2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 　第二章 1-2　第2課時　橢圓的簡單幾何性質(zhì)的綜合問題 學(xué)案

第2課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)的綜合問題[學(xué)習目標]1.進一步熟悉求解橢圓方程的方法.2.會利用橢圓的幾何性質(zhì)解決一些簡單的實際問題.3.了解代入法求解軌跡方程的方法．一、橢圓方程的設(shè)法例1根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程．(1)中心在原點，焦點在x軸上，且焦距為2eq\r(2)，與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1有相同離心率；(2)長軸長是短軸長的2倍，且過點(－2，－4)．解(1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,6t)＋eq\f(y2,2t)＝1(t>0)，則6t－2t＝(eq\r(2))2，得t＝eq\f(1,2)，∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)①當焦點在x軸時，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，則eq\f(4,4b2)＋eq\f(16,b2)＝1，解得b2＝17，所以此時橢圓方程為eq\f(x2,68)＋eq\f(y2,17)＝1；②當焦點在y軸時，設(shè)橢圓方程為eq\f(y2,4b2)＋eq\f(x2,b2)＝1(b>0)，則eq\f(16,4b2)＋eq\f(4,b2)＝1，解得b2＝8，所以此時橢圓方程為eq\f(y2,32)＋eq\f(x2,8)＝1，所以橢圓方程為eq\f(x2,68)＋eq\f(y2,17)＝1或eq\f(y2,32)＋eq\f(x2,8)＝1.延伸探究若將本例(1)中的條件“焦點在x軸上”去掉，其他條件不變，求橢圓方程．解當焦點在x軸上時，由本例(1)知橢圓方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1，當焦點在y軸上時，設(shè)橢圓方程為eq\f(y2,6t)＋eq\f(x2,2t)＝1(t>0)，由6t－2t＝(eq\r(2))2得t＝eq\f(1,2)，所以橢圓方程為eq\f(y2,3)＋x2＝1，所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1或eq\f(y2,3)＋x2＝1.反思感悟(1)與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝t(t>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝t(t>0)；(2)與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同焦距的橢圓方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－k)＋eq\f(y2,b2－k)＝1(k<b2)或eq\f(y2,a2－k)＋eq\f(x2,b2－k)＝1(k<b2)．跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程．(1)與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同離心率且經(jīng)過點(2，－eq\r(3))；(2)與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且離心率為eq\f(\r(5),5).解(1)當焦點在x軸上時，設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t>0)，∵橢圓過點(2，－eq\r(3))，∴t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2，∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1；當焦點在y軸上時，設(shè)方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝m(m>0)，∵橢圓過點(2，－eq\r(3))，∴m＝eq\f(25,12)，∴橢圓的標準方程為eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.(2)橢圓方程4x2＋9y2＝36可化為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴c＝eq\r(5).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，∴a＝5，b＝eq\r(25－\r(5)2)＝2eq\r(5)，則所求橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,20)＝1.二、橢圓簡單幾何性質(zhì)的實際應(yīng)用例2(多選)中國的嫦娥四號探測器，簡稱“四號星”，是世界首個在月球背面軟著陸和巡視探測的航天器.2019年9月25日，中國科研人員利用嫦娥四號數(shù)據(jù)精確定位了嫦娥四號的著陸位置，并再現(xiàn)了嫦娥四號的落月過程，該成果由國際科學(xué)期刊《自然·通訊》在線發(fā)表．如圖所示，現(xiàn)假設(shè)“四號星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，則下列式子正確的是()A．a(chǎn)1＋c1＝a2＋c2 B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2C.eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2) D.eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)答案BD解析由圖可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正確；在橢圓軌道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，在橢圓軌道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正確；a1＋c2＝a2＋c1，兩邊同時平方得，aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，所以aeq\o\al(2,1)－ceq\o\al(2,1)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)－ceq\o\al(2,2)＋2a2c1，即beq\o\al(2,1)＋2a1c2＝beq\o\al(2,2)＋2a2c1，由圖可得，beq\o\al(2,1)>beq\o\al(2,2)，所以2a1c2<2a2c1，eq\f(c2,a2)<eq\f(c1,a1)，所以C錯誤，D正確．反思感悟解決和橢圓有關(guān)的實際問題的思路(1)通過數(shù)學(xué)抽象，找出實際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解．(3)用解得的結(jié)果說明原來的實際問題．跟蹤訓(xùn)練2某隧道的拱線設(shè)計為半個橢圓的形狀，最大拱高h為6米(如圖所示)，路面設(shè)計是雙向車道，車道總寬為8eq\r(7)米，如果限制通行車輛的高度不超過4.5米，那么隧道設(shè)計的拱寬d至少應(yīng)是________米．