2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)試題 （文科）解析版

絕密★啟用前

2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)

數(shù)學(xué)(文史類)

【試卷點評】

2017年天津高考數(shù)學(xué)試卷考點變化不大，題型結(jié)構(gòu)與2016年相同，從知識結(jié)構(gòu)角度看，試卷考查

內(nèi)容覆蓋面廣，與往年基本一致。與此同時，試卷命題中出現(xiàn)的綜合與創(chuàng)新，體現(xiàn)了能力立意的命題思

路與穩(wěn)中求變的命題特點。整卷難度分布合理，具有較好的區(qū)分度，整體難度與去年相比稍有降低。

縱觀整篇試卷，命題嚴(yán)格按照《考試說明》與課程標(biāo)準(zhǔn)，雙基內(nèi)容占了相當(dāng)大的比例，體現(xiàn)了命題

人回歸教材、突出主干的思路，重視對考生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查。對于此部分題目，只要考生熟練掌握

基本概念和定理，就可以輕松得分。試卷在知識點選擇上與去年相比略有改變，考驗學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握

的全面性。試卷命題風(fēng)格穩(wěn)定，試題布局合理，利于考生發(fā)揮自身真實水平，具有較好的信度和效度。

每年天津高考命題都會給予應(yīng)用問題一定的關(guān)注，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重視數(shù)學(xué)應(yīng)用有很好的導(dǎo)向作

用，第16題以大家熟悉的電視劇與廣告以及收視人次為命題背景，選材合理，將線性規(guī)劃與實際問題相

結(jié)合，考查學(xué)生的理解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值與人文特色。

知識難度不大，審清題后可較容易地得到答案，體現(xiàn)了新課標(biāo)的教育理念。

【試題解析】

本試卷分為第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I

卷1至2頁，第II卷3至5頁。

答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答

卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

祝各位考生考試順利！

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂

其他答案標(biāo)號。

2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。

參考公式：

?如果事件A,8互斥，那么?如果事件A,8相互獨立，那么

P(AUP(AB)=P(A)P(B).

?棱柱的體積公式V=Sh.圓錐的體積公式V^-Sh.

3

其中S表示棱柱的底面面積，其中S表示棱錐的底面面積，立表示棱錐的高.

h表示棱柱的高.

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

(1)設(shè)集合4={1,2,6},8={2,4},。={1,2,3,4},則(4.3)。=()

(A){2}(B){1,2,4}(C){1,2,4,6}(D){1,2,3,4,6}

【答案】B

【解析】

試題分析:由題意可得：NU3={L246},二(XU8)nc={L2,4}.本題選擇B選項.

【考點】集合的運算

【名師點睛】集合分為有限集合和無限集合，若集合個數(shù)比較少時可以用列舉法表示，若集合是無限集

合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常

借助數(shù)軸或韋恩圖進行處理.

(2)設(shè)xeR,則“2—xNO"是“|x-1區(qū)1”的()

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

試題分析：2-x20,Mi]x<2,|x-l|<1,則一1W尤一lW1,04xW2,1x|0<x<21<z|x|x<2|,

據(jù)此可知：“2-xNO”是“卜―1卜1”的的必要的必要不充分條件，本題選擇B選項.

【考點】充分必要條件

【名師點睛】判斷充分必要條件的的方法：1.根據(jù)定義，若png,qH>p,那么p是g的充分不必要條

件，同時q是p的必要不充分條件，若poq，那互為充要條件，若p<H>g,那就是既不充分也不必

要條件，2.當(dāng)命題是以集合形式給出時，那就看包含關(guān)系，若若那么p是q

的充分必要條件，同時4是p的必要不充分條件，若A=6,互為充要條件，若沒有包含關(guān)系，就是既

不充分也不必要條件，3.命題的等價性，根據(jù)互為逆否命題的兩個命題等價，將p是q條件的判斷，轉(zhuǎn)

化為「夕是條件的判斷.

