小升初考試數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

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,總)(1)平均數(shù)問(wèn)題：平均數(shù)是等分除法的開(kāi)展。解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。算術(shù)平均數(shù)：幾個(gè)不相等的同類(lèi)量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù)：兩個(gè)以上假設(shè)干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。數(shù)量關(guān)系式(局部平均數(shù)×權(quán)數(shù))的總和÷(權(quán)數(shù)的和)=加權(quán)平均數(shù)。差額平均數(shù)：是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的局部之和被總份數(shù)均分，求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。數(shù)量關(guān)系式：(大數(shù)-小數(shù))÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。例1：一輛汽車(chē)以每小時(shí)100千米的速度從甲地開(kāi)往乙地，又以每小時(shí)60千米的速度從乙地開(kāi)往甲地。求這輛車(chē)的平均速度。分析：求汽車(chē)的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“1〞，則汽車(chē)行駛的總路程為“2〞，從甲地到乙地的速度為100，所用的時(shí)間為，汽車(chē)從乙地到甲地速度為60千米，所用的時(shí)間是，汽車(chē)共行的時(shí)間為+=,汽車(chē)的平均速度為2÷=75(千米)(2)歸一問(wèn)題：相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是一樣的，這種問(wèn)題稱(chēng)之為歸一問(wèn)題。根據(jù)求“單一量〞的步驟的多少，歸一問(wèn)題可以分為一次歸一問(wèn)題，兩次歸一問(wèn)題。根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問(wèn)題可以分為正歸一問(wèn)題，反歸一問(wèn)題。一次歸一問(wèn)題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量〞的歸一問(wèn)題。又稱(chēng)“單歸一。〞兩次歸一問(wèn)題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量〞的歸一問(wèn)題。又稱(chēng)“雙歸一。〞正歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量〞之后，再用乘法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題。反歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量〞之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題。解題關(guān)鍵：從的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量(單一量)，然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣俊练輸?shù)=總數(shù)量(正歸一)總數(shù)量÷單一量=份數(shù)(反歸一)例2一個(gè)織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計(jì)算，織布6930米，需要多少天"分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。6930÷(4774÷31)=45(天)(3)歸總問(wèn)題：是單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量(或單位數(shù)量的個(gè)數(shù))，通過(guò)求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)(或單位數(shù)量)。特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過(guò)變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)挝粩?shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量=另一個(gè)單位數(shù)量單位數(shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量=另一個(gè)單位數(shù)量。例修一條水渠，原方案每天修800米，6天修完。實(shí)際4天修完，每天修了多少米"分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類(lèi)應(yīng)用題叫做“歸總問(wèn)題〞。不同之處是“歸一〞先求出單一量，再求總量，歸總問(wèn)題是先求出總量，再求單一量。800×6÷4=1200(米)(4)和差問(wèn)題：大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問(wèn)題。解題關(guān)鍵：是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和(或兩個(gè)小數(shù)的和)，然后再求另一個(gè)數(shù)。解題規(guī)律：(和+差)÷2=大數(shù)大數(shù)-差=小數(shù)(和-差)÷2=小數(shù)和-小數(shù)=大數(shù)例3*加工廠(chǎng)甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào)46人到甲班工作，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少12人，求原來(lái)甲班和乙班各有多少人"分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對(duì)于總數(shù)沒(méi)有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成2個(gè)乙班，即94-12，由此得到現(xiàn)在的乙班是(94-12)÷2=41(人)，乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)該為41+46=87(人)，甲班為94-87=7(人)(5)和倍問(wèn)題：兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問(wèn)題。解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)(即1倍數(shù))一般說(shuō)來(lái)，題中說(shuō)是“誰(shuí)〞的幾倍，把誰(shuí)就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個(gè)數(shù)(也可能是幾個(gè)數(shù))與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個(gè)數(shù)(或幾個(gè)數(shù))的數(shù)量。