江西省2022屆高三數(shù)學5月第二次聯(lián)考試題 理（解析版）

江西省2022屆高三數(shù)學5月第二次聯(lián)考試題理一、選擇題1．全集U＝R，集合，則（?UA）∩B＝（）A．（2，+∞） B． C． D．【解答】解：全集U＝R，集合，∴A＝{x|x≤﹣1或x≥}，B＝{x|x}，∴?UA＝{x|﹣1＜x＜}，（?UA）∩B＝{x|}．故選：D．2．關于復數(shù)z＝（a+bi）（a，b∈R，i為虛數(shù)單位），下列說法正確的是（）A．若z＝﹣1+i，則|z|＝2 B．若為z的共軛復數(shù)，則 C．復數(shù)z＝1+2i的虛部為2i D．若，則z在復平面內對應的點的坐標為【解答】解：若z＝﹣1+i，則|z|＝，故A錯誤，若為z的共軛復數(shù)，則?z＝（a﹣bi）（a+bi）＝a2+b2，而z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，故B錯誤，復數(shù)z＝1+2i的虛部是2，故C錯誤，若，則z＝＝+i，故z在復平面內對應的點的坐標為，故D正確，3．某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學考試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計結果顯示數(shù)學成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總人數(shù)的，則此次數(shù)學考試成績在90分到105分（含90分和105分）之間的人數(shù)約為（）A．150 B．200C．300 D．400【詳解】由題意，隨機變量，即，即正態(tài)分布曲線的對稱軸為，因為，所以，所以所以此次數(shù)學考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為.故選：C.4.函數(shù)f（x）＝log2（|x|﹣1）的圖像為（）A． B． C． D．【解答】解：由|x|﹣1＞0得x＞1或x＜﹣1，即函數(shù)的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），排除B，C，f（﹣x）＝log2（|﹣x|﹣1）＝log2（|x|﹣1）＝f（x），則f（x）是偶函數(shù)，排除D，故選：A．5．在下列五個命題中，其中正確的個數(shù)為（）①命題“?x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定為“?x?R，有x2+x+1≤0”；②已知，，若與夾角為銳角，則k的取值范圍是k＞0；③“≥1”成立的一個充分不必要條件是“0＜x＜1”；④已知l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，若l⊥α，l⊥β，則α∥β．⑤函數(shù)的圖像向左平移個單位后所得函數(shù)解析式為y＝2sin2x．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：對于①，命題“?x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定為“?x∈R，有x2+x+1≤0”，故①錯誤；對于②，因為向量＝（k﹣1，4﹣2k）與＝（4，1）的夾角為銳角，所以?＞0，且、不共線；即4（k﹣1）+4﹣2k＞0，且k﹣1﹣4（4﹣2k）≠0，所以k＞0，且k≠，故②錯誤；對于③，由≥1可得0＜x≤1，所以③“≥1”成立的一個充分不必要條件是“0＜x＜1”，故③正確；對于④，若l⊥α，l⊥β，根據(jù)面面垂直的判定定理可知α⊥β，故④正確；對于⑤，函數(shù)的圖像向左平移個單位后所得函數(shù)解析式為y＝2sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+），故⑤錯誤．故選：C．6.在△ABC中，若b＝3，c＝2，B＝45°，則此三角形解的情況為（）A．無解B．兩解C．一解 D．解的個數(shù)不能確定【解答】解：過點A作AD⊥BD．點D在∠B的一條邊上，∵h＝csinB＝2×＝＜2＜3＝b＝AC，又3＞2，因此此三角形只有一解．故選：C．7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積是（）A．41π B． C．25π D．【解答】解：由三視圖得到直觀圖，如圖，該幾何體為三棱錐D1﹣CC1E，正方體的棱長為4，E為BB1的中點，取出該幾何體如圖，三棱錐E﹣C1D1C，底面三角形C1D1C為等腰直角三角形，直角邊長為4，側面EC1C⊥底面C1D1C，．則底面三角形的外心為CD1的中點G，設△EC1C的外心為H，分別過G與H作底面C1D1C與側面EC1C的垂線相交于O，則O為三棱錐E﹣C1D1C的外接球的球心，在△EC1C中，求得CK＝4，sin∠ECK＝，則2EH＝，即EH＝，則HK＝，，則．∴該幾何體外接球的表面積是4．故選：A．8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第十六題，叫做“物不知數(shù)”問題，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二．問物幾何？現(xiàn)有一個相關的問題：將1到2021這2021個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構成一個數(shù)列，則該數(shù)列的項數(shù)為（）A．58 B．59 C．60 D．61【解答】解：被5除余3且被7除余2的數(shù)構成首項為23，公差為35的等差數(shù)列，記為{an}，則an＝23+35（n﹣1）＝35n﹣12，令an＝35n﹣12≤2021，解得n≤58．