線性代數(shù)第三章

PAGEPAGE14向量組的線性相關(guān)性第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算一、n維向量定義3.1列向量，=（）行向量。定義3.3如果存在數(shù)使線性組合，線性表出（線性表示）。稱為組合系數(shù)（或表出系數(shù)，表示系數(shù)）。定義3.4如果存在個(gè)不全為零的常數(shù)，，使?jié)M足（3-4）則稱向量是線性相關(guān)的，否則，便稱則個(gè)向量是線性無關(guān)的。注：給定向量組，，討論其相關(guān)性的方法是：設(shè)，求出，，，如果只有零解，則線性無關(guān)；如果有非零解，則線性相關(guān)；例3.3討論向量，，的線性相關(guān)性解設(shè)由于=++=從而有由此推得，這表明只有全為零才使成立，所以線性無關(guān)。例3.4已知向量線性無關(guān)，又討論向量的線性相關(guān)性解設(shè) = 由于向量組線性無關(guān)，所以由式推得由此解得。上面表明，要使式成立，只要取即可，顯然，這樣的有無窮多組，不妨取，這三個(gè)不全為零的數(shù)，它使式成立，所以線性相關(guān)。設(shè)有個(gè)維列向量由向量等式（3-5）從而有（3-6）定理3.2如下條件等價(jià)：（1）維向量線性相關(guān)（線性無關(guān)）（2）齊次線性方程組有非零解（僅有零解）。（3）r（A）m（r（A）=m）。其中.推論個(gè)維向量線性相關(guān)(無關(guān))的充分必要條件是|A|=0(|A|0) 其中推論（mn）個(gè)維向量必線性相關(guān)。線性組合與線性相關(guān)性的關(guān)系定理3.3向量（m2）線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)向量可以表示為其余個(gè)向量的線性組合定理3.4若向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表出，且表示式是唯一的。第三節(jié)向量組的秩一、向量組的等價(jià)下面定義兩個(gè)向量組之間的關(guān)系定義3.6兩組列向量A：B：向量組A可有向量組B線性表示當(dāng)且僅當(dāng)=（）K，即A=BK。向量組A與向量組B是等價(jià)的二、最大無關(guān)組定義3.7設(shè)向量組是向量組中部分向量所組成的。如果（1）向量組是線性無關(guān)的（2）向量組A可由向量組線性表示那么稱向量組為向量組A的最大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組。命題3.2一個(gè)向量組與它的最大無關(guān)組等價(jià)（若有最大無關(guān)組的話）。一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組等價(jià)。推論兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組所含向量的個(gè)數(shù)必相等。三、向量組的秩定義3.8向量組的最大線性無關(guān)向量組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩。記為r（）命題3.3向量組線性無關(guān)的充分必要條件是r（）=m。四、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系將mn矩陣按行分塊得到：將A按列分塊得到：定理3.8設(shè)A是mn矩陣，則A的列向量組的秩等于矩陣A的秩。THr（A）=A的列秩=A的行秩例3.5設(shè)有向量組（1）判別向量組的線性相關(guān)性，并求它的秩（2）如相關(guān)，求其一個(gè)最大無關(guān)組，并將其余向量用最大無關(guān)組線性表出。解構(gòu)造矩陣，對(duì)A作初等變換，將其化為行階梯形，即即得第四節(jié)向量空間二、子空間定義3.9若的一個(gè)非空子集對(duì)向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱是的一個(gè)子空間。定理3.9的非空子集是子空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)向量加法及數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，即若，，則，。例3.7證明的子集W=是的子空間。例3.8設(shè)均是的子空間。記，則是的子空間。三、基底、維數(shù)定義3.10設(shè)V為向量空間，如果向量空間V的向量且滿足（1）線性無關(guān)；（2）V中任一向量都可由線性表出；例3.10設(shè)A=，B=驗(yàn)證是的一個(gè)基，并把用這個(gè)基線性表示。