解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)例:汽車(chē)運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車(chē)115輛，大貨車(chē)比小貨車(chē)的5倍多7輛，運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車(chē)和小汽車(chē)各有多少輛"分析：大貨車(chē)比小貨車(chē)的5倍還多7輛，這7輛也在總數(shù)115輛，為了使總數(shù)與(5+1)倍對(duì)應(yīng)，總車(chē)輛數(shù)應(yīng)(115-7)輛。列式為(115-7)÷(5+1)=18(輛)，18×5+7=97(輛)(6)差倍問(wèn)題：兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差÷(倍數(shù)-1)=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)。例甲乙兩根繩子，甲繩長(zhǎng)63米，乙繩長(zhǎng)29米，兩根繩剪去同樣的長(zhǎng)度，結(jié)果甲所剩的長(zhǎng)度是乙繩長(zhǎng)的3倍，甲乙兩繩所剩長(zhǎng)度各多少米"各減去多少米"分析：兩根繩子剪去一樣的一段，長(zhǎng)度差沒(méi)變，甲繩所剩的長(zhǎng)度是乙繩的3倍，實(shí)比乙繩多(3-1)倍，以乙繩的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式(63-29)÷(3-1)=17(米)…乙繩剩下的長(zhǎng)度，17×3=51(米)…甲繩剩下的長(zhǎng)度，29-17=12(米)…剪去的長(zhǎng)度。(7)行程問(wèn)題：關(guān)于走路、行車(chē)等問(wèn)題，一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、速度，叫做行程問(wèn)題。解答這類(lèi)問(wèn)題首先要搞清楚速度、時(shí)間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律解答。解題關(guān)鍵及規(guī)律：同時(shí)同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間。同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間=速度和×?xí)r間同時(shí)同向而行(速度慢的在前，快的在后)：追及時(shí)間=路程速度差。同時(shí)同地同向而行(速度慢的在后，快的在前)：路程=速度差×?xí)r間。例甲在乙的后面28千米，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行16千米，乙每小時(shí)行9千米，甲幾小時(shí)追上乙"分析：甲每小時(shí)比乙多行(16-9)千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙(16-9)千米，這是速度差。甲在乙的后面28千米(追擊路程)，28千米里包含著幾個(gè)(16-9)千米，也就是追擊所需要的時(shí)間。列式28÷(16-9)=4(小時(shí))(8)流水問(wèn)題：一般是研究船在“流水〞中航行的問(wèn)題。它是行程問(wèn)題中比擬特殊的一種類(lèi)型，它也是一種和差問(wèn)題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。船速：船在靜水中航行的速度。水速：水流動(dòng)的速度。順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取Ｄ嫠俣龋捍媪骱叫械乃俣?。順?biāo)?船速+水速逆速=船速-水速解題關(guān)鍵：因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問(wèn)題當(dāng)作和差問(wèn)題解答。解題時(shí)要以水流為線(xiàn)索。解題規(guī)律：船行速度=(順?biāo)俣?逆流速度)÷2流水速度=(順流速度逆流速度)÷2路程=順流速度×順流航行所需時(shí)間路程=逆流速度×逆流航行所需時(shí)間例一只輪船從甲地開(kāi)往乙地順?biāo)?，每小時(shí)行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?小時(shí)，水速每小時(shí)4千米。求甲乙兩地相距多少千米"分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間，或者逆水速度和逆水的時(shí)間。順?biāo)俣群退魉俣龋虼瞬浑y算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道順?biāo)饶嫠儆?小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為284×2=20(千米)20×2=40(千米)40÷(4×2)=5(小時(shí))28×5=140(千米)。(9)復(fù)原問(wèn)題：*未知數(shù)，經(jīng)過(guò)一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果，求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做復(fù)原問(wèn)題。解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。解題規(guī)律：從最后結(jié)果出發(fā)，采用與原題中相反的運(yùn)算(逆運(yùn)算)方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。解答復(fù)原問(wèn)題時(shí)注意觀察運(yùn)算的順序。假設(shè)需要先算加減法，后算乘除法時(shí)別忘記寫(xiě)括號(hào)。例*小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生168人，如果四班調(diào)3人到三班，三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)6人到一班，一班調(diào)2人到四班，則四個(gè)班的人數(shù)相等，四個(gè)班原有學(xué)生多少人"分析：當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí)，應(yīng)為168÷4，以四班為例，它調(diào)給三班3人，又從一班調(diào)入2人，所以四班原有的人數(shù)減去3再加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為168÷4-2+3=43(人)一班原有人數(shù)列式為168÷4-6+2=38(人);二班原有人數(shù)列式為168÷4-6+6=42(人)三班原有人數(shù)列式為168÷4-3+6=45(人)。(10)植樹(shù)問(wèn)題：這類(lèi)應(yīng)用題是以“植樹(shù)〞為容。但凡研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹(shù)四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹(shù)問(wèn)題。解題關(guān)鍵：解答植樹(shù)問(wèn)題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線(xiàn)段植樹(shù)還是沿周長(zhǎng)植樹(shù)，然后按根本公式進(jìn)展計(jì)算。