第十九屆華羅庚金杯少年數學邀請賽初賽試卷（小高組B卷）

第1頁（共1頁）第十九屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽初賽試卷（小高組B卷）一、選擇題（每小題10分，滿分60分．以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的）1．（10分）平面上的四條直線將平面分割成八個部分，則這四條直線中至多有（）條直線互相平行．A．0 B．2 C．3 D．42．（10分）在下列四個算式中：÷＝2，E×F＝0，G﹣H＝1，I+J＝4，A～J代表0～9中的不同數字，那么兩位數不可能是（）A．54 B．58 C．92 D．963．（10分）淘氣用一張正方形紙剪下了一個最大的圓（如圖甲），笑笑用一張圓形紙剪下了七個相等的最大圓（如圖乙），在這兩種剪法中，哪種剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圓形面積和占原來圖形面積的百分率）下面幾種說法中正確的是（）A．淘氣的剪法利用率高 B．笑笑的剪法利用率高 C．兩種剪法利用率一樣 D．無法判斷4．（10分）小華下午2點要到少年宮參加活動，但他的手表每個小時快了4分鐘，他特意在上午10點時對好了表．當小華按照自己的表于下午2點到少年宮時，實際早到了（）分鐘．A．14 B．15 C．16 D．175．（10分）甲乙丙丁四個人今年的年齡之和是72歲，幾年前（至少一年）甲是22歲時，乙是16歲，又知道，當甲是19歲的時候，丙的年齡是丁的3倍（此時丁至少1歲），如果甲乙丙丁四個人的年齡互不相同，那么今年甲的年齡可以有（）種情況．A．4 B．6 C．8 D．106．（10分）有七張卡片，每張卡片上寫有一個數字，這七張卡片擺成一排，就組成了七位數2014315．將這七張卡片全部分給甲、乙、丙、丁四人，每人至多分2張．他們各說了一句話：甲：“如果交換我卡片上的2個數字在七位數中的位置，那么新的七位數就是8的倍數”乙：“如果交換我卡片上的2個數字在七位數中的位置，那么新的七位數仍不是9的倍數”丙：“如果交換我卡片上的2個數字在七位數中的位置，那么新的七位數就是10的倍數”?。骸叭绻粨Q我卡片上的2個數字在七位數中的位置，那么新的七位數就是11的倍數”已知四人中恰有一個人說了謊，那么說謊的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題（每小題10分，滿分40分．）7．（10分）算式1007×÷19的計算結果是．8．（10分）海灘上有一堆栗子，這是四只猴子的財產，它們想要平均分配．第一只猴子來了，它左等右等別的猴子都不來，便把栗子分成四堆，每堆一樣多，還剩下一個，它把剩下的一個順手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子來了，它也沒有等別的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，還剩下一個，它又扔掉一個，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一個扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子來，也將剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一個，取走一堆．那么這堆栗子原來至少有個．9．（10分）甲、乙二人同時從A地出發(fā)勻速走向B地，與此同時從B地出發(fā)勻速走向A地．出發(fā)后20分鐘甲與丙相遇，相遇后立即調頭后10分鐘與乙相遇，然后甲再次調頭走向B地．結果當甲走到B地時，乙恰走過A、B兩地中點105米，而丙離A地還有315米．甲的速度是乙的速度的倍，A、B兩地間的路程是米．10．（10分）從1，2，3，…，2014中取出315個不同的數（不計順序）組成等差數列，其中組成的等差數列中包含1的有種取法；總共有種取法．

第十九屆“華羅庚金杯”少年數學邀請賽初賽試卷（小高組B卷）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題10分，滿分60分．以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的）1．（10分）平面上的四條直線將平面分割成八個部分，則這四條直線中至多有（）條直線互相平行．A．0 B．2 C．3 D．4【分析】這道題考查的是大家對于平面直線分割的考查，因為所給的直線比較少，因此用找規(guī)律的方法來做比較簡單．