∴將1到2021這2021個自然數(shù)中滿足被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構成一個數(shù)列，則該數(shù)列的項數(shù)是58．故選：A．9.設x，y滿足約束條件，且z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則的最小值為（）A．64 B．81 C．100 D．121【解答】解：作出約束條件表示的可行域如圖，∵a＞0，b＞0，聯(lián)立，得x＝5，y＝6，∴當直線z＝ax+by經(jīng)過點（5，6）時，z取得最大值，則5a+6b＝1，∴，當且僅當時，等號成立，∴的最小值為121．故選：D．10.已知函數(shù)（ω＞0）在區(qū)間[0，π]上有且僅有4條對稱軸，給出下列四個結論：①f（x）在區(qū)間（0，π）上有且僅有3個不同的零點；②f（x）的最小正周期可能是；③ω的取值范圍是；④f（x）在區(qū)間上單調遞增．其中所有正確結論的序號是（）①④ B．②③ C．②④ D．②③④【解答】解：由函數(shù)，令，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上有且僅有4條對稱軸，即有4個整數(shù)符合，由，得，則k＝0，1，2，3，即1+4×3≤4ω＜1+4×4，∴，故③正確；對于①，∵x∈（0，π），∴，∴，當時，f（x）在區(qū)間（0，π）上有且僅有3個不同的零點；當時，f（x）在區(qū)間（0，π）上有且僅有4個不同的零點；故①錯誤；對于②，周期，由，則，∴，故②正確；對于④，∵，∴，∴，又，所以f（x）在區(qū)間上不一定單調遞增，故④錯誤．故正確序號為：②③，故選：B．11.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，若A為△PF1F2內切圓上一動點，當AF1的最大值為4時，△PF1F2的內切圓半徑為（）A． B． C． D．【解答】解：設△PF1F2的內切圓分別與PF1、PF2切于點N、B，與F1F2切于點H，則|PA|＝|PB|，|F1N|＝|F1H|，|F2B|＝|F2H|．又點P在雙曲線右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，即（|PN|+|F1N|）﹣（|PB|+|F2B|）＝2a，∴|F1H|﹣|F2H|＝2a，而|F1H|+|F2H|＝2c，設H點坐標為（x，0），∵|F1H|﹣|F2H|＝2a，∴（x+c）﹣（c﹣x）＝2a，解得x＝a，由雙曲線的方程知a2＝1，b2＝3，所以a＝1，c2＝1+3＝4，所以c＝2，故內切圓的圓心M與在直線x＝1上，設內切圓的半徑為r，由AF1的最大值為4知MF1＝4﹣r，所以（4﹣r）2＝32+r2，解得r＝．故選：C．12.設，b＝，c＝，則a，b，c的大小順序為（）A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜a＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：根據(jù)題意，設f（x）＝，（x＞0）則a＝f（），b＝f（e），c＝f（4），其導數(shù)f′（x）＝，在區(qū)間（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，在區(qū)間（e，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，故當x＝e時，函數(shù)取得最大值f（e）＝，故b＞a，b＞c，設m＝的零點為x1，x2，（x1＜x2），則mx1＝lnx1，mx2＝lnx2，所以lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），lnx2+lnx1＝lnx1x2＝m（x2+x1）①，令g（x）＝lnx﹣，x＞1，則g′（x）＝＞0，故g（x）在（1，+∞）單調遞增，g（x）＞g（1）＝0，所以，當x＞1時，lnx＞，從而ln＞，即（lnx2﹣lnx1）?＞②，①代入②得，x1x2＞e2，令x1＝，則x2＞4，故f（x1）＝f（x2）＜f（4），故a＜c，綜上a＜c＜b．故選：A．二.填空題若（1﹣2x）2022＝a0+a1x+a2x2+?+a2022x2022，則的值．【解答】解：當x＝0時，a0＝1，當x＝時，a0+＝0，∴＝﹣1．故答案為：﹣1．14.甲、乙、丙、丁等6人排成一排，要求甲、乙兩人相鄰，并且甲、乙兩人與丙、丁兩人都不相鄰，則不同的排法種數(shù)是.（用數(shù)字作答）【解答】解：甲，乙，丙，丁等6人排成一排，甲，乙相鄰，則把甲乙看成一個整體，甲，乙之間有種排法，①當甲，乙整體排在首或尾時，共＝48（種），②當甲，乙整體排在中間3個位的排法，（種），故不同的排法種數(shù)為48+24＝72．故答案為：72．已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x）滿足f'（x）﹣f（x）＝e2x，且f（0）＝1，當x∈（0，+∞）時，x（f（x）﹣a）≥1+lnx恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【解答】解：設，則，故g（x）＝ex+c，則f（x）＝（ex+c）ex，又因為f（0）＝1，即1+c＝1，所以c＝0，f（x）＝e2x，x（e2x?a）≥1+lnx，因為x∈（0，+∞），所以在x∈（0，+∞）上恒成立，其中e2x?lnx≥2x+lnx+1，理由如下：構造φ（x）＝ex?x?1，則φ′（x）＝ex?1，令φ′（x）＝0得：x＝0，當x＞0得：φ′（x）＞0，當x＜0得：φ′（x）＜0，故φ（x）在x＝0處取的極小值，也是最小值，φ（x）≥φ（0）＝0，從而得證．