人教版四年級數(shù)學(xué)上冊【課本】四年級上第12講-乘法原理進(jìn)階

第十二講乘法原理進(jìn)階在之前我們學(xué)習(xí)了“加法原理與乘法原理”一講，即分類相加與分步相乘的思想．如果完成一件事分為幾個步驟，在每一個步驟中又有不同的方法，那么把每步的方法數(shù)相乘就得到所有的方法數(shù)——這就是乘法原理．要想把過程分成幾個步驟從而應(yīng)用乘法原理，必須保證各步驟之間滿足下面兩個要求：每步都只是整件事情的一個部分，必須全部完成才算做完這件事；步驟之間要有先后順序，先確定好一步，再做下一步，……直到最后．那么是不是只要分步驟完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？如下圖，把A、B、C三部分用三種不同的顏色染色，要求相鄰兩部分不能同色，那么一共有多少種不同的染法呢？AABC其實，整個染色過程是需要分為三步的，即分別給其中一塊染色：當(dāng)染色順序為A→B→C時，那么A有3種染法，B不能和A一樣，有2種染法，同樣C有2種，那么一共就有“”種染法；（C→B→A同理）當(dāng)染色順序為B→A→C時，那么B有3種染法，A不能和B一樣，有2種染法，同樣C有2種，那么一共就有“”種染法；（B→C→A同理）當(dāng)染色順序為A→C→B時，那么A有3種染法，第二步C沒有限制，也有3種染法，但是最后的B就出問題了，我們沒法確定它有2種還是1種染法——如果C和A同色，則B有2種染法；如果C和A不同色，則B只有1種染法——此時，根據(jù)分步相乘的思想計算整個過程的染色方法“”就不再適用了．（C→A→B同理）因此，并不是只要分步完成整件事情就一定可以應(yīng)用乘法原理，要想應(yīng)用乘法原理，還必須滿足第三個要求：做完一步時，這一步的結(jié)果很可能會影響后面步驟的結(jié)果，但一定不能影響后面步驟的方法數(shù)．如果這一步的不同結(jié)果會導(dǎo)致后面某一步的方法數(shù)發(fā)生變化，就不能直接用乘法原理計算．

——簡稱“前不影響后原則”染色問題，是應(yīng)用乘法原理最常見的一類題型，其實，從上面對A、B、C三部分的染色分析我們應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)，染色的時候，要盡量避免“隔”著染，一定不要“跳”著染，而且，第一步要盡量去染“接觸最多”的那一部分，這樣，才能夠使得后面的染色過程盡量避開“前影響后”．例題1BECDA如圖，把A、B、C、D、BECDA「分析」分五步染色，先染哪一塊呢？能否按照A、B、C、D、E的順序染呢？

練習(xí)1ABCD如圖，把A、B、C、DABCD

例題2某市實行垃圾分類處理．每個地方放置五個垃圾桶，從左向右依次標(biāo)明：電池、塑料、廢紙、易拉罐、其它．現(xiàn)在準(zhǔn)備把五個垃圾桶染成紅、綠、藍(lán)這3種顏色之一．（1）要求相鄰兩個垃圾桶顏色不同，一共有多少種染色方法？（2）要求相鄰兩個垃圾桶顏色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成紅色，一共有多少種染色方法？「分析」如果我們先染廢紙垃圾桶：當(dāng)它染紅色時，回收易拉罐的垃圾桶可以染綠、藍(lán)兩種顏色；而當(dāng)它染綠色（藍(lán)色）時，回收廢紙的垃圾桶只能染藍(lán)色（綠色）．因此先染廢紙垃圾桶時，會影響易拉罐垃圾桶的染色方法數(shù)，就不能直接用乘法原理計算了．那么我們應(yīng)該先給哪個垃圾桶染色呢？練習(xí)2麥兜很挑食，只吃帶有魚丸或粗面的搭配．一天它和3位同學(xué)來餐廳吃東西，一開口就要魚丸粗面，結(jié)果老板說沒有．這個時候，由于時間太晚，餐廳快打烊了，只能做牛肚河粉，魚丸油面，豬肉米線和牛肉拉面各一份，請問它們四只豬各點(diǎn)一份，有幾種點(diǎn)法？在例題2中，有一個垃圾桶是有特殊要求的——易拉罐垃圾桶不能染成紅色，我們通過嘗試可知：如果一開始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就會影響到易拉罐垃圾桶的染色方法數(shù)，即不能滿足“前不影響后”原則，而如果首先染易拉罐垃圾桶，則不會出現(xiàn)該問題，所以一般而言，如果題目中有些對象是有特殊要求的，那么我們分步分析計算的時候，首先要考慮這些特殊的對象．例題3卡莉婭、墨莫、小高和大頭4名同學(xué)競選班委．有班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員三個職位，每個人只能擔(dān)任一個職位，并且每個職位只能由一個人擔(dān)任．

