線性代數(shù)第三章

PAGEPAGE14向量組的線性相關性第一節(jié)n維向量及其線性運算一、n維向量定義3.1列向量，=（）行向量。定義3.3如果存在數(shù)使線性組合，線性表出（線性表示）。稱為組合系數(shù)（或表出系數(shù)，表示系數(shù)）。定義3.4如果存在個不全為零的常數(shù)，，使?jié)M足（3-4）則稱向量是線性相關的，否則，便稱則個向量是線性無關的。注：給定向量組，，討論其相關性的方法是：設，求出，，，如果只有零解，則線性無關；如果有非零解，則線性相關；例3.3討論向量，，的線性相關性解設由于=++=從而有由此推得，這表明只有全為零才使成立，所以線性無關。例3.4已知向量線性無關，又討論向量的線性相關性解設 = 由于向量組線性無關，所以由式推得由此解得。上面表明，要使式成立，只要取即可，顯然，這樣的有無窮多組，不妨取，這三個不全為零的數(shù)，它使式成立，所以線性相關。設有個維列向量由向量等式（3-5）從而有（3-6）定理3.2如下條件等價：（1）維向量線性相關（線性無關）（2）齊次線性方程組有非零解（僅有零解）。（3）r（A）m（r（A）=m）。其中.推論個維向量線性相關(無關)的充分必要條件是|A|=0(|A|0) 其中推論（mn）個維向量必線性相關。線性組合與線性相關性的關系定理3.3向量（m2）線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以表示為其余個向量的線性組合定理3.4若向量組線性無關，而向量組線性相關，則向量必能由向量組線性表出，且表示式是唯一的。第三節(jié)向量組的秩一、向量組的等價下面定義兩個向量組之間的關系定義3.6兩組列向量A：B：向量組A可有向量組B線性表示當且僅當=（）K，即A=BK。向量組A與向量組B是等價的二、最大無關組定義3.7設向量組是向量組中部分向量所組成的。如果（1）向量組是線性無關的（2）向量組A可由向量組線性表示那么稱向量組為向量組A的最大線性無關向量組，簡稱最大無關組。命題3.2一個向量組與它的最大無關組等價（若有最大無關組的話）。一個向量組的任意兩個最大無關組等價。推論兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數(shù)必相等。三、向量組的秩定義3.8向量組的最大線性無關向量組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩。記為r（）命題3.3向量組線性無關的充分必要條件是r（）=m。四、向量組的秩與矩陣的秩的關系將mn矩陣按行分塊得到：將A按列分塊得到：定理3.8設A是mn矩陣，則A的列向量組的秩等于矩陣A的秩。THr（A）=A的列秩=A的行秩例3.5設有向量組（1）判別向量組的線性相關性，并求它的秩（2）如相關，求其一個最大無關組，并將其余向量用最大無關組線性表出。解構造矩陣，對A作初等變換，將其化為行階梯形，即即得第四節(jié)向量空間二、子空間定義3.9若的一個非空子集對向量的加法與數(shù)乘運算也構成一個向量空間，稱是的一個子空間。定理3.9的非空子集是子空間當且僅當對向量加法及數(shù)乘運算是封閉的，即若，，則，。例3.7證明的子集W=是的子空間。例3.8設均是的子空間。記，則是的子空間。三、基底、維數(shù)定義3.10設V為向量空間，如果向量空間V的向量且滿足（1）線性無關；（2）V中任一向量都可由線性表出；例3.10設A=，B=驗證是的一個基，并把用這個基線性表示。解：要證是的一個基，只要證線性無關，對矩陣（A|B）施行行初等變換，若A能變成E，則為的一個基，且當A變?yōu)镋時，B就變?yōu)榧礊閄。（A|B）=因有A~E，故是的一個基，且=（）第五節(jié)齊次線性方程組（3-8）寫成向量方程的形式，即為A=0（3-9）性質3.1如果=，=是（3-9）的兩個解，則=也是（3-9）的解。性質3.2如果=是（3-9）的解，為一常數(shù)，則=也是（3-9）的解。第六節(jié)非齊次線性方程組設有非齊次線性方程組（3-11）A=（3-12）性質3。3設=及=都是（3-12）的解，則=-為對應的齊次線性方程組A=（3-13）的解。性質3.4設=是方程（3-13）的解，=是方程（3-12）的解，則=+仍是方程（3-12）的解定理3.11設方程（3-12）有無窮多個解，若已知=是方程（3-12）的其中一個解（又稱特解），對應的齊次方程（3-13）的基礎解系為，，…，，則表達式=+++…+習題三已知向量，求。設,其中,求設，求數(shù)k使得。判斷下列命題是否正確，為什么？（1）若向量線性相關，線性無關，則，線性無關。（2）如果向量可由向量組線性表出，即，則表出系數(shù)比全為零。（3）如果向量組線性無關，則一定可由線性表出。（4）如果線性無關，則其中任何一個向量都不能由其余向量線性表出（5）如果存在個不全為零的常數(shù)，，使則向量組線性無關（6）如果當數(shù)===0時成立，則向量組線性無關。把向量表示成向量的線性組合，其中（1）=，（2）=，（3）=，6、設向量組=，問：（1）x，y取何值時，向量是向量的線性組合，并寫出時的表達式（2）x，y取何值時，向量不能由向量線性表出。7、（1）若向量組線性無關，則向量組線性相關。（2）若向量組線性無關，則向量組線性無關。8、證明如果n維單位坐標向量組可以有n維向量組線性表出，則向量組線性無關。9、判斷下列向量組的線性相關性（1）； （2）；（3）。10、求下列向量組的秩，并求出一個最大無關組。（1）（2）（3） 11、求下列向量組的秩，并求出一個最大無關組，并將其余向量表示成最大無關組的線性組合。（1）（2）（3）12、設是一組n維向量，證明它們線性無關的充分必要條件是：任一n維向量都可有它們線性表出。13、設,問是不是向量空間？為什么？14、試證：由所生成的向量空間就是。15、由所生成的向量空間記作，由所生成的向量空間記作，試證=。16、驗證為的一個基，并把用這個基線性表示。17、求下列齊次方程組的基礎解系（1）（2）（3）（4）（5）18、設，求一個42矩陣B，使AB=O，且r（B）=2。19、求一齊次線性方程組，使它的基礎解系為20、設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量，且求該方程組的通解。21、設A，B都是n階矩陣，且AB=O，證明r（A）+r（B）n22、設n階矩陣A滿足，E為n階單位矩陣，證明r（A）+r（A-E）=n。23、求下列非齊次線性方程組通解及相應的齊次線性方程組的基礎解系（1）（2）（3）（4）（5）（6）24、設是齊次線性方程組的s個解，為實數(shù)，滿足。證明 =也是它的解。25、設是非齊次線性方程組的一個解，，，…，是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系。證明（1），，，…，線性無關；（2），，，…，線性無關。26、設非齊次線性方程組的秩為R，是它的n—r+1個線性無關的解。試證它的任一解可表示為 =二、模擬自測題填空題設則=,=;設線性相關,則=齊次線性方程組有唯一解，則為（4）設４×４階方陣Ａ＝,Ｂ＝其中均是４維列向量，且已知=4，=1，則=（5）n階齊次線性方程組有非零解時，其解向量構成的線性空間維數(shù)為（6）齊次線性方程，的基礎解系是（7）已知齊次線性方程有