(3)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏

色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()

4321

(A)-(B)-(C)-(D)-

5555

【答案】C

t解析】

試題分析：選取兩支彩筆的方法有《種，含有紅色彩筆的選法為C：種，由古典概型公式，滿足題意的概

C142

率值為p=d=—=-.本題選擇C選項.

【考點】古典概型

【名師點睛】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式.，屬于基礎(chǔ)題.解題時要準(zhǔn)確理解題意，先

要判斷該概率模型是不是古典概型，利用排列組合有關(guān)知識，正確找出隨機事件A包含的基本事件的個

數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)代入公式p=44.

〃⑼

(4)閱讀右面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為19,則輸出N的值為()

(A)0(B)1(C)2(D)3

【答案】C

【解析】

試題分析：聞讀流程圖可得，程序執(zhí)行過程如下：

苜先初始化數(shù)值為'=19,

第一次循環(huán)：N=JV-1=18,不滿足N<3}

第二次循環(huán)：A，=F=6,不滿足AY3；

3

第三次循環(huán)：N=g=2,滿足NS3；

此時跳出循環(huán)體，輸出N=3.

本題選擇C選項.

【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖

【名師點睛】解決此類型時要注意：第一，要明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu).根據(jù)各自的

特點執(zhí)行循環(huán)體；第二，要明確圖中的累計變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值

發(fā)生的變化；第三，要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會判斷什么時候終止循環(huán)體，爭取寫出每?個循

環(huán)，這樣避免出錯.

(5)已知雙曲線0—[=1(。>0/>0)的左焦點為尸，點A在雙曲線的漸近線上，△OA尸是邊長為

ab~

2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為()

2222x2

(A)二-匕=1(B)匚匕=1(C)——V2=1(D)*2-2_=1

41212433

【答案】D

【解析】

c=2

試題分析：由題意結(jié)合雙曲線的漸近線方程可得：，解得：/=]涉2=3,

—=tan60°=鄧)

.a

雙曲線方程為：Y-二=1,本題選擇D選項.

3

【考點】雙曲線方程

【名師點睛】本題主要考查的是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.解題時要注

意a、b、c的關(guān)系,2=/+〃，否則很容易出現(xiàn)錯誤.解本題首先畫圖，掌握題中所給的幾何關(guān)系，

再結(jié)合雙曲線的一些幾何性質(zhì)，得到a,Z?,c的關(guān)系，聯(lián)立方程，求得a,〃,c的值，

(6)已知奇函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù).若a=-/(log21),b=/(log?4.1),c=/(208),則a,0,c的大

小關(guān)系為()

(A)a<b<c(B)h<a<c(C)c<b<a(D)c<a<h

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意：a=/；Tog，；=f(log：5),且：log：5>logHl>21<2Q8<2,

a8

據(jù)此：log?5>log?4.1>208,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：/(log25)>/(log24.1)>/(2),

^a>b>c,c<b<a,本題選擇C選項.

【考點】1.指數(shù)，對數(shù)；2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

【名師點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與指數(shù)、對數(shù)的運算問題，屬于基礎(chǔ)題型，首先根據(jù)奇函數(shù)的

性質(zhì)和對數(shù)運算法則，a=/(log25),再比較1。825/0824.1,208比較大小.

(7)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(d>x+^),xeR,其中①>0,|9|<兀.若/(—)=2,/(——)=0,且/(x)的最小

88

正周期大于2兀，則()

2兀211兀1117117兀

(A)CO(B)(y=(C)(0=二八沖二(D)(0=

~12'~~12--五-24

【答案】A

【解析】

試題分析：因為條件給出周期大于2-￡“汪=9=%=5八號=3"=0=?再根據(jù)

-x-^+<p=—+2k^=^<p=—+2k7r,因為所以當(dāng)k=0時，0=二成立，故選A.

