【解析】廣東省廣州六中2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

20182019學(xué)年下學(xué)期高二級期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.，則中元素的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】化簡集合A，求出交集即可得到結(jié)果.【詳解】,，,元素個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式，集合的交集，屬于容易題.z滿足，則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念求出z,即可求解.【詳解】,,,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，屬于容易題.，則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得的值，然后利用，求得的值.【詳解】由于，所以，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的余弦公式，屬于中檔題.中，，為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法則和平行四邊形法則求解.【詳解】，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的三角形法則和平行四邊形法則，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5.如圖所示，程序框圖的輸出結(jié)果是s=，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于n的判斷條件是（）A.n≤8？ B.n＜8？ C.n≤10？ D.n＜10？【答案】B【解析】試題分析：首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型，得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì)．然后對循環(huán)體進(jìn)行分析，找出循環(huán)規(guī)律．判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及i的關(guān)系．最終得出選項(xiàng)解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得s=0，n=2滿足條件，s=，n=4滿足條件，s=，n=6滿足條件，s=+=，n=8由題意可得，此時(shí)應(yīng)該滿足條件，退出循環(huán)，輸出s值為．結(jié)合選項(xiàng)，判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于n的判斷條件是：n＜8？故選B．考點(diǎn)：程序框圖．滿足，若，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知條件求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，通過等比數(shù)列的性質(zhì)將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用首項(xiàng)和公比表示，得到關(guān)于的表達(dá)式，解出答案．【詳解】解：正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，可知其公比，且可得，，解得，代入，可得，，可得，而所以，即，解得．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列的基本量進(jìn)行計(jì)算以及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①對于任意的，都有；②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；③對于任意的，都有則、、從小到大的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由①得函數(shù)的周期為2，由②得函數(shù)的對稱軸為x=1,由③得函數(shù)的單調(diào)性，綜合以上函數(shù)的性質(zhì)可以推理得解.【詳解】①對于任意的，都有,所以函數(shù)的周期為T=2;②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對稱；③對于任意的，都有，所以函數(shù)在（0,1）單調(diào)遞增，因?yàn)閒(3)=f(1),f()=f(),f(2)=f(0),1＞＞0，所以，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期性、對稱性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A. B. C.2 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題干所給的垂直關(guān)系，得到方程，進(jìn)而求解.【詳解】由題意得，，∵在點(diǎn)處的切線與直線垂直，∴，解得，故選A．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的求導(dǎo)法則，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所給函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)及恰有三個(gè)零點(diǎn)，即可根據(jù)圖象判斷m的取值范圍．【詳解】由題意，畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：恰有三個(gè)零點(diǎn)即有三個(gè)不同交點(diǎn)，即有三個(gè)不同交點(diǎn)由圖象可知，當(dāng)直線斜率在之間時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)即所以可得所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的畫法，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．10.某校為了增強(qiáng)學(xué)生的記憶力和辨識力，組織了一場類似《最強(qiáng)大腦》的PK賽，兩隊(duì)各由4名選手組成，每局兩隊(duì)各派一名選手PKA隊(duì)選手獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的情況，再分類討論利用獨(dú)立事件乘法公式求對應(yīng)情況的概率，最后根據(jù)加法計(jì)數(shù)原理求結(jié)果.【詳解】A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的情況有三種：A隊(duì)的得分為5分，A隊(duì)的得分為4分，A隊(duì)的得分為3分.當(dāng)A隊(duì)的得分為5分時(shí)，概率為當(dāng)A隊(duì)的得分為4分時(shí)，概率為當(dāng)A隊(duì)的得分為3分時(shí)，概率為因此所求概率為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件乘法公式、分類加法計(jì)數(shù)原理，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.="1"（a>0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)F向其一條漸近線作垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于B點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A.2 B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：如下圖所示，由得：，所以，從而點(diǎn)B的坐標(biāo)為，代入得：，整理得：.選A.考點(diǎn)：雙曲線.的棱長為1，點(diǎn)在正方體的表面上，定義每一點(diǎn)均在正方體表面上的一條路線為一條路徑.已知點(diǎn)到的最短路徑等于點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑.則的最大值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將正方形和正方形展開成平面圖形，根據(jù)等于，求得的最大值.【詳解】將正方形和正方形展開成平面圖形如下圖所示.連接交于，根據(jù)矩形的對稱性可知是線段的中點(diǎn)，且.過作，分別交于.由于等于，所以點(diǎn)的軌跡為線段，則的最大值為.在中，，由射影定理得，所以.所以故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查正方體的側(cè)面展開圖，屬于中檔題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.～,且,則_________.【答案】【解析】【分析】隨機(jī)變量～,根據(jù)正態(tài)分布曲線的特征，可以知道曲線關(guān)于對稱，所以通過，可以求出，根據(jù)對稱性可以求出的值.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量～，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，因此有,.【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布，正確掌握正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.，則二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)微積分基本定理首先求出的值，然后再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求出的值，問題得以解決．【詳解】，展開式通項(xiàng)為：，令，得，故含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于容易題．