解題規(guī)律：沿線(xiàn)段植樹(shù)棵樹(shù)=段數(shù)+1棵樹(shù)=總路程÷株距+1株距=總路程÷(棵樹(shù)-1)總路程=株距×(棵樹(shù)-1)沿周長(zhǎng)植樹(shù)棵樹(shù)=總路程÷株距株距=總路程÷棵樹(shù)總路程=株距×棵樹(shù)例沿公路一旁埋電線(xiàn)桿301根，每相鄰的兩根的間距是50米。后來(lái)全部改裝，只埋了201根。求改裝后每相鄰兩根的間距。分析：此題是沿線(xiàn)段埋電線(xiàn)桿，要把電線(xiàn)桿的根數(shù)減掉一。列式為50×(301-1)÷(201-1)=75(米)(11)盈虧問(wèn)題：是在等分除法的根底上開(kāi)展起來(lái)的。他的特點(diǎn)是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次有余，一次缺乏(或兩次都有余)，或兩次都缺乏)，所余和缺乏的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問(wèn)題，叫做盈虧問(wèn)題。解題關(guān)鍵：盈虧問(wèn)題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配者沒(méi)份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差(也稱(chēng)總差額)，用前一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到分配者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)總差額的求法可以分為以下四種情況：第一次多余，第二次缺乏，總差額=多余+缺乏第一次正好，第二次多余或缺乏，總差額=多余或缺乏第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余第一次缺乏，第二次也缺乏，總差額=大缺乏-小缺乏例參加美術(shù)小組的同學(xué)，每個(gè)人分的一樣的支數(shù)的色筆，如果小組10人，則多25支，如果小組有12人，色筆多余5支。求每人分得幾支"共有多少支色鉛筆"分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。這個(gè)活動(dòng)小組有12人，比10人多2人，而色筆多出了(25-5)=20支，2個(gè)人多出20支，一個(gè)人分得10支。列式為(25-5)÷(12-10)=10(支)10×12+5=125(支)。(12)年齡問(wèn)題：將差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這種應(yīng)用題被稱(chēng)為“年齡問(wèn)題〞。解題關(guān)鍵：年齡問(wèn)題與和差、和倍、差倍問(wèn)題類(lèi)似，主要特點(diǎn)是隨著時(shí)間的變化，年歲不斷增長(zhǎng)，但大小兩個(gè)不同年齡的差是不會(huì)改變的，因此，年齡問(wèn)題是一種“差不變〞的問(wèn)題，解題時(shí)，要善于利用差不變的特點(diǎn)。例父親48歲，兒子21歲。問(wèn)幾年前父親的年齡是兒子的4倍"分析：父子的年齡差為48-21=27(歲)。由于幾年前父親年齡是兒子的4倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是(4-1)倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4倍。列式為：21(48-21)÷(4-1)=12(年)(13)雞兔問(wèn)題：“雞兔〞的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞〞和“兔〞各多少只的一類(lèi)應(yīng)用題。通常稱(chēng)為“雞兔問(wèn)題〞又稱(chēng)雞兔同籠問(wèn)題。解題關(guān)鍵：解答雞兔問(wèn)題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動(dòng)物(如全是“雞〞或全是“兔〞，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出*一種的頭數(shù)。解題規(guī)律：(總腿數(shù)-雞腿數(shù)×總頭數(shù))÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)兔子只數(shù)=(總腿數(shù)-2×總頭數(shù))÷2如果假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：雞的只數(shù)=(4×總頭數(shù)-總腿數(shù))÷2兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)例雞兔同籠共50個(gè)頭，170條腿。問(wèn)雞兔各有多少只"兔子只數(shù)(170-2×50)÷2=35(只)雞的只數(shù)50-35=15(只)數(shù)學(xué)加整理小學(xué)奧數(shù)31道題〔重點(diǎn)題型〕eq\o\ac(○,知)eq\o\ac(○,識(shí))eq\o\ac(○,匯)eq\o\ac(○,總)工程問(wèn)題1．甲乙兩個(gè)水管單獨(dú)開(kāi)，注滿(mǎn)一池水，分別需要20小時(shí)，16小時(shí).丙水管單獨(dú)開(kāi)，排一池水要10小時(shí)，假設(shè)水池沒(méi)水，同時(shí)翻開(kāi)甲乙兩水管，5小時(shí)后，再翻開(kāi)排水管丙，問(wèn)水池注滿(mǎn)還是要多少小時(shí)？解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率9/80×5＝45/80表示5小時(shí)后進(jìn)水量1-45/80＝35/80表示還要的進(jìn)水量35/80÷〔9/80-1/10〕＝35表示還要35小時(shí)注滿(mǎn)答：5小時(shí)后還要35小時(shí)就能將水池注滿(mǎn)。2．修一條水渠，單獨(dú)修，甲隊(duì)需要20天完成，乙隊(duì)需要30天完成。如果兩隊(duì)合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊(duì)的工作效率是原來(lái)的五分之四，乙隊(duì)工作效率只有原來(lái)的十分之九?，F(xiàn)在方案16天修完這條水渠，且要求兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少，則兩隊(duì)要合作幾天？解：由題意知，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因?yàn)椋蟆皟申?duì)合作的天數(shù)盡可能少〞，所以應(yīng)該讓做的快的甲多做，16天實(shí)在來(lái)不及的才應(yīng)該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊(duì)合作的天數(shù)盡可能少〞。設(shè)合作時(shí)間為*天，則甲獨(dú)做時(shí)間為〔16-*〕天1/20*〔16-*〕+7/100**＝1*＝10答：甲乙最短合作10天3．一件工作，甲、乙合做需4小時(shí)完成，乙、丙合做需5小時(shí)完成?，F(xiàn)在先請(qǐng)甲、丙合做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成。乙單獨(dú)做完這件工作要多少小時(shí)？解：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時(shí)的工作量，1/5表示乙丙合作1小時(shí)的工作量〔1/4+1/5〕×2＝9/10表示甲做了2小時(shí)、乙做了4小時(shí)、丙做了2小時(shí)的工作量。