3821212

【考點】三角函數(shù)的性質(zhì)

【名師點睛】本題考查了y=Asin(0x+p)的解析式，和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題敘述方式新穎,

是一道考杳能力的好題，本題可以直接求解，也可代入選項，逐一考查所給選項：當(dāng)x=4時，

8

257tTC7C、卅口n=r-A-.25TC1\7U7C-J—y.日k立.、小■rtrjuk、口157t11TCTC-j-

—x—+—=一,『兩足題意，一x--------=——,不合題意，B選項錯慶；一x--------二——,不

381223812238244

合題意，C選項錯誤；

1577%乃、.口如:土,311萬42兀、-口111乃7"18萬

—x——+——=—,滿足題是、；當(dāng)工=---時，一x----+—==719滿足虺忌；一X---1----=----,

3824283812382424

不合題意，D選項錯誤.本題選擇A選項.

|x|+2,x<1,

r

(8)已知函數(shù)/(%)=(2設(shè)QER，若關(guān)于x的不等式/(x)2|土+。|在R上恒成立，則。的

x+—,x>l.2

x

取值范圍是()

(A)[-2,2](B)[-273,2](C)[—2,2百](D)[―26,26]

【答案】A

【解析】

試題分析：首先畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)。＞0時?，g(x)=]+”的零點是彳=-2。＜0,零點左邊直

1V-

線的斜率時-]＞-1,不會和函數(shù)”力有交點，滿足不等式恒成立，零點右邊g(x)=1+a,函數(shù)的

1Y

斜率Z=；,根據(jù)圖象分析，當(dāng)x=0時，a＜2,即0＜。(2成立，同理，若。＜0,函數(shù)g(x)=+

的零點是x=—2a〉0,零點右邊g(x)=5+a＜/(x)恒成立，零點左邊g(x)=—a,根據(jù)圖象分

析當(dāng)％=0時，一。＜2=＞。2—2,即一2Wa＜0,當(dāng)a=0時，/(尤)2g(x)恒成立，所以—2WaW2,

畫出兩邊的函數(shù)圖象，根據(jù)臨界值求參數(shù)取值范圍；3.也可轉(zhuǎn)化為尸(x)＞0的問題，轉(zhuǎn)化討論求函數(shù)的

最值求參數(shù)的取值范圍.

本題中的函數(shù)f(x)和g(x)=]+a都是比較熟悉的函數(shù)，考場中比較快速的方法是就是代入端點，畫

出函數(shù)的圖象，快速準(zhǔn)確，滿足題意時/(x)的圖象恒不在函數(shù)+a下方，

當(dāng)a=2當(dāng)時，函數(shù)圖象如圖所示，排除C,D選項；

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。

2.本卷共12小題，共no分。

二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

（9）已知aeR,i為虛數(shù)單位，若二為實數(shù)，則。的值為

2+i

【答案】-2

t解析】

a—i_(a—z-X2-0(2a—1)—(a+2)i2a—1a+2.衣―蝌

試題分析:------T——-=--------i為頭數(shù)

2+i(2+；X2-0

則二=0：a=-2.

【考點】復(fù)數(shù)的運算

【名師點睛】復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只

需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實部和虛部滿足的方程（不等式）組即可，或者設(shè)色二=b^a-i=2b+bi,

2+i

根據(jù)兩邊復(fù)數(shù)相等，求解.

(10)已知aeR，設(shè)函數(shù)，(x)=ar-lnx的圖象在點(1,f⑴)處的切線為/,則/在y軸上的截距為.

【答案】1

【解析】

試題分析：/⑴=a,切點為(l,a),r(x)="L則切線的斜率為/⑴=a—1,切線方程為：

x

>'-a=(a-l)(x-l).令x=0得出y=l,/在y軸的截距為1.

【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【名師點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題型，函數(shù)f(x)在點飛處的導(dǎo)數(shù)/(與)的幾何意

義是曲線y=〃x)在點P(%,為)處的切線的斜率?相應(yīng)地，切線方程為八%=/(%0)(X70)，注

意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同，謹(jǐn)記，有切點直接帶入切點，沒切點

設(shè)切點，建立方程組求切點.

(11)已知一個正方形的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為.

97r

【答案】—

2

【解析】

試題分析：設(shè)正方體邊長為a，貝U6a'=18na：=3,

r-4.4279

外接球直徑為2R=衣a=3.V=—nR:=—JTX—=—n.

