微分幾何習(xí)題解答(曲線論)

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第一章曲線論

§2向量函數(shù)

5.向量函數(shù)r(t)具有固定方向的充要條件是r(t)×

???????r'(t)=0。

?分析：一個(gè)向量函數(shù)r(t)一般可以寫成r(t)=?(t)e(t)的形式，其中e(t)為單位向

??量函數(shù)，?(t)為數(shù)量函數(shù)，那么r(t)具有固定方向的充要條件是e(t)具有固定方向，??即e(t)為常向量，（由于e(t)的長(zhǎng)度固定）。

?????證對(duì)于向量函數(shù)r(t)，設(shè)e(t)為其單位向量，則r(t)=?(t)e(t)，若r(t)具有固

????????定方向，則e(t)為常向量，那么r'(t)=?'(t)e，所以r×r'=??'（e×e）=0。

?????????er'反之，若r×r'=0，對(duì)r(t)=?(t)e(t)求微商得=?'e+?'，于是r×

?????????2r'=?（e×e'）=0，則有?=0或e×e'=0。當(dāng)?(t)=0時(shí)，r(t)=0可與任意方向平行；當(dāng)?????????2?2???2

0時(shí)，有e×e'=0，而（e×e')2=ee'-(e·e')2＝e'，（由于e??????e'e具有固定長(zhǎng)，e·=0），所以'=0，即e為常向量。所以，r(t)具有固定方向。

????6．向量函數(shù)r(t)平行于固定平面的充要條件是（rr'r''）=0。

??分析：向量函數(shù)r(t)平行于固定平面的充要條件是存在一個(gè)定向向量n(t)，使

??????r(t)·n=0，所以我們要尋求這個(gè)向量n及n與r'，r''的關(guān)系。

???證若r(t)平行于一固定平面π，設(shè)n是平面π的一個(gè)單位法向量，則n為常向

?????????量，且r(t)·n=0。兩次求微商得r'·n=0，r''·n=0，即向量r，r'，r''垂直

????于同一非零向量n，因而共面，即（rr'r''）=0。

????????????反之,若（rr'r''）=0，則有r×r'=0或r×r'?0。若r×r'=0，由上題知

???r(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r×r'??0，則存在數(shù)量函數(shù)?(t)、

????(t)，使r''=?r+?r'①

1

r?tt微分幾何主要習(xí)題解答

????令n=r×r'，則n???????0，且r(t)⊥n(t)。對(duì)n=r×r'求微商并將①式代入得

?????n'=r×r''=?（r×r'）=???????n，于是n×n'=0，由上題知n有固定方向，而r(t)??⊥n，即r(t)平行于固定平面。

§3曲線的概念

1．求圓柱螺線x=cost，y=sint，z=t在（1,0,0）的切線和法平面。

?解令cost=1,sint=0,=0得=0,r'(0)={-sint,cost,1}|t?0={0,1,1},曲線在(0,1,1)的切線為x?1?y?z，法平面為y+z=0。

011?2．求三次曲線r?{at,bt2,ct3}在點(diǎn)t0的切線和法平面。

23x?at0y?bt0z?ct0?2解r'(t0)?{a,2bt0,3ct0}，切線為，??2a2bt03ct0223法平面為a(x?at0)?2bt0(y?bt0)?3ct0(z?ct0)?0。

?3.證明圓柱螺線r={acos?,asin?,b?}(???????)的切線和z軸作固

定角。

?r證明'={-asin?,acos?,b},設(shè)切線與z軸夾角為?,則cos?

???r'?kb=???22為常數(shù)，故?為定角（其中k為z軸的單位向量）。|r||e|a?b?4.求懸鏈線r={tt，acosha}（-??t??）從t=0起計(jì)算的弧長(zhǎng)。

t解r'={1，sinha}，|r'|=

??1?sinh2tat=cosha，ｓ＝

?cosh0ttatdt?asinha。

９．求曲線x?3ay,2xz?a322ay?在平面3

與y=9a之間的弧長(zhǎng)。

ax3a2解曲線的向量表示為＝{x,2,}，曲面與兩平面y?3與y=9a的交

3a2x2

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??x2a2x2a2x4a4點(diǎn)分別為x=a與x=3a,r'＝{1,2,?2}，｜r'｜＝1??4＝2?2，

a2xa44xa2x所求弧長(zhǎng)為s??3aax2a2(2?2)dx?9a。a2x?10.將圓柱螺線r={acost，asint，bt}化為自然參數(shù)表示。