根據(jù)“甲、丙合做2小時(shí)后，余下的乙還需做6小時(shí)完成〞可知甲做2小時(shí)、乙做6小時(shí)、丙做2小時(shí)一共的工作量為1。所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小時(shí)的工作量。1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。1÷1/20＝20小時(shí)表示乙單獨(dú)完成需要20小時(shí)。答：乙單獨(dú)完成需要20小時(shí)。4．一項(xiàng)工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，則恰好用整數(shù)天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，則完工時(shí)間要比前一種多半天。乙單獨(dú)做這項(xiàng)工程需17天完成，甲單獨(dú)做這項(xiàng)工程要多少天完成？解：由題意可知，1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1〔1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后完畢必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天〕1/甲＝1/乙+1/甲×0.5〔因?yàn)榍懊娴墓ぷ髁慷枷嗟取车玫?/甲＝1/乙×2又因?yàn)?/乙＝1/17所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天答：甲單獨(dú)做這項(xiàng)工程要8.5天完成。5．師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了1/2時(shí)，徒弟完成了120個(gè)。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時(shí)，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個(gè)？答案為300個(gè)120÷〔4/5÷2〕＝300個(gè)可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，則徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個(gè)。6．一批樹(shù)苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？答案是15棵算式：1÷〔1/6-1/10〕＝15棵7．一個(gè)池上裝有3根水管。甲管為進(jìn)水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿(mǎn)池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿(mǎn)池水放完?，F(xiàn)在先翻開(kāi)甲管，當(dāng)水池水剛溢出時(shí)，翻開(kāi)乙,丙兩管用了18分鐘放完，當(dāng)翻開(kāi)甲管注滿(mǎn)水是，再翻開(kāi)乙管，而不開(kāi)丙管，多少分鐘將水放完？答案為45分鐘。1÷〔1/20+1/30〕＝12表示乙丙合作將滿(mǎn)池水放完需要的分鐘數(shù)。1/12*〔18-12〕＝1/12*6＝1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進(jìn)的水。1/2÷18＝1/36表示甲每分鐘進(jìn)水最后就是1÷〔1/20-1/36〕＝45分鐘。8．*工程隊(duì)需要在規(guī)定日期完成，假設(shè)由甲隊(duì)去做，恰好如期完成，假設(shè)乙隊(duì)去做，要超過(guò)規(guī)定日期三天完成，假設(shè)先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，問(wèn)規(guī)定日期為幾天？答案為6天解：由“假設(shè)乙隊(duì)去做，要超過(guò)規(guī)定日期三天完成，假設(shè)先由甲乙合作二天，再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，〞可知：乙做3天的工作量＝甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時(shí)間比是2：3時(shí)間比的差是1份實(shí)際時(shí)間的差是3天所以3÷〔3-2〕×2＝6天，就是甲的時(shí)間，也就是規(guī)定日期方程方法：[1/*+1/〔*+2〕]×2+1/〔*+2〕×〔*-2〕＝1解得*＝6雞兔同籠問(wèn)題9．雞與兔共100只,雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少28條,問(wèn)雞與兔各有幾只"解：4*100＝400，400-0＝400假設(shè)都是兔子，一共有400只兔子的腳，則雞的腳為0只，雞的腳比兔子的腳少400只。400-28＝372實(shí)際雞的腳數(shù)比兔子的腳數(shù)只少28只，相差372只，這是為什么？4+2＝6這是因?yàn)橹灰獙⒁恢煌米訐Q成一只雞，兔子的總腳數(shù)就會(huì)減少4只〔從400只變?yōu)?96只〕，雞的總腳數(shù)就會(huì)增加2只〔從0只到2只〕，它們的相差數(shù)就會(huì)少4+2＝6只〔也就是原來(lái)的相差數(shù)是400-0＝400，現(xiàn)在的相差數(shù)為396-2＝394，相差數(shù)少了400-394＝6〕372÷6＝62表示雞的只數(shù)，也就是說(shuō)因?yàn)榧僭O(shè)中的100只兔子中有62只改為了雞，所以所以腳的相差數(shù)從400改為28，一共改了372只100-62＝38表示兔的只數(shù)。數(shù)與數(shù)位問(wèn)題10．把1至2005這2005個(gè)自然數(shù)依次寫(xiě)下來(lái)得到一個(gè)多位數(shù)123456789.....2005,這個(gè)多位數(shù)除以9余數(shù)是多少"解：首先研究能被9整除的數(shù)的特點(diǎn)：如果各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除，則這個(gè)數(shù)也能被9整除；如果各個(gè)位數(shù)字之和不能被9整除，則得的余數(shù)就是這個(gè)數(shù)除以9得的余數(shù)。解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除依次類(lèi)推：1~1999這些數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除10~19，20~29……90~99這些數(shù)中十位上的數(shù)字都出現(xiàn)了10次，則十位上的數(shù)字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除同樣的道理，100~900百位上的數(shù)字之和為4500同樣被9整除也就是說(shuō)1~999這些連續(xù)的自然數(shù)的各個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除；同樣的道理：1000~1999這些連續(xù)的自然數(shù)中百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字之和可以被9整除〔這里千位上的“1〞還沒(méi)考慮，同時(shí)這里我們少0042005從1000~1999千位上一共999個(gè)“1〞的和是999，也能整除；0042005的各位數(shù)字之和是27，也剛好整除。