3382

【考點】球與幾何體的組合體

【名師點睛】正方體與其外接球的組合體比較簡單，因為正方體的中心就是外接球的球心，對于其他幾

何體的外接球，再找球心時，注意球心到各個頂點的距離相等，1.若是柱體，球心肯定在中截面匕再

找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線與中截面的交點就是球心，2.若是錐體，可以先找底面外接

圓的圓心，過圓心做底面的垂線，再做一條側(cè)棱的中垂線，兩條直線的交點就是球心，構(gòu)造平面幾何關(guān)

系求半徑，3.若是三棱錐，三條側(cè)棱兩兩垂直時，也可補成長方體，長方體的外接球就是此三棱錐的外

接球，這樣做題比較簡單.

(12)設(shè)拋物線V=4x的焦點為巴準(zhǔn)線為/.己知點C在/上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于

點A.若Z.FAC=120°,則圓的方程為.

【答案】(x+l)2+(y—百>=1

【解析】

試題分析：設(shè)圓心坐標(biāo)為。(一1,加)，則A(0,m),焦點分(1,0),

AC=(—l,0),Ab=(l,-m),cos/C4L=1I尸「=一」,機=±&,由于圓。與y軸

".四Vl+m22

得正半軸相切，則取〃2=百，所求圓得圓心為(-1,6)，半徑為1,所求圓的方程為

(x+l)2+(y-V3)2=l.

【考點】1.拋物線的方程；2.圓的方程.

【名師點睛】本題設(shè)計比較巧妙，考查了圓，拋物線的方程，同時還考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，本

題只有一個難點，就是NC4F=120°,會不會用向量的坐標(biāo)表示cos/CAF,根據(jù)圖象，可設(shè)圓心為

C(-l,m),那么方程就是(x+iy+(y—機)2=1,若能用向量的坐標(biāo)表示角，即可求得用，問題也就迎

刃而解了.

(13)若a,/?eR,ab>Q,則"+4""的最小值為______________

ah

【答案】4

【解析】

4.4L4.14/7^2+】1|i--a=ZD

試題分析:-~~r一N—=4ai+—>2J4?ix—=4，兩次等號成立的條件是1

abababyab4ab=——

.ab

就

2,或

解得：，?；當(dāng)且僅當(dāng)a=26=1時取等號.

啦,V2

b0=------

T2

【考點】基本不等式求最值

【名師點睛】本題使用了兩次基本不等式，要注意兩次使用的條件是不是能同時成立，基本不等式的常

用形式包含/+6222"(?！眬用，a+b>2y^h(a,beR+yab<^^,~^2~

等，基本不等式可以證明不等式，也可以求最值，再求最值時，注意“一正，二定，三相等”的條件，

是不是能取得，否則就不能用其求最值，若是使用2次，更要注意兩次使用的條件是不是能同時成立.

(14)在△ABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2.若8。=2OC,AE=AAC-AB(AeR),且AQ-AE=-4,

則2的值為.

3

【答案】—

11

【解析】

12

試題分析：AB-AC=3x2xcos60°=3,AO=—AB+—AC，則

33

1227123

ADAE=(-AB+-ACXAAC-AB)=-x3+——x4——x9——x3=-4^2=—.

33333311

【考點】1.平面向量基本定理；2.向量數(shù)量積.

【名師點睛】平面向量問題中，向量的線性運算和數(shù)量積是高頻考點，當(dāng)出現(xiàn)線性運算問題時，向要選

好基底向量，如本題就要靈活使用向量AB,AC,要注意結(jié)合圖形的性質(zhì)，靈活運用向量的運算解決問題,

當(dāng)涉及到向量數(shù)量積時，要記熟向量數(shù)量積的公式、坐標(biāo)公式、幾何意義等.

三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

(15)(本小題滿分13分)在△ABC中，內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsin8,

ac=>j5(a2-b1-c2Y

(I)求cosA的值；(ID求sin(2B-A)的值.

rAavtz.iV52"\/5

【答案】（I）--—；（II）----.