【解答】解：這道題問的是至多有幾條直線平行，現在總過四條直線，那么最多4條線平行，而此時最多只能分成5個部分，那么我們再考慮三條直線的情況，此時只要畫成“豐”字形，就可以得到八個平面，成立，故選：C．2．（10分）在下列四個算式中：÷＝2，E×F＝0，G﹣H＝1，I+J＝4，A～J代表0～9中的不同數字，那么兩位數不可能是（）A．54 B．58 C．92 D．96【分析】因為E×F＝0，所以EF中至少有一個為0，另一個可以是任何數；又因為I+J＝4，所以I和J有一個是3，有一個是1；又因為A～J代表0～9中的不同數字，而G﹣H＝1，分以下情況討論：①GH是9，8時②GH是8，7時③GH是7，6時④GH是6，⑤5時GH是5，4時，據此解答即可．【解答】解：由條件可知：E、F中至少有一個為0，假設E為0；另一個可以是任何數；I和J有一個是3，有一個是1；那么0～9中的數字還剩下2、4、5、6、7、8、9；因為：G﹣H＝1①GH是9，8時則54÷27＝2此時F＝6②GH是8，7時則92÷46＝2此時F＝5③GH是7，6時則58÷29＝2此時F＝4④G、H是6，5此時不滿足條件⑤時G、H是5，4時，此時不滿足條件所以兩位數可能是54、58、92；不可能是96故選：D．3．（10分）淘氣用一張正方形紙剪下了一個最大的圓（如圖甲），笑笑用一張圓形紙剪下了七個相等的最大圓（如圖乙），在這兩種剪法中，哪種剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圓形面積和占原來圖形面積的百分率）下面幾種說法中正確的是（）A．淘氣的剪法利用率高 B．笑笑的剪法利用率高 C．兩種剪法利用率一樣 D．無法判斷【分析】要求兩個人的利用率情況，因為淘氣是用正方形紙剪下了一個最大的圓（如圖甲），笑笑用一張圓形紙剪下了七個相等的最大圓（如圖乙），假設正方形的邊長是9厘米，則能求出圓的面積，進而再比較即可．【解答】解：設正方形的邊長是9厘米，則正方形的面積是：9×9＝81（平方厘米）淘氣：圓的半徑是9÷2＝4.5（厘米）用的材料的面積是3.14×4.52＝3.14×20.25＝63.585（平方厘米）；63.585÷81＝0.785＝78.5%；笑笑：大圓的直徑是9厘米，小圓的半徑是9÷3÷2＝1.5（厘米），3.14×1.52×7＝3.14×2.25×7＝49.455（平方厘米）；49.455÷63.585≈0.778＝77.8%；78.5%＞77.8%．答：淘氣的利用率高．故選：A．4．（10分）小華下午2點要到少年宮參加活動，但他的手表每個小時快了4分鐘，他特意在上午10點時對好了表．當小華按照自己的表于下午2點到少年宮時，實際早到了（）分鐘．A．14 B．15 C．16 D．17【分析】首先分析是快慢鐘的問題，根據路程之間是成比例即可求解．【解答】解：依題意可知：上午十點對號表，標準鐘每小時走60格，小華的表快4分是64格．路程比例為15：16．當小華的表為下午2點時，小華的表走了4圈共240格．根據比例關系設標準鐘走的路程為x則有：15：16＝x：240，解x＝225．240﹣225＝15（分）故選：B．5．（10分）甲乙丙丁四個人今年的年齡之和是72歲，幾年前（至少一年）甲是22歲時，乙是16歲，又知道，當甲是19歲的時候，丙的年齡是丁的3倍（此時丁至少1歲），如果甲乙丙丁四個人的年齡互不相同，那么今年甲的年齡可以有（）種情況．A．4 B．6 C．8 D．10【分析】已知四個人今年的年齡之和是72歲，幾年前（至少一年）甲是22歲時，乙是16歲，當甲是19歲時，則乙13歲，丙的年齡是丁的3倍（此時丁至少1歲），因為此時是至少4年前，所以4個人的年齡和不超過72﹣4×4＝56（歲），設此時丁的年齡是x歲，丙的年齡是3x歲，則19+13+x+3x≤56，解得x≤6，又知道x≥1，所以丁的年齡有6種情況，如果甲乙丙丁四個人的年齡互不相同，所以今年甲的年齡可以有6種情況．【解答】解：至少一年前，甲是22歲時，乙是16歲，當甲是19歲時，則乙13歲，丙的年齡是丁的3倍（此時丁至少1歲），因為此時是至少4年前，所以4個人的年齡和不超過72﹣4×4＝56（歲），設此時丁的年齡是x歲，丙的年齡是3x歲，則19+13+x+3x≤564x+32≤564x≤24x≤6又知道x≥1，所以丁的年齡有6種情況，由于甲乙丙丁四個人的年齡互不相同，所以今年甲的年齡可以有6種情況．故選：B．6．（10分）有七張卡片，每張卡片上寫有一個數字，這七張卡片擺成一排，就組成了七位數2014315．將這七張卡片全部分給甲、乙、丙、丁四人，每人至多分2張．