?r解'={-asint,acost,b}，s=

?代入原方程得r={acos?t0?|r'|dt?a2?b2t，所以t?sbsa?b22sa?b22，

sa?b22,asina?b22,}

11.求用極坐標(biāo)方程???(?)給出的曲線的弧長(zhǎng)表達(dá)式。

?解由x??(?)cos?，y??(?)sin?知r'={?'(?)cos?-?(?)sin?，

?'(?)sin?s=???0?r+?(?)cos?}，|'|=

?2(?)??'2(?)，從?0到?的曲線的弧長(zhǎng)是

?2(?)??'2(?)d?。

§4空間曲線

1．求圓柱螺線x=acost，y=asint，z=bt在任意點(diǎn)的密切平面的方程。

?解r'={-asint,acost,b},r''={-acost,-asint,0}所以曲線在任意點(diǎn)的密切平面的方程為

x?acost?asint?acosty?asintacost?asintz?btb0?=0，即(bsint)x-(bcost)y+az-abt=0.

?2.求曲線r={tsint,tcost,tet}在原點(diǎn)的密切平面、法平面、從切面、切

線、主法線、副法線。

解原點(diǎn)對(duì)應(yīng)t=0,r'(0)={sint+tcost,cost-tsint,et+tet}t?0={0,1,1}，

?3

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?r''(0)?{2cost+tcost,cost-tsint,2et+tet}t?0={2,0,2}，

所以切線方程是

xyz??，法面方程是y+z=0；011xyz密切平面方程是011=0，即x+y-z=0，

202?x?y?z?0yxz?；主法線的方程是?即?2?11?y?z?0從切面方程是2x-y+z=0,副法線方程式

3．證明圓柱螺線x=acost，y=asint，zxyz??。11?1=bt的主法線和z軸垂直相交。

???V證r'={-asint,acost,b},r''={-acost,-asint,0}，由r'⊥r''知r''為

????r主法線的方向向量，而''?k?0所以主法線與z軸垂直；主法線方程是

x?acosty?asintz?bt??

costsint0與z軸有公共點(diǎn)(o,o,bt)。故圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交。

4.在曲線x=cos?cost,y=cos?sint,z=tsin?的副法線的正向取單位長(zhǎng)，求其端點(diǎn)組成的新曲線的密切平面。

解r'={-cos?sint,cos?cost,sin?},r''={-cos?cost,-cos?sint,0}

??r'?r''?????{sin?sint,-sin?cost,cos?}

|r'?r''|?新曲線的方程為r={cos?cost+sin?sint，cos?sint-sin?cost，tsin?+cos?}

?對(duì)于新曲線r'={-cos?sint+sin?cost，cos?cost+sin?sint，sin?}={sin(?-t),

????cos(?-t),sin?},r''={-cos(?-t),sin(?-t),0},其密切平面的方程是

x?cosacostsin(a?t)?cos(a?t)y?cosasintcos(a?t)sin(a?t)z?tsinasina0?0

4

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即sin?sin(t-?)x–sin?cos(t-?)y+z–tsin?–cos?=0.

5．證明曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點(diǎn)。證方法一：

??設(shè)一曲線為一球面曲線，取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則曲線的向徑r(t)具有固定

??長(zhǎng)，所以r·r'=0，即曲線每一點(diǎn)的切線與其向徑垂直，因此曲線在每一點(diǎn)的法平面

通過這點(diǎn)的向徑，也就通過其始點(diǎn)球心。

?若一曲線的所有法平面通過一定點(diǎn)，以此定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，???則r·r'=0，r(t)具有固定長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)的曲線是球面曲線。

方法二：

???r?r(t)是球面曲線?存在定點(diǎn)r0（是球面中心的徑矢）和常數(shù)R（是球面的

????????半徑）使(r?r0)2?R2?2(r?r0)?r??0，即(r?r0)?r??0（﹡）

?????而過曲線r?r(t)上任一點(diǎn)的法平面方程為(??r)?r??0?？芍ㄆ矫孢^球面

中心?（﹡）成立。

所以，曲線是球面曲線的充要條件是曲線的所有法平面通過一定點(diǎn)。

?6.證明過原點(diǎn)平行于圓柱螺線r={acost，asint，bt}的副法線的直線軌跡是錐面a2(x2?y2)?bz2.

證r'={-asint?,acost,},r''={-acost?,-asin