解：要證是的一個(gè)基，只要證線性無關(guān)，對(duì)矩陣（A|B）施行行初等變換，若A能變成E，則為的一個(gè)基，且當(dāng)A變?yōu)镋時(shí)，B就變?yōu)榧礊閄。（A|B）=因有A~E，故是的一個(gè)基，且=（）第五節(jié)齊次線性方程組（3-8）寫成向量方程的形式，即為A=0（3-9）性質(zhì)3.1如果=，=是（3-9）的兩個(gè)解，則=也是（3-9）的解。性質(zhì)3.2如果=是（3-9）的解，為一常數(shù)，則=也是（3-9）的解。第六節(jié)非齊次線性方程組設(shè)有非齊次線性方程組（3-11）A=（3-12）性質(zhì)3。3設(shè)=及=都是（3-12）的解，則=-為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組A=（3-13）的解。性質(zhì)3.4設(shè)=是方程（3-13）的解，=是方程（3-12）的解，則=+仍是方程（3-12）的解定理3.11設(shè)方程（3-12）有無窮多個(gè)解，若已知=是方程（3-12）的其中一個(gè)解（又稱特解），對(duì)應(yīng)的齊次方程（3-13）的基礎(chǔ)解系為，，…，，則表達(dá)式=+++…+習(xí)題三已知向量，求。設(shè),其中,求設(shè)，求數(shù)k使得。判斷下列命題是否正確，為什么？（1）若向量線性相關(guān)，線性無關(guān)，則，線性無關(guān)。（2）如果向量可由向量組線性表出，即，則表出系數(shù)比全為零。（3）如果向量組線性無關(guān)，則一定可由線性表出。（4）如果線性無關(guān)，則其中任何一個(gè)向量都不能由其余向量線性表出（5）如果存在個(gè)不全為零的常數(shù)，，使則向量組線性無關(guān)（6）如果當(dāng)數(shù)===0時(shí)成立，則向量組線性無關(guān)。把向量表示成向量的線性組合，其中（1）=，（2）=，（3）=，6、設(shè)向量組=，問：（1）x，y取何值時(shí)，向量是向量的線性組合，并寫出時(shí)的表達(dá)式（2）x，y取何值時(shí)，向量不能由向量線性表出。7、（1）若向量組線性無關(guān)，則向量組線性相關(guān)。（2）若向量組線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān)。8、證明如果n維單位坐標(biāo)向量組可以有n維向量組線性表出，則向量組線性無關(guān)。9、判斷下列向量組的線性相關(guān)性（1）； （2）；（3）。10、求下列向量組的秩，并求出一個(gè)最大無關(guān)組。（1）（2）（3） 11、求下列向量組的秩，并求出一個(gè)最大無關(guān)組，并將其余向量表示成最大無關(guān)組的線性組合。（1）（2）（3）12、設(shè)是一組n維向量，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一n維向量都可有它們線性表出。13、設(shè),問是不是向量空間？為什么？14、試證：由所生成的向量空間就是。15、由所生成的向量空間記作，由所生成的向量空間記作，試證=。16、驗(yàn)證為的一個(gè)基，并把用這個(gè)基線性表示。17、求下列齊次方程組的基礎(chǔ)解系（1）（2）（3）（4）（5）18、設(shè)，求一個(gè)42矩陣B，使AB=O，且r（B）=2。19、求一齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為20、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個(gè)解向量，且求該方程組的通解。21、設(shè)A，B都是n階矩陣，且AB=O，證明r（A）+r（B）n22、設(shè)n階矩陣A滿足，E為n階單位矩陣，證明r（A）+r（A-E）=n。23、求下列非齊次線性方程組通解及相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（1）（2）（3）（4）（5）（6）24、設(shè)是齊次線性方程組的s個(gè)解，為實(shí)數(shù)，滿足。證明 =也是它的解。25、設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，，，…，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證明（1），，，…，線性無關(guān)；（2），，，…，線性無關(guān)。26、設(shè)非齊次線性方程組的秩為R，是它的n—r+1個(gè)線性無關(guān)的解。試證它的任一解可表示為 =二、模擬自測題填空題設(shè)則=,=;設(shè)線性相關(guān),則=齊次線性方程組有唯一解，則為（4）設(shè)４×４階方陣Ａ＝,Ｂ＝其中均是４維列向量，且已知=4，=1，則=（5）n階齊次線性方程組有非零解時(shí)，其解向量構(gòu)成的線性空間維數(shù)為（6）齊次線性方程，的基礎(chǔ)解系是（7）已知齊次線性方程有