最后答案為余數(shù)為0。11．A和B是小于100的兩個(gè)非零的不同自然數(shù)。求A+B分之A-B的最小值.解：(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)前面的1不會(huì)變了，只需求后面的最小值，此時(shí)(A-B)/(A+B)最大。對(duì)于B/(A+B)取最小時(shí)，(A+B)/B取最大，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求(A+B)/B的最大值。(A+B)/B=1+A/B，最大的可能性是A/B=99/1(A+B)/B=100(A-B)/(A+B)的最大值是：98/10012．A.B.C都是非0自然數(shù),A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,則它的準(zhǔn)確值是多少"答案為6.375或6.4375因?yàn)锳/2+B/4+C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C為非0自然數(shù)，因此8A+4B+C為一個(gè)整數(shù)，可能是102，也有可能是103。當(dāng)是102時(shí)，102/16＝6.375當(dāng)是103時(shí)，103/16＝6.437513．一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是17.其中十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大1.如果把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào),得到一個(gè)新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大198,求原數(shù).答案為476解：設(shè)原數(shù)個(gè)位為a，則十位為a+1，百位為16-2a根據(jù)題意列方程100a+10a+16-2a－100〔16-2a〕-10a-a＝198解得a＝6，則a+1＝716-2a＝4答：原數(shù)為476。14．一個(gè)兩位數(shù),在它的前面寫(xiě)上3,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的7倍多24,求原來(lái)的兩位數(shù).答案為24解：設(shè)該兩位數(shù)為a，則該三位數(shù)為300+a7a+24＝300+aa＝24答：該兩位數(shù)為24。15．把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是*自然數(shù)的平方,這個(gè)和是多少"答案為121解：設(shè)原兩位數(shù)為10a+b，則新兩位數(shù)為10b+a它們的和就是10a+b+10b+a＝11〔a+b〕因?yàn)檫@個(gè)和是一個(gè)平方數(shù)，可以確定a+b＝11因此這個(gè)和就是11×11＝121答：它們的和為121。16．一個(gè)六位數(shù)的末位數(shù)字是2,如果把2移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的3倍,求原數(shù).答案為85714解：設(shè)原六位數(shù)為abcde2，則新六位數(shù)為2abcde〔字母上無(wú)法加橫線(xiàn)，請(qǐng)將整個(gè)看成一個(gè)六位數(shù)〕再設(shè)abcde〔五位數(shù)〕為*，則原六位數(shù)就是10*+2，新六位數(shù)就是200000+*根據(jù)題意得，〔200000+*〕×3＝10*+2解得*＝85714所以原數(shù)就是85714217．有一個(gè)四位數(shù),個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和是12,十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是9,如果個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字互換,千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加2376,求原數(shù).答案為3963解：設(shè)原四位數(shù)為abcd，則新數(shù)為cdab，且d+b＝12，a+c＝9根據(jù)“新數(shù)就比原數(shù)增加2376〞可知abcd+2376=cdab,列豎式便于觀察abcd2376cdab根據(jù)d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再觀察豎式中的個(gè)位，便可以知道只有當(dāng)d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4時(shí)成立。先取d＝3，b＝9代入豎式的百位，可以確定十位上有進(jìn)位。根據(jù)a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。再觀察豎式中的十位，便可知只有當(dāng)c＝6，a＝3時(shí)成立。再代入豎式的千位，成立。得到：abcd＝3963再取d＝8，b＝4代入豎式的十位，無(wú)法找到豎式的十位適宜的數(shù)，所以不成立。18．如果現(xiàn)在是上午的10點(diǎn)21分,則在經(jīng)過(guò)28799...99(一共有20個(gè)9)分鐘之后的時(shí)間將是幾點(diǎn)幾分"答案是10：20解：〔28799……9〔20個(gè)9〕+1〕/60/24整除，表示正好過(guò)了整數(shù)天，時(shí)間仍然還是10：21，因?yàn)槭孪扔?jì)算時(shí)加了1分鐘，所以現(xiàn)在時(shí)間是10：20排列問(wèn)題19．有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有〔〕A768種B32種C24種D2的10次方中解：根據(jù)乘法原理，分兩步：第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體，進(jìn)展排列有5×4×3×2×1＝120種不同的排法，但是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)際排法只有120÷5＝24種。第二步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置，也就是說(shuō)每一對(duì)夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×2＝32種綜合兩步，就有24×32＝768種。20.假設(shè)把英語(yǔ)單詞hello的字母寫(xiě)錯(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有()A119種B36種C59種D48種解：全排列5*4*3*2*1=120有兩個(gè)l所以120/2=60原來(lái)有一種正確的所以60-1=59追及問(wèn)題公式描述：式一為追及問(wèn)題公式，式二為相遇問(wèn)題公式。其中S1、S2為路程，v1、v2為速度，t為時(shí)間。21．慢車(chē)車(chē)長(zhǎng)125米，車(chē)速每秒行17米，快車(chē)車(chē)長(zhǎng)140米，車(chē)速每秒行22米，慢車(chē)在前面行駛，快車(chē)從后面追上來(lái)，則，快車(chē)從追上慢車(chē)的車(chē)尾到完全超過(guò)慢車(chē)需要多少時(shí)間？