【解析】

qinAn

試題分析（I）首先根據(jù)正弦定理——=一代入得到a=2b,再根據(jù)余弦定理求得cosA；（II）根據(jù)

sinBb

（I）的結(jié)論和條件，根據(jù)cosA求sinA,和a=2b,以及正弦定理求得sinB,再求cosB,以及

sin28,cos25,最后代入求sin（23—A）的值.

試題解析：（I）解：由asin,4=4bsin3,及-"-=得a=26.

sinJsin5

L：2；3

由8=有（f一62-c?）,及余弦定理，得cosX=L^—

2bc5

（H）解：由（I）,可得sinA=氈，代入asinA=4bsin6,得sinB=^^=好.

54。5

3

cos2B=l-2sin2B=-,故

5

.on八?onA-X4V532逐2也

sin（2B-A）=sin2BcosA-cos23sinA=—x（---）——x----=-----.

【考點】1.正余弦定理；2.三角恒等變換.

【名而點睛】1考中經(jīng)'常將三角變換與海三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二

次式，要考慮用余弦定理：如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現(xiàn)邊

角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)

名和變運算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三

角公式

（16）（本小題滿分13分）電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時.，需要播放廣告.己知每次

播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：

連續(xù)劇播放時長（分鐘）廣告播放時長（分鐘）收視人次（萬）

甲70560

乙60525

（I）用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；

（H）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？

【答案】（I）見解析（II）電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多.

【解析】

試題分析：（I）設(shè)根據(jù)甲乙連續(xù)劇總的播放時間不多于600分鐘，得到70x+60pW600,根據(jù)廣告時間

不少于30分鐘，得到5x+5jN30,和xW2j,同時注意次數(shù)，需滿足xNO/20的條件，建立不等

式組，畫區(qū)域；（H）求z=60x+25j的最值，同時注意是整數(shù)解

70x+60y<600,lx+6y<60,

5x+5y>30,y>6,

試題解析：(I)解：由己知，滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為■x<2y,即，x-2^<0,

x20,x>0,

J20，J20,

該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖1中的陰影部分:

(H)解：設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25y.

z

考慮z=60x+25y,將它變形為y=-￡12x+■，這是斜率為-?12，隨z變化的一族平行直線會z為直

線在y軸上的截距，當(dāng)於取得最大值時，z的值最大.又因為工尸滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線

z=60x+25y經(jīng)過可行域上的點”時，截距［最大，即z最大.

解方程組c'得點〃的坐標(biāo)為(6：3).

所以，電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時才能使總收視人次最多.

【考點】1.不等式組表示的平面區(qū)域；2.線性規(guī)劃的實際問題.

【名師點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃.解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將

目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義；求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求.其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，

理解目標(biāo)函數(shù)的意義.常見的目標(biāo)函數(shù)有：(1)截距型：形如z=ox+by.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函

H77

數(shù)Z=OX+力轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y=--x+-,通過求直線的截距W的最值間接求出Z的最值；(2)

'bbb

距離型：形如z=(x-a『+(y-b)2；⑶斜率型：形如z=2心，而本題屬于截距形式，但要注意

x—a

實際問題中的最優(yōu)解是整數(shù).

(17)(本小題滿分13分)如圖，在四棱錐P—ABCO

中，4。_1平面尸。。，AD//BC,PDLPB,

AD=\,BC=3,CO=4,PD=2.

(I)求異面直線AP與3c所成角的余弦值；

(II)求證：平面P8C；

(Ill)求直線AB與平面P8C所成角的正弦值.

【答案】(1)V]5;(11)苧V5

【解析】

試題分析：(I)異面直線所成的角一般都轉(zhuǎn)化為相交線所成的角，,所以NEID即為所求，根

據(jù)余弦定理求得，但本題可證明,必_加，所以cosNX￡D=dg；(II)要證明線面垂直，根據(jù)判斷定

理，證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則線與面垂直，即證明，尸3；(IH)根據(jù)(H)

的結(jié)論，做。F/OL8,連結(jié)尸尸:NDF尸即為所求.

