2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市重點(diǎn)高中郊聯(lián)體高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市重點(diǎn)高中郊聯(lián)體高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知向量a=(2,?1,3)A.?4 B.?6 C.4 2.若AB=3CD+2CA.相交 B.平行 C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)3.已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(1,?2)，B(m,2A.?2 B.?7 C.3 4.直線l經(jīng)過A2,1、B1,mA.[0,π) B.[0,5.直線l的方程為(λ+2)x+(λ?1A.?1 B.?5 C.1 6.直線l的方向向量為m=(1,0,?1)，且l過點(diǎn)A.2 B.3 C.67.柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對正多面體進(jìn)行系統(tǒng)研究后而得名的幾何體.如圖是棱長均為1的柏拉圖多面體EABCDF，P，Q，M，N分別為DE，AB，ADA.12

B.14

C.?1

8.已知∠ACB=60°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，P到∠ABCA.33 B.233 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.給出下列命題，其中正確的命題是(

)A.若直線l的方向向量為e=(1,0,3)，平面α的法向量為n=(?2,0,23)，則直線l/?/α

B.若對空間中任意一點(diǎn)O，有O10.下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.直線x?y?3=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是92

B.若三條直線x+y=0，x?y=0，x+ay=3?a不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)a11.在正三棱柱ABC?A′B′C′中，所有棱長為1，又A.AO=12AB+12AC+12AA12.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E為棱CA.P點(diǎn)的軌跡長度為2

B.直線A1P與直線AB所成的角記為θ，則sinθ的最小值為13

C.平面AD1E與平面三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若直線l1：(a?2)x+y+1=14.過點(diǎn)P(0,1)且和A(315.線段AB的兩端在直二面角α?l?β的兩個(gè)面內(nèi)，并與這兩個(gè)面都成30°角，則異面直線AB與

16.如圖所示，在三棱錐P?ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，底面ABC是邊長為1的正三角形，側(cè)面PAC中，PA=P

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知直線l1：mx+3y+1=0，l2：x+(m+2)y18.(本小題12.0分)

在棱長為2的正四面體ABCD中，BM=MC．

(1)設(shè)AB=a，AM=b，AD=c，用a19.(本小題12.0分)

已知直線l：x?2y+4=0和兩點(diǎn)A(0,4)，B(?2,?20.(本小題12.0分)

如圖，在正四棱錐P?ABCD中，O為底面中心，AB=32，PO=3，M為PO的中點(diǎn)，BE=12EP．

(1)求證：21.(本小題12.0分)

在△ABC中，已知A(3,?2)，B(5,4)，且邊AB上的中線CD在y軸上的截距為2．

(1)求直線CD的一般式方程；

(2)22.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥BC．

(1

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

利用向量平行，分別求出m，n，再求和即可．【解答】解：∵向量a=(2,?1,3)，b=(?4,m,n)，且2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)锳B=3CD+2CE，平面的法向量垂直于CD和CE，

所以AB與平面CDE的法向量垂直，

所以直線AB3.【答案】C

【解析】解：∵點(diǎn)A(1,?2)，B(m,2)，則AB=(m?1,4)，

又∵直線4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查直線的傾斜角，要求學(xué)生結(jié)合斜率的計(jì)算公式，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，進(jìn)行分析求解，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)直線AB的傾斜角為θ，0≤θ<π，根據(jù)斜率的計(jì)算公式，可得AB的斜率為k=1?m22?1=1?m2，進(jìn)而可得k的范圍，由傾斜角與斜率的關(guān)系，可得tanθ≤1，進(jìn)而由正切函數(shù)的圖象分析可得答案．

【解答】

解：設(shè)直線AB的傾斜角為θ，05.【答案】B

【解析】解；由(λ+2)x+(λ?1)y?3λ=0(λ∈R)可得(x+y?3)λ+2x?y=0，

令x+y?3=02x?y=0，解得6.【答案】B

【解析】解：直線l的方向向量為m=(1,0,?1)，且l過點(diǎn)A(1,1,1)，

又點(diǎn)P(?1,2,1)，

則AP=7.【答案】A

【解析】解：由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，側(cè)面均為等邊三角形，四邊形ABCD為邊長為1的菱形，

又△AEC≌△BED，所以AC=BD，故四邊形ABCD為正方形，

同理四邊形BEDF也為正方形，

取AE的中點(diǎn)K，連接PK，KQ，

則PQ=8.【答案】B

【解析】解：∠ACB=60°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，P到∠ABC兩邊AC、BC的距離都為2，

作PO⊥平面ABC，作PD⊥AC，PE⊥CB，連接OD，OE，DE，

由已知PE=PD=2，PO⊥平面ABC，則△?POD≌△POE，∴OD=OE，

∵P9.【答案】BC【解析】解：對于A：線l的方向向量為e=(1,0,3)，平面α的法向量為n=(?2,0,23)，則e?n=?2+2=0，故直線l?α或l/?/α，故A錯(cuò)誤；

對于B：對空間中任意一點(diǎn)O，若OP=xOA+yOB+zOC，滿足x+y+z=1，故P，A，B，C四點(diǎn)共面，由于OP=14OA+14OB+110.【答案】BC【解析】解：對于A：直線x?y?3=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是：S△=12×3×|?3|=92，故A正確；