答案為53秒算式是〔140+125)÷(22-17)=53秒可以這樣理解：“快車(chē)從追上慢車(chē)的車(chē)尾到完全超過(guò)慢車(chē)〞就是快車(chē)車(chē)尾上的點(diǎn)追及慢車(chē)車(chē)頭的點(diǎn)，因此追及的路程應(yīng)該為兩個(gè)車(chē)長(zhǎng)的和。22．在300米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上，甲乙兩個(gè)人同時(shí)同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線(xiàn)前幾米？答案為100米300÷〔5-4.4〕＝500秒，表示追及時(shí)間5×500＝2500米，表示甲追到乙時(shí)所行的路程2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來(lái)起跑線(xiàn)的前方100米處相遇。23．一個(gè)人在鐵道邊，聽(tīng)見(jiàn)遠(yuǎn)處傳來(lái)的火車(chē)汽笛聲后，在經(jīng)過(guò)57秒火車(chē)經(jīng)過(guò)她前面，火車(chē)?guó)Q笛時(shí)離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車(chē)的速度〔得出保存整數(shù)〕答案為22米/秒算式：1360÷(1360÷340+57〕≈22米/秒關(guān)鍵理解：人在聽(tīng)到聲音后57秒才車(chē)到，說(shuō)明人聽(tīng)到聲音時(shí)車(chē)已經(jīng)從發(fā)聲音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。24．獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑著的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動(dòng)作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步，問(wèn)獵犬至少跑多少米才能追上兔子。答案是獵犬至少跑60米才能追上。解：由“獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步〞可知當(dāng)獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由“獵犬跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步〞可知同一時(shí)間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是說(shuō)當(dāng)獵犬跑60米時(shí)候，兔子跑50米，本來(lái)相差的10米剛好追完25．AB兩地,甲乙兩人騎自行車(chē)行完全程所用時(shí)間的比是4:5,如果甲乙二人分別同時(shí)從AB兩地相對(duì)行使,40分鐘后兩人相遇,相遇后各自繼續(xù)前行,這樣，乙到達(dá)A地比甲到達(dá)B地要晚多少分鐘"答案：18分鐘解：設(shè)全程為1,甲的速度為*乙的速度為y列式40*+40y=1*:y=5:4得*=1/72y=1/90走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘故得解26．一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時(shí)；逆流8小時(shí)。如果水流速度是每小時(shí)2千米，求兩地間的距離？答案是96千米解：〔1/6-1/8〕÷2＝1/48表示水速的分率2÷1/48＝96千米，表示總路程27．快車(chē)和慢車(chē)同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開(kāi)出，快車(chē)每小時(shí)行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，慢車(chē)行完全程需要8小時(shí)，求甲乙兩地的路程。答案是198千米解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3時(shí)間比為3：4所以快車(chē)行全程的時(shí)間為8/4*3＝6小時(shí)6*33＝198千米28．小華從甲地到乙地,3分之1騎車(chē),3分之2乘車(chē);從乙地返回甲地,5分之3騎車(chē),5分之2乘車(chē),結(jié)果慢了半小時(shí).,騎車(chē)每小時(shí)12千米,乘車(chē)每小時(shí)30千米,問(wèn):甲乙兩地相距多少千米"答案是37.5千米解：把路程看成1，得到時(shí)間系數(shù)去時(shí)時(shí)間系數(shù)：1/3÷12+2/3÷30返回時(shí)間系數(shù)：3/5÷12+2/5÷30兩者之差：〔3/5÷12+2/5÷30〕-〔1/3÷12+2/3÷30〕=1/75相當(dāng)于1/2小時(shí)去時(shí)時(shí)間：1/2×〔1/3÷12〕÷1/75和1/2×〔2/3÷30〕1/75路程：12×〔1/2×〔1/3÷12〕÷1/75〕+30×〔1/2×〔2/3÷30〕1/75〕=37.5〔千米〕比例問(wèn)題29．甲乙兩人在河邊釣魚(yú),甲釣了三條,乙釣了兩條,正準(zhǔn)備吃,有一個(gè)人請(qǐng)求跟他們一起吃,于是三人將五條魚(yú)平分了,為了表示感,過(guò)路人留下10元,甲、乙怎么分？答案：甲收8元，乙收2元。解：“三人將五條魚(yú)平分，客人拿出10元〞，可以理解為五條魚(yú)總價(jià)值為30元，則每條魚(yú)價(jià)值6元。又因?yàn)椤凹揍灹巳龡l〞，相當(dāng)于甲吃之前已經(jīng)出資3*6＝18元，“乙釣了兩條〞，相當(dāng)于乙吃之前已經(jīng)出資2*6＝12元。而甲乙兩人吃了的價(jià)值都是10元，所以，甲還可以收回18-10＝8元乙還可以收回12-10＝2元?jiǎng)偤镁褪强腿顺龅腻X(qián)。30．一種商品，今年的本錢(qián)比去年增加了10分之1，但仍保持原售價(jià)，因此，每份利潤(rùn)下降了5分之2，則，今年這種商品的本錢(qián)占售價(jià)的幾分之幾？答案是22/25最好畫(huà)線(xiàn)段圖思考：把去年原來(lái)本錢(qián)看成20份，利潤(rùn)看成5份，則今年的本錢(qián)提高1/10，就是22份，利潤(rùn)下降了2/5，今年的利潤(rùn)只有3份。增加的本錢(qián)2份剛好是下降利潤(rùn)的2份。售價(jià)都是25份。所以，今年的本錢(qián)占售價(jià)的22/25。31．一個(gè)圓柱的底面周長(zhǎng)減少25%，要使體積增加1/3，現(xiàn)在的高和原來(lái)的高度比是多少？答案為64：27解：根據(jù)“周長(zhǎng)減少25％〞，可知周長(zhǎng)是原來(lái)的3/4，則半徑也是原來(lái)的3/4，則面積是原來(lái)的9/16。根據(jù)“體積增加1/3〞，可知體積是原來(lái)的4/3。體積÷底面積＝高現(xiàn)在的高是4/3÷9/16＝64/27，也就是說(shuō)現(xiàn)在的高是原來(lái)的高的64/27或者現(xiàn)在的高：原來(lái)的高＝64/27：1＝64：27火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題是行程問(wèn)題的一種，也有路程、速度與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)還涉及車(chē)長(zhǎng)、橋長(zhǎng)等問(wèn)題。中文名過(guò)橋問(wèn)題外文名Bridgeproblem類(lèi)