試題解析：(I)解：如圖，由已知AD//BC,故/DAP或其補角即為異面直線A尸與BC所成的角.因為

AO_L平面POC,所以AO_LPD在RtaPD4中，由已知，得AP=〃￡>?+尸癡=后,故

..?AD75

cosZ/DrAP==——.

AP5

所以，異面直線AP與8c所成角的余弦值為

(H)證明：因為4D_L平面尸DC,直線PCu平面PQC,所以AO_LPD又因為BCY/AO,所以PO_L8C,

又PO_LPB,所以PD1.平面PBC.

(III)解：過點。作AB的平行線交BC于點F,連結(jié)尸凡則CF與平面PBC所成的角等于AB與平面

PBC所成的角.

因為POL平面P8C,故PF為。尸在平面尸8c上的射影，所以NDFP為直線。尸和平面P8C所成的角.

由于AD〃5C,DF//AB,故由已知，得CF=BC-3尸=2.乂AD_LOC,故8C_LOC,在RtZ\OCF

中，可得DF7CD。+CF?=2石，在R2PF中,可得sin/CFP="=且.

DF5

所以，直線A8與平面P8C所成角的正弦值為

【考點】1.異面直線所成的角；2.線面角；3.線面垂直的判斷.

(18)(本小題滿分13分)已知｛4｝為等差數(shù)列，前”項和為S,(〃eN*),他“｝是首項為2的等比數(shù)歹ij,

且公比大于0,仇+&=12也=4一2弓,5H=1電.

(I)求｛4｝和也,｝的通項公式；(II)求數(shù)列｛生,也｝的前“項和(〃eN)

【答案】(1)?！?3〃-2也,=2".(11)7；=(3〃-4)2"2+16.

【解析】

試題分析：(I)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項為q,公差為d,等比數(shù)列的公比為g,建立方程求解；(H)先

求｛。”｝的通項，再求生/“=(6”-2).2'：,再根據(jù)錯位相減法求和.

試題解析：(I)解：設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為d,等比數(shù)列｛2｝的公比為q.由己知打+a=12,得

4①+/)=12,而白=2,所以42+4—6=0.乂因為g>0,解得g=2.所以，hn=T.

由4=%—2q,可得3d—q=8①.由品=11%,可得q+5d=16②,聯(lián)立①②,解得q=l,d=3,

由此可得a”=3n-2.

所以，｛凡｝的通項公式為%=3〃-2,｛〃』的通項公式為"=2".

(H)解：設(shè)數(shù)列｛為AJ的前〃項和為工，由a'=6〃—2,有

7；=4x2+10x22+16x23+--+(6n-2)x2\

27；=4x2?+10x23+16x2,+…+(6”8)x2”+(6〃-2)x2f

上述兩式相減，得-7；=4x2+6x22+6x23+…+6x2"—(6〃-2)x2*】

=12；(1;2")一4一(6”一2)x2、=—(3〃-4)2"：—16

得看=(3〃-4)2*2+16

所以，數(shù)列｛生也｝的前〃項和為(3〃-4)2=+16

【考點】1.等差，等比數(shù)列；2.錯位相減法求和.

【名師點睛】重點說說數(shù)列求和的一些方法：本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和方法(1)分組轉(zhuǎn)化法，

一般適用于等差數(shù)列加等比數(shù)列，(2)裂項相消法求和，cn=,

aa

,,?+i

c“=〃.〃!=~方等的形式，(3)錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列乘以等

+1+

比數(shù)列，(4)倒序相加法求和，一般距首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和和倒著寫和，兩式

兩式相加除以2得到數(shù)列求和，(5)或是具有某些規(guī)律求和.

(19)(本小題滿分14分)設(shè)a,6eR,|a區(qū)1.已知函數(shù)/'(X)=A：3-6x2-3a(a-4)x+6,g(x)=e"(x).

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(ID已知函數(shù)、=8。)和丫=6"的圖象在公共點(xo,泗)處有相同的切線，

(i)求證：f(x)在x=x<>處的導(dǎo)數(shù)等于0；

(ii)若關(guān)于尤的不等式g(x)4e*在區(qū)間K-1,%+1］上恒成立,求r的取值范圍.