故，故a≤2，實數(shù)a的取值范圍為（?∞，2]，故答案為：（﹣∞，2]．16．在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最小值是________【詳解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），設P的坐標為，所以，，，又，所以，所以，，所以，當且僅當時，等號成立．故答案為：三、解答題17.．各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4Sn＝an2+4n（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求Tn＝+…+；（3）設cn＝（﹣1）nan，數(shù)列{cn}的前n項和為Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．【解答】解：（1）各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4Sn＝an2+4n（n∈N*）①，當n＝1時，解得a1＝2；當n≥2時，②；①﹣②得：，整理得an﹣an﹣1＝2（常數(shù)），故數(shù)列{an}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）由于an＝2n，所以，故，所以．（3）由（1）得：cn＝（﹣1）nan＝（﹣1）n?2n，所以當n為偶數(shù)時，；n的最小值為48；9分當n為奇數(shù)時，，不存在最小的n值．故當n為48時，滿足條件．12分18.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝2，點E，F(xiàn)，G分別為PA，AB，BC的中點，平面EFGM∩棱PC＝M．（Ⅰ）試確定的值，并證明你的結論；（Ⅱ）求平面EFGM與平面PAD夾角的余弦值．【解答】證明：（I）．在△APB中，因為點E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點，所以EF∥PB．又EF?平面PBC，PB?平面PBC，所以EF∥平面PBC．因為EF?平面EFG，平面EFG∩平面PBC＝GM，所以EF∥GM．所以PB∥GM．在△PBC中，因為點G為BC的中點，所以點M為PC的中點，即．（II）因為底面ABCD為正方形，所以AD⊥CD．因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．如圖，建立空間直角坐標系D﹣xyz，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），因為E，F(xiàn)，G分別為PA，AB，BC的中點，所以E（1，0，1），F(xiàn)（2，1，0），G（1，2，0）．所以．設平面EFGM的法向量，則即令x＝1，y＝1，z＝2，于是＝（1，1，2）．又因為平面PAD的法向量為＝（0，1，0），所以．所以平面EFGM與平面PAD夾角的余弦值為．19.接種新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的幾率，某地區(qū)有A，B，C三種新冠疫苗可供居民接種，假設在某個時間段該地區(qū)集中接種第一針疫苗，而且這三種疫苗的供應都很充足．為了節(jié)省時間和維持良好的接種秩序，接種點設置了號碼機，號碼機可以隨機地產(chǎn)生A，B，C三種號碼（產(chǎn)生每個號碼的可能性都相等），前去接種第一針疫苗的居民先從號碼機上取一張?zhí)柎a，然后去接種與號碼相對應的疫苗（例如：取到號碼A，就接種A種疫苗，以此類推）．若甲，乙，丙，丁四個人各自獨立的去接種第一針新冠疫苗．(1)求這四個人中恰有2個人接種A種疫苗的概率；(2)記甲，乙，丙，丁四個人中接種疫苗的種數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為解答：(1)依題意所有可能的接種方式有種，恰有2人接種疫苗的情況有種，從而恰有2人接種種疫苗的概率為．(2)依題意的可能值為1，2，3，又，（或），（或）．綜上知，X的分布列為X123P所以．20.已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的一個焦點與短軸的兩個端點組成的三角形是等腰直角三角形，點P（，1）是橢圓C上一點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設R（s，t）是橢圓C上的一動點，由原點O向（x﹣s）2+（y﹣t）2＝4引兩條切線，分別交橢圓C于點P，Q，若直線OP，OQ的斜率均存在，并分別記為k1，k2，求證：k1?k2為定值．【解答】（1）解：因為橢圓的一個焦點與短軸的兩個端點組成的三角形是等腰直角三角形，所以c＝×2b＝b，所以a＝b，又點是橢圓C上一點，所以+＝1，所以a＝2，b＝，故橢圓C的方程為．（2）證明：設直線OP：y＝k1x，直線OQ：y＝k2x，又直線OP為圓R的切線，所以，化簡得，同理可得，故k1，k2是方程（s2﹣4）k2﹣2stk+t2﹣4＝0的兩根，由（s2﹣4）≠0，Δ＞0，可知，因為R（s，t）在橢圓上，所以，所以，故k1?k2為定值．21.已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)的極小值；(2)若，對于任意，當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)解析(1)因為的定義域為，所以．由函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為y＝－2，得，解得a＝1．此時．當和時，；當時，．所以函數(shù)f