他們各說了一句話：甲：“如果交換我卡片上的2個數字在七位數中的位置，那么新的七位數就是8的倍數”乙：“如果交換我卡片上的2個數字在七位數中的位置，那么新的七位數仍不是9的倍數”丙：“如果交換我卡片上的2個數字在七位數中的位置，那么新的七位數就是10的倍數”丁：“如果交換我卡片上的2個數字在七位數中的位置，那么新的七位數就是11的倍數”已知四人中恰有一個人說了謊，那么說謊的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】如果甲是真的，則甲的卡片為5和2，乙無論是哪張卡片，一定是真的，如果丙是真的，則丙的卡片為5和0，如果丁是真的，則丁的卡片為0和3，通過觀察可以發(fā)現丙與甲兩個人均矛盾個，不難找到說謊的人．【解答】解：根據分析，如果甲是真的，則甲的卡片為5和2；乙無論是哪張卡片，一定是真的；如果丙是真的，則丙的卡片為5和0；如果丁是真的，則丁的卡片為0和3；通過觀察可以發(fā)現丙與甲和丁兩個人均矛盾，故說謊的人是丙．故選：C．二、填空題（每小題10分，滿分40分．）7．（10分）算式1007×÷19的計算結果是4．【分析】先把上面的帶分數化成假分數，把1007分成19×53，然后再進行約分和運算【解答】解：根據分析＝＝＝＝19×＝1×4＝4故答案為：48．（10分）海灘上有一堆栗子，這是四只猴子的財產，它們想要平均分配．第一只猴子來了，它左等右等別的猴子都不來，便把栗子分成四堆，每堆一樣多，還剩下一個，它把剩下的一個順手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子來了，它也沒有等別的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，還剩下一個，它又扔掉一個，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一個扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子來，也將剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一個，取走一堆．那么這堆栗子原來至少有253個．【分析】還原問題需要畫出倒推圖，發(fā)現每一次都是除以4余數是1的數，那么考慮湊成整數倍先給三個．發(fā)現了數字規(guī)律第四只猴子滿足是4的倍數，3猴是16的倍數，依此類推即可求解．【解答】解：至少有多少個，就從最少的開始分析，每一次猴子來的時候的數字都是除以4余數是1的．從四猴開始倒推．每一次拿走，剩余的是．余數都是1．那么我在第四只猴子來的時候先考慮給他3個湊成4的整數倍．第三只猴子的總數比原來也多3個也是4的整數倍，那么要求第三只猴子來的時候要求是4×4＝16的整數倍．第二只猴子的總數比原來也是多3個，也構成4的整數倍．那么要求第二只猴子來的時候要求是4×4×4＝64的整數倍．第一只猴子的總數也比原來多3個同樣是4的整數倍．那么要求第二只猴子來的時候要求是4×4×4×4＝256的整數倍．因為要求原來至少是256﹣3＝253個故答案為：2539．（10分）甲、乙二人同時從A地出發(fā)勻速走向B地，與此同時從B地出發(fā)勻速走向A地．出發(fā)后20分鐘甲與丙相遇，相遇后立即調頭后10分鐘與乙相遇，然后甲再次調頭走向B地．結果當甲走到B地時，乙恰走過A、B兩地中點105米，而丙離A地還有315米．甲的速度是乙的速度的3倍，A、B兩地間的路程是1890米．【分析】（1）30分鐘之內，甲向前走了2份路程，又向后走了1份路程，一共走了3份路程，而乙只走了2﹣1＝1（份）路程；然后根據速度×時間＝路程，可得時間一定時，速度的比等于它們行駛的路程的比，求出甲的速度是乙的速度的多少倍即可；（2）根據甲的速速是乙的速度的3倍，當乙走過AB中點105米時，如果甲不曾回頭，則甲應該共行：3個半程+315米；即比一個全程多行1個半程+315米，即甲遇丙回頭遇到乙再回來甲丙相遇點的20分鐘可走1個半程+315米；所以甲與丙相遇時，甲已行了1個半程+315米，而丙行了1個半程﹣315米；后來，甲如果不停留，共行3個半程+315米時，丙行了2個半程﹣315米；甲丙相遇后，甲行了2個半程，丙行了1個半程；那甲的速度是丙的2倍；即甲丙相遇時，甲行了全程的，比1個半程多315米，據此求出A、B兩地間的路程即可．【解答】解：（1）甲的速度是乙的速度的：（2+1）÷（2﹣1）＝3（倍）；（2）當乙走過AB終點105米時，甲行的路程比比一個全程多行1個半程+315米，甲丙相遇時，甲行了全程的，所以A、B兩地間的路程是：315＝＝1890（米）答：甲的速度是乙的速度的3倍，A、B兩地間的路程是1890米．故答案為：3、1890．10．（10分）從1，2，3，…，2014中取出315個不同的數（不計順序）組成等差數列，其中組成的等差數列中包含1的有6種取法；總共有5490種取法．【分析】易知要形成等差數列，那么315個數中有314個公差，公差最小是1；公差最大是6，接下來分類討論即可解決問題．【解答】解：要形成