（1）有多少種可能的選舉結(jié)果？

（2）如果班長必須由卡莉婭來擔(dān)任，有多少種可能的選舉結(jié)果？

（3）如果生活委員只能在墨莫和大頭之中選，有多少種可能的選舉結(jié)果？

（4）如果學(xué)習(xí)委員不能由小高擔(dān)任，有多少種可能的選舉結(jié)果？「分析」可以按照職位一一確定，第（2）問中，班長只能由卡莉婭來擔(dān)任，那么先確定哪一個職位的人選呢？其他小問呢？練習(xí)3甲、乙、丙、丁、戊5個人競選班委．有班長、副班長、紀(jì)律委員、衛(wèi)生委員四個職位，每個人只能擔(dān)任一個職位，并且每個職位只能由一個人擔(dān)任：請問：（1）一共有多少種可能的選舉結(jié)果？（2）如果副班長只能在甲、丁和戊中選，有多少種可能的選舉結(jié)果？（3）如果衛(wèi)生委員不能由乙、丙擔(dān)任，有多少種可能的選舉結(jié)果？例題4甲、乙、丙、丁四個人要住進(jìn)A、B、C、D四間房間，每個房間住一個人．其中甲不住A房間，丙只住D房間．請問：這四個人住進(jìn)四個房間有多少種住法？「分析」本題中甲和丙有特殊要求，我們應(yīng)該先考慮甲還是丙呢？

練習(xí)4甲、乙、丙、丁四個人要住進(jìn)A、B、C、D四間房間，每個房間住一個人．其中甲只住A或B房間，丙只住A、B或C房間．請問：這四個人住進(jìn)四個房間有多少種住法？例題5甲、乙、丙、丁、戊五人要駕駛A、B、C、D、E這五輛不同型號的汽車，請計算在下列情況下，分別共有多少種不同的安排方案：

（1）只有甲能開汽車A，乙不會開汽車B；

（2）會開A的只有甲和乙，會開E的只有甲、乙、丙．「分析」第（1）問中，甲和丙兩人有特殊要求，我們應(yīng)該先考慮哪一個人呢？第（2）問中，A和E兩車有特殊要求，我們應(yīng)該先考慮哪輛車呢?

接下來我們分析一下“放相同棋子”的問題．如右圖，將2枚相同的棋子放入2×2的方格內(nèi)，每個格子只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，那么一共會有幾種方法呢？其實，要把兩枚相同的棋子放進(jìn)格子內(nèi)，只需要選出兩個格子即可，然后每個格子里放一枚棋子．一共有兩行，所以必定會是每行一枚，所以我們完全可以分行選格子，第一行有兩種選法，第一行選好后，第二行就只有一種選法了，所以一共有2×1=2種．例題6右圖是一個階梯形方格表，在方格中放入五枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有一枚棋子，這樣的放法共有多少種？「分析」容易看出，每行只能有1枚棋子，每列也只能由一枚棋子，我們可以把放五枚棋子的過程分成五步：一行一行或一列一列的放．課堂內(nèi)外四色定理四色定理與費(fèi)馬大定理、哥德巴赫猜想并稱為近代數(shù)學(xué)三大難題．四色定理的內(nèi)容是：對于任何一張地圖，只用四種顏色，就可以把有相鄰邊界的國家染上不同的顏色．四色問題的提出來自英國．1852年，在大學(xué)讀書的格

斯里向他的老師——著名數(shù)學(xué)家摩根提出了這個問題，摩根沒有能找到解決這個問題的途徑．“四色問題”提出以后，最初并沒有引起廣泛的重視，許多數(shù)學(xué)家低估了它的難度．就連素以謙虛著稱的德國數(shù)論專家閔可夫斯基在大學(xué)上拓?fù)湔n時也說：四色問題之所以一直沒有獲得解決，那僅僅是由于沒有一流的數(shù)學(xué)家來解決它．說罷，他拿起粉筆，竟要當(dāng)堂給學(xué)生推導(dǎo)出來，結(jié)果沒有成功．下一節(jié)課他又去試，還是沒有成功．過了幾個星期，仍無進(jìn)展．有一天，他剛跨進(jìn)教室，適逢天上雷聲大作，震耳欲聾．他馬上對學(xué)生說：“上天在責(zé)備我自大，我也無法解決四色問題．”這樣，四色問題就成了世界最著名的問題之一．l00多年中，“四色問題”使數(shù)學(xué)家們深為困擾．沒有人能證明它，也沒有人推翻它．電子計算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對話的出現(xiàn)，大大加快了四色猜想的證明進(jìn)程．就在1976年6月，哈肯與阿佩爾在美國伊利諾斯大學(xué)

的兩臺不同的電子計算機(jī)上，用了1200個小時，作了

100億次判斷，終于完成了四色定理的證明，

轟動了世界．作業(yè)五個座位排成一排，小高、墨莫、萱萱、阿呆、阿瓜每人選一個座位坐下，其中每個座位只能坐一個人，且萱萱不坐在中間的位置．這五個人有多少種坐法？

如圖，把A、B、C這三部分用4種不同的顏色染色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色．請問，這幅圖共有多