專題09 空間幾何（選填題8種考法）（原卷版）

專題09空間幾何（選填題8種考法）考法一體積與表面積【例1-1】（2023·山東威?！そy(tǒng)考一模）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4，弧長為的扇形，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【例1-2】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【例1-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱柱的體積為V，四邊形ABCD為平行四邊形，點E在上且，則三棱錐與三棱錐的公共部分的體積為（

）A． B． C． D．【例1-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2，O是底面ABCD的中心，若異面直線OB1與CC1所成角的余弦值為，則該四棱臺的側(cè)面積為（

）A．12 B．C． D．9考法二平行與垂直【例2-1】（2023云南）設(shè)是兩不同的直線，是兩不同的平面，則下列命題正確的是A．若，，，則B．若，則C．若，則D．若，則【例2-2】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【例2-3】（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【例2-4】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且四個頂點在同一平面內(nèi)，下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4考法三空間角【例3-1】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，平面ABC，且，，E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點，則異面直線EF與PC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【例3-2】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四面體，，點為線段的中點，則直線與平面所成角的正切值是（

）A． B． C． D．【例3-3】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【例3-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知四棱錐的頂點都在一個表面積為的球面上，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，則（

）A．B．C．直線PC與直線AB所成角的大小為D．直線PC與平面PAB所成角的大小為考法四空間距離【例4-1】（2023·福建·統(tǒng)考一模）已知空間中三點，則點A到直線的距離為__________．【例4-2】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段AB的中點，則直線FC到平面的距離為______．【例4-3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x）長方體中，，，，則（

）A．到平面的距離為B．到平面的距離為C．沿長方體的表面從到的最短距離為D．沿長方體的表面從到的最短距離為考法五外接球與內(nèi)切球【例5-1】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【例5-2】（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．【例5-3】（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中，

平面平面，是邊長為的等邊三角形，，則該幾何體外接球表面積為（

）A． B． C． D．【例5-4】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在三棱錐，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【例5-5】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．考法六實際生活中的應(yīng)用【例6-1】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【例6-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某車間需要對一個圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑15cm，高10cm，加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計為（

）A． B． C．4 D．5【例6-3】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（

）A． B． C． D．【例6-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）糧食是關(guān)系國計民生和國家經(jīng)濟安全的重要戰(zhàn)略物資，也是人民群眾最基本的生活資料，糧食安全是“國之大者”．如圖為某農(nóng)場的糧倉，中間部分可近似看作是圓柱，圓柱的底面直徑為8m，上、下兩部分可以近似看作是完全相同的圓錐，圓柱的高是圓錐高的6倍，且這兩個圓錐的頂點相距10m，則該糧倉的體積約為（

）A． B． C． D．【例6-5】（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【例6-6】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%考法七截面或軌跡長度【例7-1】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）在正方體中，，為棱的四等分點（靠近點），為棱的四等分點（靠近點），過點，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（

）A． B． C． D．【例7-2】．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點，且，球體O表面上動點P滿足，則點P的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【例7-3】（2023·全國·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，已知正四棱柱的上下底面的邊長為3，高為4，點M，N分別在線段和上，且滿足，下底面ABCD的中心為點O，點P，Q分別為線段和MN上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例7-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知點P為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一動點，四邊形ABCD為正方形，，E為AB的中點，F(xiàn)為DD1的中點，則下列說法正確的是（

）A．過A1，C1，E三點的平面截該四棱柱所得截面的面積為B．過C1，E，F(xiàn)三點的平面截該四棱柱所得的截面為五邊形C．若平面A1C1E，則點P的軌跡長度為D．若動點P到棱BB1的距離為，則點P的軌跡長度為考法八最值問題【例8-1】（2023·山東·煙臺二中?？寄M預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面積為，高為，若圓錐可在某球內(nèi)自由運動，則該球的體積最小值為（

）A． B． C． D．【例8-2】．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知某長方體的上底面周長為16，與該長方體等體積的一個圓柱的軸截面是面積為16的正方形，則該長方體高的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例8-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，一個棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例8-4】．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱錐P－ABC的所有頂點均在半徑為2的球的O球面上，底面是邊長為3的等邊三角形．若三棱錐P－ABC的體積取得最大值時，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r，則（

）A．1 B． C． D．【例8-5】（2023·吉林·統(tǒng)考二模）三棱錐中，平面，．若，，則該三棱錐體積的最大值為（

）A．2 B． C．1 D．.【例8-6】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（2023秋·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)l是直線，是兩個不同的平面（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知空間四條直線a，b，m，n和兩個平面，滿足，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若且，則C．若且，則D．若且，則4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（

）A． B． C． D．6（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為7．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個面為梯形或平行四邊形（至多一個側(cè)面是平行四邊形），其余兩個面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A． B． C． D．8．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知直線a，b與平面α，β，γ，能使的充分條件是（

）A．，， B．，C．， D．，，9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，點在線段上，有下列四個結(jié)論：①；②點到平面的距離為；③二面角的余弦值為；④若四面體的所有頂點均在球的球面上，則球的體積為.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（2023·湖南·模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積與三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．11．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐的外接球體積的最大值為（

