??1n2?u2?sinU2?LA2?n2?u2?sinU2?LA2?n2?u2?sinU2??2

///////*///*...

nk?uk?sinUk?LAk?nk?uk?sinUk?LAk?nk?uk?sinUk??k

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///////*由轉(zhuǎn)面公式：

ni?1?ni，ui?1?ui，Ui?1?Ui，LAi?1?LAi

////得到各個表面對球差的貢獻(xiàn)之和：

kn?u?sinU?LA?n1?u1?sinU1?LA1?/k/k/k/k?ni?1/i?u?sinU????/i/i*i1k??(S2i?1)i

式中：(?S?2此式稱為科爾伯公式。

)i?ni?ui?sinUi??i

///*三單個折射球面的球差分布系數(shù)

下面對S一進(jìn)行進(jìn)一步的探討，如圖8－2所示：

?S?2//?n?u?sinU?LA'?n?u?sinU?LA?n?u?sinU(L?l)?n.u.sinU?(L?l)//////////////?n?u?sinU?[(L?r)?(l?r)]?nu?sinU?[(L?r)?(l?r)]?n?u?sinU?(L?r)?n?u?sinU?(l?r)?nu?sinU?(L?r)?nu?sinU?(l?r)/////

由三角形的關(guān)系（正弦定理），得：

(L?r)?sinU/////?r?sinI，(L?r)?sinU?r?sinI/////

u(l?r)?ri，u(l?r)?ri，ni?ni，u?u?i?i得?S?2?n?u?r?sinI?n?r?i?sinU?n?r?u?sinI?n?r?i?sinU/////////?n?u?r?sinI?n?r?i?sinU?n?u?r?sinI?n?r?i?sinU/?n?r?sinI?(u?u)?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?sinI?(i?i)?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?i?sinI?n?r?i?sinI?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?i?sinI?n?r?i?sinI?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?i?sinI?n?r?i?sinI?n?r?i?(sinU?sinU)?n?r?i?[(sinU?sinI)?(sinU///////////

?sinI)]/注意到U?I?U?I

S?2?n?r?i?(sinU?n?r?i?(2sin?2n?r?i?sin///?sinI?sinU?sinI)I?U2///?cos/I?U2///?2sinI?U2)?cosI?U2)I?U222?(cos?sinI?U2I?U//?cos/I?U2?sin/

I?U//??4n?r?i?sin?4n?r?i?sinI?U?I?U4I?I2?I?U4)I?U?sinI?U2?sin)

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8n?r?i?sin?I?U2?cos?sin?cos?sin222//I?UI?UI?I2cos?cos?cos222//I?UI?U/I?U/I?I2/?cosI?I2/?n?r?i?(sinI?sinU)?(sinI?sinU)(sinI?sinI)2cosI?U2?cosI?U2///?cosI?I2/?n?i?(r?sinI?r?sinU)?(sinI?sinU)(sinI?sinI)2cosI?U2?cosI?U2//?cos/I?I2/?n?i?[(L?r)?sinU?r?sinU]?(sinI?sinU)(sinI?sinI)2cosI?U2///?cosI?U2?cosI?I2//?n?i?L?sinU?(sinI?sinU)(sinI?sinI)2cosI?U2?cosI?U2?cosI?I2/

由上述公式可見，若要單折射球面的球差為零?？梢杂腥N狀況。

第一種狀況:L?0,即物點(diǎn)在折射面上。

其次種狀況：sinI?sinI/?0，只有I?I/?0，由

(L?r)?sinU//?r?sinI，(L?r)?sinU?r?sinI

/得L?L/?r，即:

物點(diǎn)和像點(diǎn)均在折射球面的球心處，或者說入射光線沿球面的法線方向入射。第三種狀況:sinI/?sinU?0,則I/?U.又由于sinI?/nn//?sinI?nn//?L?rr/?sinU.則L?n?nn//r

此時，還有I?U/,（因U?I?U/?I/）則sinI?nn/?sinI?n?n///nnr

?L?rr?sinU

/此時，像點(diǎn)：L?n這是一對無球差的共軛點(diǎn)位置，它們的符號一致，因此都在球心的同側(cè)，或者是實(shí)物成虛像，或者是虛物成實(shí)像，如圖8－3和圖8－4所示。

圖8－3齊明點(diǎn)（一）圖8－4齊明點(diǎn)（二）

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由上式，還可以得到該對無球差的共軛點(diǎn)的物像距關(guān)系：n/L/?nL又由于此時I?U/,I/?U,得sinUsinU/?sinIsinI/?n/n?LL/

sinUsinU/此式說明，這一對共軛點(diǎn)，不管孔徑角U多大，比值球差。這一對共軛點(diǎn)稱為不暈點(diǎn)，或稱為齊明點(diǎn)。

和

LL/始終保持常數(shù)，故不產(chǎn)生

四球差的級數(shù)表示式

球差是軸上點(diǎn)的像差。由于軸上點(diǎn)發(fā)出的光束對稱于光軸，當(dāng)孔徑角U或入射高度y改變符號時，縱向球差LA/不改變符號，故在LA/的級數(shù)展開式中，不應(yīng)當(dāng)包含有U或y的奇次方項；又由于當(dāng)U或y為零時，LA/必為零，展開式中也不應(yīng)有常數(shù)項；LA/是軸上點(diǎn)像差，與視場h無關(guān)，故也不應(yīng)包含h項。所以LA/的級數(shù)展開式為：

/246LA?a2y?a4y?a6y???或LA/?A2U2?A4U4?A6U6???

由橫向球差TLA/?LA/?tanU/可知，其符號隨U或y的符號改變而改變，但數(shù)值不變，或橫向球差的展開式中，只應(yīng)包含U或y的奇次方項，即：TLATLA//?k3y?k5y?k7y????k3y?k5y?k7y???

24357357對于一般的光學(xué)系統(tǒng)，取y到四次冪的精度就足夠了，因此，

LA/?a2y?a4y

只要追跡兩條光線（譬如，一條是孔徑的邊緣光線，一條是帶光線），就可以求出系數(shù)a2和a4。

/24假使使系統(tǒng)的邊緣帶球差為零，則LA?a2ym?a4ym?02則a2?a4ym

/224則有：LA??a4ymy?a4y

上式中，y處在ym和0之間，對上式微分，求LA/的極值

d(LA)dy/??2a4ymy?4a4y?0

23得：y??12可見，當(dāng)邊緣帶球差為零時，在0.707帶處球差有極值。這是光線光路計算過程中，取0.707孔徑作為帶光線的主要原因。

ym??0.707ym

五球差曲線

由光線的光路計算，可以確切地計算光學(xué)系統(tǒng)在不同物距、不同口徑下的球差值。如圖