答案32解析設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,36)＝1，當點(4eq\r(7)，4.5)在橢圓上時，eq\f(16×7,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2,36)＝1，解得a＝16，∵車輛高度不超過4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱寬至少為32米．三、代入法求軌跡方程例3已知在平面直角坐標系中，動點M到定點(－eq\r(3)，0)的距離與它到定直線l：x＝－eq\f(4\r(3),3)的距離之比為常數(shù)eq\f(\r(3),2).(1)求動點M的軌跡Q的方程；(2)設(shè)點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，若P是(1)中軌跡Q上的動點，求線段PA的中點B的軌跡方程．解(1)設(shè)動點M(x，y)，由已知可得eq\r(x＋\r(3)2＋y2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4\r(3),3)))，即x2＋2eq\r(3)x＋3＋y2＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(8\r(3),3)x＋\f(16,3)))，化簡得eq\f(x2,4)＋y2＝1，即所求動點M的軌跡Q的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)B(x，y)，P(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0＋\f(1,2),2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－1，,y0＝2y－\f(1,2)，))由點P在軌跡Q上，得eq\f(2x－12,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y－\f(1,2)))2＝1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,4)))2＝1，∴線段PA的中點B的軌跡方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,4)))2＝1.反思感悟(1)直接法求軌跡方程求軌跡方程時，沒有坐標系時要先建立坐標系，設(shè)軌跡上任一點的坐標為(x，y)，軌跡方程就是x，y之間的等式，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，然后用x，y表示．(2)相關(guān)點法求軌跡方程求軌跡方程時，關(guān)鍵是要找到所求動點與相關(guān)動點之間的等量關(guān)系．(3)定義法求軌跡方程觀察圖形，根據(jù)幾何圖形的直觀性質(zhì)得到動點軌跡的幾何屬性，由曲線的定義直接得到動點軌跡的方程．注意要檢驗是否有要刪除的點．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知P(－4，－4)，Q是橢圓x2＋2y2＝16上的動點，M是線段PQ上的點，且滿足eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MQ,\s\up6(→))，則動點M的軌跡方程是()A．(x－3)2＋2(y－3)2＝1B．(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1C．(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9D．(x－1)2＋2(y－1)2＝9答案B解析設(shè)動點M(x，y)，Q(m，n)，∵eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(MQ,\s\up6(→))，P(－4，－4)，即(x＋4，y＋4)＝eq\f(1,3)(m－x，n－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4＝\f(1,3)m－x，,y＋4＝\f(1,3)n－y，))化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4x＋3，,n＝4y＋3.))又Q(m，n)在橢圓x2＋2y2＝16上，故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1.，求點C的軌跡．解由sinB＋sinA＝eq\f(5,4)sinC，可知b＋a＝eq\f(5,4)c＝10(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，即|AC|＋|BC|＝10>|AB|＝8，滿足橢圓的定義．令橢圓方程為eq\f(x2,a′2)＋eq\f(y2,b′2)＝1(a′>b′>0)，則a′＝5，c′＝4?b′＝3，則軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(x≠±5)，圖形為橢圓(不含左、右頂點)．1．知識清單：(1)橢圓方程的設(shè)法．(2)實際生活中的橢圓問題．(3)求軌跡方程．2．方法歸納：待定系數(shù)法、代入法、分類討論．3．常見誤區(qū)：求橢圓方程未確定焦點在哪個軸上時不討論而致誤．1．橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦點為F，點P是橢圓C上的動點，則|PF|的最大值是()A．2B．3C．4D．6答案D解析由題意可得a＝4，c＝eq\r(16－12)＝2，則|PF|≤a＋c＝6.所以|PF|的最大值是6.2．過點(2,1)，焦點在x軸上且與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同的離心率的橢圓方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,\f(4,3))＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(x2,\f(16,3))＋eq\f(y2,4)＝1答案D解析設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝λ(λ>0)，又由橢圓過點(2,1)，可得eq\f(22,4)＋eq\f(12,3)＝λ，解得λ＝eq\f(4,3)，即所求橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝eq\f(4,3)，即eq\f(x2,\f(16,3))＋eq\f(y2,4)＝1.3.萬眾矚目的北京冬奧會于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場(又名鳥巢)將再次承辦奧運會開幕式．在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓．已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為______cm.答案20解析因為兩個橢圓的扁平程度相同，所以橢圓的離心率相同，所以eq\f(c大,a大)＝eq\f(c小,a小)，即eq\r(\f(a\o\al(2,大)－b\o\al(2,大),a\o\al(2,大)))＝eq\r(\f(a\o\al(2,小)－b\o\al(2,小),a\o\al(2,小))).所以eq\r(\f(202－102,202))＝eq\r(\f(a\o\al(2,小)－52,a\o\al(2,小)))，解得a?。?0.所以小橢圓的長軸長為20cm.4．在圓x2＋y2＝4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),2)eq\o(DP,\s\up6(→)).