）A． B． C． D．12（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測）在直三棱柱中，，，，，，分別是，，的中點，則下面說法中正確的有（

）A．平面B．C．直線與平面所成角的余弦值為D．點到平面的距離為13．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，點G為MC的中點.則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．平面平面ABNC．直線GB與AM是異面直線 D．直線GB與平面AMD無公共點14．（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）已知球O的半徑為2，圓錐內(nèi)接于球O，當(dāng)圓錐的體積最大時，圓錐內(nèi)切球的半徑為（

）A． B． C． D．15．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形.把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知正三棱柱的棱長都相等，為棱的中點，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．17．（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，中，，為的中點，將沿折疊成三棱錐，則該棱錐體積最大值為（

）A． B．C． D．18．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在菱形ABCD中，，，AC與BD的交點為G，點M，N分別在線段AD，CD上，且，，將沿MN折疊到，使，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．19．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是矩形，，分別是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．20．（2023·四川·校聯(lián)考一模）四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，頂點均在半徑為2的球面上，則該四棱錐體積的最大值為（

）A． B．4 C． D．821．（2023·四川·校聯(lián)考一模）在長方體中，已知異面直線與，與AB所成角的大小分別為和，則直線和平面所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．22．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知半徑為3的某鞠（球）的表面上有四個點A，B，C，P，，，，則該鞠（球）被平面PAB所截的截面圓面積為（

）A． B． C． D．23．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測）沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）．在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處漏到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的．已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐中漏到另一個圓錐中需用時1小時．當(dāng)上方圓錐中沙子的高度漏至一半時，所需時間為（

）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時24．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．25．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．26．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．2727．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）三棱錐中，點A在平面BCD的射影H是△BCD的垂心，點D在平面ABC的射影G是△ABC的重心，，則此三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．28．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中不正確的是（）A．若平面，則動點Q的軌跡是一條線段B．存在Q點，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點落在棱上某點處時，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點的軌跡長度為29．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．30．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考一模）表面積為的球內(nèi)有一內(nèi)接四面體，其中平面平面，是邊長為3的正三角形，則四面體PABC體積的最大值為（

）A． B． C． D．31（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．32．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，平面平面BCD，是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．33．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知長方體中，點P，Q，M，N分別是棱AB，BC，，的中點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面34．（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）如圖，在正方體中，E?F?G分別為的中點，則（

）A． B．與所成角為C． D．平面35．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）（多選）在棱長為的正方體中，則（

）A．平面B．直線平面所成角為45°C．三棱錐的體積是正方體體積的D．點到平面的距離為36．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．37．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）如圖，在正方體中，以下結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．平面C．異面直線與所成的角為60° D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為38．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）在長方體中，直線與平面、平面所成的角均為，則（

）A．B．C．直線與平面所成的角為D．直線與所成的角為39．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，，點D為AB的中點，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．CD⊥A1D B．平面A1DC⊥平面ABB1A1C．平面A1BC1 D．40．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面41．（2023·全國·模擬預(yù)測）（多選）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點，則下列結(jié)論成立的有（

）A． B．平面C．與所成角的余弦值為 D．點到平面的距離為242．（2023·山東威海·統(tǒng)考一模）（多選）在棱長為1的正方體中，點P滿足，，，則(

)A．當(dāng)時，的最小值為B．當(dāng)時，有且僅有一點P滿足C．當(dāng)時，有且僅有一點P滿足到直線的距離與到平面ABCD的距離相等D．當(dāng)時，直線AP與所成角的大小為定值43．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）（多選）已知平面平面，B，D是l上兩點，直線且，直線且．下列結(jié)論中，錯誤的有（

）A．若，，且，則ABCD是平行四邊形B．若M是AB中點，N是CD中點，則C．若，，，則CD在上的射影是BDD．直線AB，CD所成角的大小與二面角的大小相等44．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是運籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺（

）A．高為 B．表面積為C．體積為 D．上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為45．（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）（多選）三棱錐P－ABC的四個頂點都在球O上，且PA⊥底面ABC，，，則下列說法正確的是（

）A． B．球心O在三棱錐的外部C．球心O到底面ABC的距離為2 D．球O的體積為46．（2023·山東·煙臺二中校考模擬預(yù)測）（多選）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，垂足為點O，，E為的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．平面C．平面平面 D．平面平面47．（2023·山東日照·統(tǒng)考一模）（多選）已知正方體過對角線作平面交棱于點，交棱于點F，則（

）A．平面分正方體所得兩部分的體積相等B．四邊形一定是菱形C．四邊形的面積有最大值也有最小值D．平面與平面始終垂直48（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．49．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）（多選）棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，，的中點，過點E，F(xiàn)，G的平面記為平面，則下列說法正確的是（

）A．平面B．平面C．平面截正方體外接球所得圓的面積為D．正方體的表面上與點E的距離為的點形成的曲線的長度為50．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）（多選）如圖，正四棱柱中，，動點P滿足，且.則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，直線平面B．當(dāng)時，的最小值為C．若直線與