C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(x0，2)()是拋物線C上一點(diǎn)，以點(diǎn)M為圓心的圓與直線x＝交于E，G兩點(diǎn)，若sin∠MFG＝，則拋物線C的方程是__________.【答案】y2=4x【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上和，列方程組可解得和，即可得出拋物線的方程.【詳解】如下圖所示，作，垂足為由題意知點(diǎn)M(x0，2)()在拋物線上，則①，由拋物線的定義，可知，因?yàn)?，所以，，所以，解得②，由①②解得（舍去）或，故拋物線的方程為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，利用拋物線的定義進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，考查方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題.中，已知，，，，，則__________.【答案】【解析】【分析】如圖，設(shè)，先求出，再求出，，，再利用正弦定理求出即得解.【詳解】如圖，設(shè)，在△中，因?yàn)?，所以由余弦定理得，所?在△中，，所以，在△中，.由正弦定理得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計(jì)算能力.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.的前項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大或最小值及相應(yīng)的.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，取得最小值.【解析】【分析】（1）利用，即可求出時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后檢驗(yàn)，最終可得結(jié)果；（2）利用的二次函數(shù)性質(zhì)可求得其最小值及相應(yīng)的n．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，也適合上式，（2）當(dāng)時(shí)，取得最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了求等差數(shù)列和的最小值問題，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．18.如圖，P—ABCD是正四棱錐，是正方體，其中（1）求證：；（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值；【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】本試題主要是考查了線面垂直定理和二面角平面角的求解的綜合運(yùn)用．（1）建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用點(diǎn)的坐標(biāo)得到向量的坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)量積為零證明垂直的問題．（2）再運(yùn)用向量的夾角公式表示二面角的平面角的求解的（理）解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系（1）證明:設(shè)E是BD的中點(diǎn)，P—ABCD是正四棱錐，∴又，∴∴∴∴，即.5分（2）解:設(shè)平面PAD的法向量是，∴取得，又平面的法向量是∴，∴.10分的左、右焦點(diǎn)分別為，且，是橢圓上一點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）作斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在直線的左上方.證明：的內(nèi)切圓圓心在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由條件求出，然后建立、方程組求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線的方程消元，然后韋達(dá)定理得到、，然后算出即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?因?yàn)樵跈E圓上，所以.解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）設(shè)直線.將代入中，化簡整理得.于是，則因此的角平分線平行于軸所在直線，所以的內(nèi)切圓圓心在直線上.【點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.20.某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜.根據(jù)過去50周的資料顯示，該基地周光照量（小時(shí)）都在30小時(shí)以上，其中不足50小時(shí)的有5周，不低于50小時(shí)且不超過70小時(shí)的有35周，超過70小時(shí)的有10周.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量（千克）與使用某種液體肥料的質(zhì)量（千克）之間的關(guān)系如圖所示.（1）依據(jù)上圖，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明（精確到0.01）.（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺數(shù)受周光照量限制，并有如下關(guān)系：周光照量（單位：小時(shí)）光照控制儀運(yùn)行臺數(shù)321若某臺光照控制儀運(yùn)行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運(yùn)行，則該臺光照控制儀周虧損1000元.以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺？附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1），可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；（2）2臺.【解析】【分析】(1)根據(jù)公式得到相關(guān)系數(shù)的值，通過比較得到判斷；（2）分別求出安裝一臺，兩臺，三臺時(shí)的利潤均值，得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，.∵，，.∴相關(guān)系數(shù).∵，∴可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）記商家周總利潤為元，由條件可知至少需安裝1臺，最多安裝3臺光照控制儀.①安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3000元.②安裝2臺光照控制儀的情形：當(dāng)時(shí)，只有1臺光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤（元），，當(dāng)時(shí)，2臺光照控制儀都運(yùn)行，此時(shí)周總利潤（元），，故的分布列為20006000∴（元）.③安裝3臺光照控制儀的情形：當(dāng)時(shí)，只有1臺光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤（元），，當(dāng)時(shí)，有2臺光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤（元），，當(dāng)時(shí)，3臺光照控制儀都運(yùn)行，周總利潤（元），，故的分布列為100050009000∴（元）.綜上可知，為使商家周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝2臺光照控制儀.【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.（，，為自然對數(shù)的底數(shù)），若對于恒成立．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：存在唯一極大值點(diǎn)，且．【答案】(1);(2)見解析.【解析】試題分析：（1）對函數(shù)f(x)提取公因式，可知只需，而，所以是的一個(gè)極小值點(diǎn)，可解得．（2）由（1）知，，．令，則，由單調(diào)性及，，知在上存在，滿足,可知在上只有一個(gè)極小值點(diǎn)0，存在唯一的極大值點(diǎn)，且．再由隱零點(diǎn)回代可證得不等式成立．試題解析：（1）由，可得，因?yàn)?，所以，從而是的一個(gè)極小值點(diǎn)，由于，所以，即．當(dāng)時(shí)，，，∵時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增；∴，故．（2）當(dāng)時(shí)，，．令，則，∵時(shí)，，在上為減函數(shù)；時(shí)，，在上為增函數(shù)，由于，，所以在上存在滿足，∵在上為減函數(shù)，∴時(shí)，，即，在上為增函數(shù)，時(shí)，，即，在上為減函數(shù)，時(shí)，，即，在上為減函數(shù)，時(shí)，，即，在上為增函數(shù)，因此在上只有一個(gè)極小值點(diǎn)0，綜上可知，存在唯一的極大值點(diǎn)，且．∵，∴，所以，，∵時(shí)，，∴；∵，∴；綜上知：．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，先對函數(shù)求導(dǎo)，再求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三個(gè)方面考慮，一是導(dǎo)函數(shù)恒正或恒負(fù)，二是可觀察出函數(shù)的零點(diǎn)，再通過二階導(dǎo)證明導(dǎo)函數(shù)單調(diào)，導(dǎo)函數(shù)只有唯一零點(diǎn)，三是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求，我們一般稱為隱零點(diǎn)，通過圖像和根的存在性定理，先判定和設(shè)零點(diǎn)，后面一般需要回代消去隱零點(diǎn)或參數(shù)．（二）選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為，直線與曲線相交于兩點(diǎn).（1）寫出曲線的普通方程；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分