型行程問(wèn)題的一種數(shù)量關(guān)系路程、速度與時(shí)間之間相

關(guān)車(chē)長(zhǎng)、橋長(zhǎng)等問(wèn)題公式編輯火車(chē)速度×?xí)r間=車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)〔橋長(zhǎng)+列車(chē)長(zhǎng)〕÷速度=過(guò)橋時(shí)間；

〔橋長(zhǎng)+列車(chē)長(zhǎng)〕÷過(guò)橋時(shí)間=速度；

速度×過(guò)橋時(shí)間=橋、車(chē)長(zhǎng)度之和。例題編輯1.一列火車(chē)長(zhǎng)150米，每秒鐘行19米。全車(chē)通過(guò)長(zhǎng)800米的大橋，需要多少時(shí)間？分析列車(chē)過(guò)橋，就是從車(chē)頭上橋到車(chē)尾離橋止。車(chē)尾經(jīng)過(guò)的距離=車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)，車(chē)尾行駛這段路程所用的時(shí)間用車(chē)長(zhǎng)與橋長(zhǎng)和除以車(chē)速。解：〔800+150〕÷19=50〔秒〕答：全車(chē)通過(guò)長(zhǎng)800米的大橋，需要50秒。2.*鐵路橋長(zhǎng)1000米，現(xiàn)有一列火車(chē)從橋上通過(guò)，測(cè)得火車(chē)從開(kāi)場(chǎng)上橋到完全過(guò)橋共用1分，整列火車(chē)完全在橋上的時(shí)間為40秒。求火車(chē)的長(zhǎng)度和速度。分析火車(chē)從開(kāi)場(chǎng)上橋到完全過(guò)橋共用1分，即從上橋前車(chē)尾的距離行駛到過(guò)橋后車(chē)尾距離，共用1分。車(chē)尾經(jīng)過(guò)的距離=車(chē)長(zhǎng)+橋長(zhǎng)，因此(1000+*)∕60為火車(chē)每秒行駛的路程。以此類(lèi)推，可列出方程并求解。解：設(shè)車(chē)身長(zhǎng)*米。(1000+*)∕60=(1000-*)/40解得*=200〔1000+200〕/60=20m/s答：火車(chē)長(zhǎng)度為200米，速度為20米/s。植樹(shù)問(wèn)題為使其更直觀，用圖示法來(lái)說(shuō)明。樹(shù)用點(diǎn)來(lái)表示，植樹(shù)的沿線(xiàn)用線(xiàn)來(lái)表示，這樣就把植樹(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線(xiàn)上的“點(diǎn)數(shù)〞與相鄰兩點(diǎn)間的線(xiàn)的段數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題。植樹(shù)問(wèn)題公式單邊植樹(shù)〔兩端都植〕：距離÷間隔數(shù)+1=棵數(shù)單邊植樹(shù)〔只植一端〕：距離÷間隔數(shù)=棵數(shù)單邊植樹(shù)〔兩端都不植〕：距離÷間隔數(shù)－1=棵數(shù)雙邊植樹(shù)〔兩端都植〕：〔距離÷間隔數(shù)+1〕×2=棵數(shù)雙邊植樹(shù)〔只植一端〕：〔距離÷間隔數(shù)〕×2=棵數(shù)雙邊植樹(shù)〔兩端都不植〕：〔距離÷間隔數(shù)-1〕×2=棵數(shù)循環(huán)植樹(shù)：距離÷間隔數(shù)=棵數(shù)解釋?zhuān)?非封閉線(xiàn)路上的植樹(shù)問(wèn)題主要可分為以下三種情形:

⑴如果在非封閉線(xiàn)路的兩端都要植樹(shù),則:

株數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)÷株距+1

全長(zhǎng)=株距×(株數(shù)－1)

株距=全長(zhǎng)÷(株數(shù)－1)⑵如果在非封閉線(xiàn)路的一端要植樹(shù),另一端不要植樹(shù),則:

株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)÷株距

全長(zhǎng)=株距×株數(shù)

株距=全長(zhǎng)÷株數(shù)⑶如果在非封閉線(xiàn)路的兩端都不要植樹(shù),則:

株數(shù)=段數(shù)－1=全長(zhǎng)÷株距－1

全長(zhǎng)=株距×(株數(shù)+1)

株距=全長(zhǎng)÷(株數(shù)+1)

2封閉線(xiàn)路上的植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系如下

株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)÷株距

全長(zhǎng)=株距×株數(shù)