當點P在圓上運動時，點M的軌跡方程是____________．答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析設(shè)點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0)，則點D的坐標為(x0,0)，∵eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),2)eq\o(DP,\s\up6(→))，即(x－x0，y)＝eq\f(\r(3),2)(0，y0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0，,y＝\f(\r(3),2)y0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝\f(2,\r(3))y，))∵點P在x2＋y2＝4上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，∴x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))y))2＝4，∴點M的軌跡方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.1．德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)天體運行軌道是橢圓，已知地球運行的軌道是一個橢圓，太陽在它的一個焦點上，軌道近日點到太陽中心的距離和遠日點到太陽中心的距離之比是29∶30，那么地球運行軌道所在橢圓的離心率是()A.eq\f(1,59)B.eq\f(2,59)C.eq\f(29,59)D.eq\f(30,59)答案A解析設(shè)橢圓的長半軸長為a，半焦距為c，由題意可得eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(29,30)，整理得a＝59c，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,59).∴地球運行軌道所在橢圓的離心率是eq\f(1,59).2．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同的焦點，且短軸長為2的橢圓的標準方程為()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1答案B解析橢圓9x2＋4y2＝36可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦點在y軸上，焦點坐標為(0，±eq\r(5))，故可設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，則c＝eq\r(5)，又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，則所求橢圓的標準方程為x2＋eq\f(y2,6)＝1.3．(多選)經(jīng)過點M(1,2)且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1有相同離心率的橢圓方程為()A.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,\f(9,2))＝1 B.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1 D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1答案CD解析當焦點在x軸上時，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝t1(t1>0)，將M(1,2)代入得，t1＝eq\f(1,12)＋eq\f(4,6)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)，故所求橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,2))＝1，當焦點在y軸上時，設(shè)橢圓方程為eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝t2(t2>0)，將(1,2)代入得t2＝eq\f(1,2)，故橢圓的方程為eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,3)＝1.4．某月球探測器發(fā)射后順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，近月點與月球表面的距離為100km，遠月點與月球表面的距離為400km.已知月球的直徑約為3476km，則該橢圓形軌道的離心率約為()A.eq\f(1,25)B.eq\f(3,40)C.eq\f(1,8)D.eq\f(3,5)答案B解析由題意知月球半徑為eq\f(1,2)×3476＝1738(km)．設(shè)A為近月點，B為遠月點，F(xiàn)為月球的球心，如圖所示．則|AF|＝100＋1738＝1838(km)，|BF|＝400＋1738＝2138(km)，故2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988.又a＋c＝2138，所以c＝2138－1988＝150，故橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(150,1988)≈eq\f(3,40).5．設(shè)A1，A2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的長軸的兩個端點，P1，P2是橢圓上垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1答案C解析設(shè)交點為P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，∵A1，P1，P共線，∴eq\f(y0,x0＋3)＝eq\f(y,x＋3)，①∵A2，P2，P共線，∴eq\f(－y0,x0－3)＝eq\f(y,x－3).②①×②得eq\f(－y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－9)＝eq\f(y2,x2－9)，③∵P1(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),9)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，∴yeq\o\al(2,0)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),9)))，將yeq\o\al(2,0)代入③得eq\f(y2,x2－9)＝－eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),9))),x\o\al(2,0)－9)＝eq\f(4,9)，∴P的軌跡方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.6．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓．現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計)，在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，1))答案C解析當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，此時橢圓長軸長為eq\r(122＋62)＝6eq\r(5)(厘米)，短軸長為6厘米，∴橢