對于B：當(dāng)a=1或?1時(shí)，三條直線x+y=0，x?y=0，x+ay=3?a互相平行或三線共點(diǎn)，故不能構(gòu)成三角形，故實(shí)數(shù)a的取值集合為{?11.【答案】AC【解析】解：連接O與BC的中的D，連接AD，可得AO=AD+DO=12AB+12AC+12AA′.所以A正確；

在三角形AB′C中，O是B′C的中點(diǎn)，AC=1，AB′=2，B′C=12.【答案】AB【解析】解：對于A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

線段BC、BB1、C1B1的中點(diǎn)分別為F、N、M，

連接EF、BC1、NE、NM、AF、A1N、A1M，

∵點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱CB的中點(diǎn)，

∴EF/?/BC1，由正方體的性質(zhì)可知AD1/?/BC1，

∴EF/?/AD1，因此平面AD1E就是平面AD1EF，

∵點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)N為棱BB1的中點(diǎn)，

∴有NE//B1C1且NE=B1C1，

由正方體的性質(zhì)可知A1D1/?/B1C1且A1D1=B1C1，

于是有A1D1//NE且A1D1=NE，

∴四邊形A1D1EN是平行四邊形，則有A1N//D1E，

而A1N?平面A1NM，D1E?平面A1NM，

∴A1N/?/平面AD1EF，

∵點(diǎn)M為棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)N為棱BB1的中點(diǎn)，

∴NM//BC1，由上可知EF/?/BC1，

因此NM//EF，而MN?平面A1NM，F(xiàn)E?平面A1NM，

∴M13.【答案】0

【解析】解：直線l1：(a?2)x+y+1=0與直線l2：2x?(a+1)y?2=0互相平行，

則14.【答案】2x+y【解析】解：若斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)P(0,1)的直線為x=0，此時(shí)不滿足條件；

若斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P(0,1)的直線l：y?1=kx，即kx?y+1=0．

根據(jù)題意，可得|3k?3+1|k2+115.【答案】45°【解析】解：設(shè)AB=a，在平面α內(nèi)，作AA′⊥l于A′，又平面α⊥平面β，所以AA⊥平面β，連接A′B，

所以∠ABA′就是直線AB與平面β所成的角，即∠ABA′=30°，

在Rt△AA′B中，AB=a，所以AA′=12a．

同理作BB′⊥于B′，又平面α⊥平面β，所以BB′⊥平面β，連接AB′，

所以∠BAB′就是直線AB與平面α所成的角，即∠BAB′=30°，

所以BB′=12a,AB′=32a，

所以A′B′=AB16.【答案】3【解析】解：如圖，

取AC的中點(diǎn)O，連接PO，∵PA=PC，∴PO⊥AC，

又側(cè)面PAC⊥底面ABC，側(cè)面PAC∩底面ABC=AC，PO?平面PAC，

∴PO⊥底面ABC，而PO?平面POM，得平面POM⊥平面ABC，

∵O是AC的中點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，∴OM/?/AB，

∵AB?平面POM，17.【答案】解：(1)直線l1：mx+3y+1=0，l2：x+(m+2)y+2m?1=0．

則m(m+2)=1×3，解得m=?3或m=1，

當(dāng)m=1時(shí)，直線l1，l2重合，

當(dāng)m=?3時(shí)，直線l1，l2【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解；

(218.【答案】解：(1)因?yàn)锽M=MC，所以M是棱BC的中點(diǎn)，

所以AB+AC=2AM，

則AC=2AM?AB=2b?a，【解析】(1)利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算求解即可；

(2)先表示出CN19.【答案】解：(1)∵點(diǎn)P(m,n)在直線l上有移動(dòng)，

∴m2+n2的最小值為原點(diǎn)到直線距離的平方，即(45)2=165；

(2【解析】(1)點(diǎn)P(m,n)在直線l上有移動(dòng)，可得m2+n2的最小值為原點(diǎn)到直線距離的平方；

(20.【答案】解：(1)證明：連接BD，則O是BD的中點(diǎn)，且AC⊥BD，

在正四棱錐P?ABCD中，PO⊥平面ABCD，PO=3，AB=32，

所以AC=6，AO=3，

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則O(0,0,0)，A(3,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，C(?3,0,0)，【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EAC的法向量與DM，即可判斷出線面的位置關(guān)系．

(2)利用第一問的法向量，與平行關(guān)系，用點(diǎn)到平面的距離公式d=|AD21.【答案】解：(1)由題意得D(4,1)，又直線CD過點(diǎn)(0,2)，

由直線方程兩點(diǎn)式得直線CD的方程為y?12?1=x?40?4，即x+4y?8=0；

(2)∵△ACD的面積為392，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，∴△ABC的面積為39．

設(shè)點(diǎn)C(8?4t,t)(t>0)，點(diǎn)C到直線AB的距離為d，

∵|AB|=(5?3)2+(【解析】本題考查了直線方程的求法，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

(1)由已知求得D點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線CD過點(diǎn)(0,2)，寫出直線方程的兩點(diǎn)式，整理得答案；

(2)求出|22.【答案】解：(1)取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OP，如圖所示：

∵△PAD為等邊三角形，AD=2，

∴OP⊥AD，AO=1，OP=3，

又平面PAD⊥平面AB