株距=全長(zhǎng)÷株數(shù)植樹(shù)問(wèn)題書(shū)上的知識(shí)1.植樹(shù)問(wèn)題是在一定的線(xiàn)路上，根據(jù)總路程、間隔長(zhǎng)和棵數(shù)進(jìn)展植樹(shù)的問(wèn)題。專(zhuān)題分析一、在線(xiàn)段上的植樹(shù)問(wèn)題可以分為以下三種情形。1、如果植樹(shù)線(xiàn)路的兩端都要植樹(shù)，則植樹(shù)的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1，即：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。2、如果植樹(shù)線(xiàn)路只有一端要植樹(shù)，則植樹(shù)的棵數(shù)和要分的段數(shù)相等，即：棵數(shù)=間隔數(shù)。3、如果植樹(shù)線(xiàn)路的兩端都不植樹(shù)，則植樹(shù)的棵數(shù)比要分的段數(shù)少1，即：棵數(shù)=間隔數(shù)－1。~4、如果植樹(shù)路線(xiàn)的兩邊與兩端都植樹(shù)，則植樹(shù)的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1，再乘二，即：棵樹(shù)=段數(shù)+1再乘二。二、在封閉線(xiàn)路上植樹(shù)，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=間隔數(shù)。三、在正方形線(xiàn)路上植樹(shù)，如果每個(gè)頂點(diǎn)都要植樹(shù)。則棵數(shù)=〔每邊的棵數(shù)－1〕×邊數(shù)。1非封閉線(xiàn)路上的植樹(shù)問(wèn)題主要可分為以下三種情形：⑴如果在非封閉線(xiàn)路的兩端都要植樹(shù)，則：株數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)÷株距+1全長(zhǎng)=株距×〔株數(shù)－1〕株距=全長(zhǎng)÷〔株數(shù)－1〕⑵如果在非封閉線(xiàn)路的一端要植樹(shù)，另一端不要植樹(shù)，則：株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)÷株距全長(zhǎng)=株距×株數(shù)株距=全長(zhǎng)÷株數(shù)盈虧問(wèn)題的公式〔盈+虧〕÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)〔大盈－小盈〕÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)〔大虧－小虧〕÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)相遇問(wèn)題的公式相遇路程=速度和×相遇時(shí)間相遇時(shí)間=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇時(shí)間例題例1長(zhǎng)方形場(chǎng)地：一個(gè)長(zhǎng)84米，寬54米的長(zhǎng)方形蘋(píng)果園中，蘋(píng)果樹(shù)的株距是2米，行距是3米．這個(gè)蘋(píng)果園共種蘋(píng)果樹(shù)多少棵？解：解法一：①一行能種多少棵？84÷2=42(棵)．|②這塊地能種蘋(píng)果樹(shù)多少行？54÷3=18(行)．③這塊地共種蘋(píng)果樹(shù)多少棵？42×18=756(棵)．如果株距、行距的方向互換，結(jié)果一樣：(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)．解法二：①這塊地的面積是多少平方米呢？84×54=4536(平方米)．②一棵蘋(píng)果樹(shù)占地多少平方米呢？2×3=6(平方米)．③這塊地能種蘋(píng)果樹(shù)多少棵呢？4536÷6=756(棵)．當(dāng)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)、寬分別能被株距、行距整除時(shí)，可用上述兩種方法中的任意一種來(lái)解；當(dāng)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)、寬不能被株距、行距整除時(shí)，就只能用第二種解法來(lái)解．但有些問(wèn)題從外表上看，并沒(méi)有出現(xiàn)“植樹(shù)〞二字，但題目實(shí)質(zhì)上是反映封閉線(xiàn)段或不封閉線(xiàn)段長(zhǎng)度、分隔點(diǎn)、每段長(zhǎng)度三者之間的關(guān)系。鋸木頭問(wèn)題就是典型的不封閉線(xiàn)段上，兩頭不植樹(shù)問(wèn)題。所鋸的段數(shù)總比鋸的次數(shù)多一。上樓梯問(wèn)題，就是把每上一層樓梯所需的時(shí)間看成一個(gè)時(shí)間間隔，則：上樓所需總時(shí)間=〔終點(diǎn)層—起始層〕×每層所需時(shí)間。而方陣隊(duì)列問(wèn)題，看似與植樹(shù)問(wèn)題毫不相干，實(shí)質(zhì)上都是植樹(shù)問(wèn)題例2直線(xiàn)場(chǎng)地：在一條公路的兩旁植樹(shù)，每隔3米植一棵，植到頭還剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到頭還缺少37棵，求這條公路的長(zhǎng)度。解法一：〔代數(shù)解法〕設(shè)一共有*棵樹(shù)【〔*-3〕/2-1】*3=【〔*+37〕/2-1】*2.5*=205公路長(zhǎng):【〔205-3〕/2-1】*3=300得:公路長(zhǎng)度為300米解法二：〔算術(shù)解法〕這道題可以用解盈虧問(wèn)題的思路來(lái)考慮：首先，我們?cè)趦蛇吰瘘c(diǎn)處各栽下一棵樹(shù)，這兩棵樹(shù)與路長(zhǎng)沒(méi)有關(guān)系，以后每栽下一棵樹(shù)，不管栽在哪一側(cè)，植樹(shù)的路線(xiàn)〔不是路〕就增加一個(gè)間距，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們按單側(cè)植樹(shù)來(lái)考慮。當(dāng)按3米的間距植樹(shù)時(shí)，最后剩下3棵，也就是說(shuō)植樹(shù)的路線(xiàn)要比路長(zhǎng)出3個(gè)間距，3×3=9米，當(dāng)按2.5米的間距植樹(shù)時(shí)，最后還缺37棵樹(shù)，也就是說(shuō)植樹(shù)的路線(xiàn)比路短了37個(gè)間距，2.5×37=92.5米，兩次相差9+92.5=101.5米，兩次植樹(shù)的間距相差是3－2.5=0.5米，據(jù)此可以求出樹(shù)的棵數(shù)：〔不包括起點(diǎn)的2棵〕101.5÷0.5=203〔個(gè)〕知道了樹(shù)的棵數(shù)，就可以求出植樹(shù)路線(xiàn)的長(zhǎng)度了：3×〔203－3〕=600〔米〕或2.5×〔203+37〕=600〔米〕因?yàn)槭请p側(cè)植樹(shù)，所以路長(zhǎng)為：600÷2=300〔米〕綜合算式為：3×〔〔3×3+2.5×37〕÷〔3－2.5〕－3〕÷2=300〔米〕或2.5×〔〔3×3+2.5×37〕÷〔3－2.5〕+37〕÷2=300〔米〕答：〔略〕例3圓形場(chǎng)地〔難題〕：有一個(gè)圓形花壇，繞它走一圈是120米。如果在花壇周?chē)扛?米栽一株丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花?？稍远∠慊ǘ嗌僦?？可栽月季花多少株？每2株緊相鄰的月季花相距多少米解：解：根據(jù)棵數(shù)=全長(zhǎng)÷間隔可求出栽丁香花的株數(shù)：120÷6=20〔株〕由于是在每相鄰的2株丁香花之間栽2株月季花，丁香花的株數(shù)與丁香花之間的間隔數(shù)相等，因此，