【答案】(I)遞增區(qū)間為(—8,a),(4—a,+8),遞減區(qū)間為(a,4—a).(2)(i)/(x)在x=x0處的

導(dǎo)數(shù)等于0.(ii)。的取值范圍是［—7,1］.

【解析】

試題分析:(I)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(x)=3(x-a)［x-(4-a)］,再根據(jù)同41,求得兩個極值點的大小

關(guān)系，a<4-af再分析兩側(cè)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(II)(i)根據(jù)g(x)與/有共同的切線,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程，求得了'(々)=0,得證：(III)將不等式轉(zhuǎn)化為〃x)=l,再根據(jù)前兩問可

知天是極大值點、毛=a,由(D知/(x)在(a-La)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a,a+1)內(nèi)單調(diào)遞減，從而

=l在［a-La+l］上恒成立，得b=2a=6a：+1,-l<a<l,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的取值范

圍

試題解析：(I)由/(x)=/-61-3a(a-4)x+b,可得

f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-?)(%-(4-fl)),

令/'(x)=0,解得尤=a,或x=4-a.由得a<4-a.

當(dāng)x變化時，f\x),/(x)的變化情況如下表：

X(一8,。)(a,4-a)(4-67,+00)

+—+

fM

1-1-1-

所以，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,。)，(4-a,+00),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,4-。).

/(%)e&=e*/'(x)=1

所以r°，解得：0°

H(/(x0)+/'(/))=e"l/U)=0

所以，/(x)在*處的導(dǎo)數(shù)等于0.

(ii)因為g(x)4e〔xe［x0-l,x0+1］,由e*>0,可得/(x)41.

又因為/(為)=1,尸(x0)=0,故/為f(x)的極大值點，由(I)知/=&.

另一方面，由于|。區(qū)1,故a+l<4—a,

由(I)知/(x)在(。一1,<7)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a,a+1)內(nèi)單調(diào)遞減，

故當(dāng)天=。時，/(x)4/(a)=l在［a—l,a+l］上恒成立，從而g(x)4e*在［%—上恒成

立.

由/'(a)=</—6a，—3a(a—4)a+b=1,得b=2a‘-67+1,-1<a<1

令《切=2/-6/+1,xe[-1,1],所以人力=6XL12X,

令?x)=0,解得x=2(舍去)，或x=0.

因為*-1)=-7,t(r)=-3,K0)=1,故()的值域為[-7』.

所以，6的取值范圍是[一7」.

【考點】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【名師點睛】本題本題考點為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題屬于中等問題，第一問求導(dǎo)后要會分解因式，并且根據(jù)

條件能判斷兩個極值點的大小關(guān)系，避免討論，第二問導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意切點是公共點，切點處

的導(dǎo)數(shù)相等的條件，前兩問比較容易入手，但第三問，需分析出，同時根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最

值，涉及造函數(shù)解題較難，這一問思維巧妙，有選拔優(yōu)秀學(xué)生的功能.

(20)(本小題滿分14分)已知橢圓二+5=1(。>〃>0)的左焦點為F(—。,0),右頂點為A,點E的

a~b~

坐標(biāo)為(0,c),△EE4的面積為生.

2

(I)求橢圓的離心率；

3

(II)設(shè)點。在線段AE上，[/Q[=]C,延長線段尸Q與橢圓交于點P,點M,N在光軸上，PM//QN,

且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形的面積為3c.

(i)求直線FP的斜率；

(ii)求橢圓的方程.

]R22

【答案】(I),(H)(i)-(ii)土+匕=1

241612

【解析】

1A2

試題分析：(I)根據(jù)圖象分析出上(。+。)。=幺，再結(jié)合人2=/—求得離心率；([[)(i)首先

22

設(shè)直線燈》的方程是x=再寫出直線AE的方程，方程聯(lián)立得到點。的坐標(biāo)，根據(jù)|R0|