專題04等腰三角形（考點(diǎn)清單2考點(diǎn)14種題型）

專題04等腰三角形（考點(diǎn)清單）考點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定【考試題型1】等腰三角形的定義【解題方法】有兩邊相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.【典例1】（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（

）A．13 B．17 C．13或17 D．13或10【答案】B【分析】等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說(shuō)明，因此要分兩種情況討論．【詳解】解：①當(dāng)腰是3，底邊是7時(shí)，3+3<7不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．②當(dāng)?shù)走吺?，腰長(zhǎng)是7時(shí)，7+7>3能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)=3+7+7=17．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題時(shí)注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)11】（2022秋·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）等腰三角形的周長(zhǎng)為13cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm，則該等腰三角形的底邊為（

）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm【答案】B【分析】分3cm長(zhǎng)的邊是腰和底邊兩種情況進(jìn)行討論即可求解．【詳解】解：當(dāng)長(zhǎng)是3cm的邊是底邊時(shí)，三邊為3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；當(dāng)長(zhǎng)是3cm的邊是腰時(shí)，底邊長(zhǎng)是：13－3－3＝7cm，而3＋3＜7，不滿足三角形的三邊關(guān)系．故底邊長(zhǎng)是：3cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的計(jì)算，正確理解分兩種情況討論，并且注意到利用三角形的三邊關(guān)系定理，是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)12】（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）若等腰三角形有一個(gè)角等于50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)是（

）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分已知角是頂角和底角兩種情況分別即可．【詳解】解：∵已知三角形是等腰三角形，∴當(dāng)50°是底角時(shí)，頂角；當(dāng)50°是頂角時(shí)，符合題意；綜上所述，等腰三角形的頂角度數(shù)為50°或80°．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論是解答本題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)13】（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)校考期中）已知a，b是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且a，b滿足，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（

）A．8 B．6或8 C．7 D．7或8【答案】D【分析】首先根據(jù)|a2|+（2a+3b13）2=0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵|a2|+（2a+3b13）2=0，∴，解得：，當(dāng)a為底時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為2，3，3，則周長(zhǎng)為8；當(dāng)b為底時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)為2，2，3，則周長(zhǎng)為7．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系定理．關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行分類討論．【考試題型2】根據(jù)等邊對(duì)等角求角度【解題方法】等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）.【典例2】（2022秋·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在線段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，則∠D的度數(shù)為（）A．85° B．75° C．65° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形中，等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)21】（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線l交BC于點(diǎn)D．若∠BAD＝78°，則∠B的度數(shù)是（）A．34° B．30° C．28° D．26°【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=DC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AC的垂直平分線l交BC于點(diǎn)D，∴AD=DC，∴∠DAC=∠C，∵∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，∴∠ADB=2∠B，∵∠BAD=78°，∴∠B+∠ADB+∠BAD=∠B+2∠B+78°=180°，∴∠B=34°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)證得∠ADB=2∠B是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)22】（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，D為上一點(diǎn)，，且，若，，則（）A．3 B． C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)23】（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在等腰三角形ABC中，，過(guò)點(diǎn)A作的高AD．若，則這個(gè)三角形的底角與頂角的度數(shù)比為（

）A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10【答案】D【分析】分等腰三角形頂角是鈍角和銳角兩種情況討論即可.【詳解】解：情況1：如圖：∵，∴，∵CA=CB，∴∠B=∠CAB=15o，底角與頂角的度數(shù)比為：15o:150o=1:10；情況2：如圖：∵，CA=CB，∴∠B=∠CAB=，底角與頂角的度數(shù)比為：75o:30o=5:2，綜上，這個(gè)三角形的底角與頂角的度數(shù)比為5:2或1:10，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.分情況討論是解答此題的關(guān)鍵.【考試題型3】根據(jù)三線合一求解【解題方法】等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【典例3】（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（

）A．12 B．9 C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)三線合一可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)∠EBC＝45°，可得為等腰直角三角形，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】解：AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，，，∠EBC＝45°，，為等腰直角三角形，，，則△EBC的面積是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)31】（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，則△CDE的周長(zhǎng)為（

）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵BD＝CD，∴DE=AB，∵△ABC的周長(zhǎng)為20，即AB+BC+AC=20cm，∴△CDE的周長(zhǎng)＝DE＋CD＋CE＝（AB+BC+AC）=10cm，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)32】（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考期中）蘇州素有“園林之城”美譽(yù)，以拙政園、留園為代表的蘇州園林“咫尺之內(nèi)再造乾坤”，是中華園林文化的翹楚和驕傲．如圖，某園林中一亭子的頂端可看作等腰，其中，若是邊上的一點(diǎn)，則下列條件不能說(shuō)明是角平分線的是（

）A．點(diǎn)到，的距離相等 B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上即可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）即可判斷選項(xiàng)B、選項(xiàng)C，選項(xiàng)D．【詳解】解：A．∵點(diǎn)D到AB、AC的距離相等，∴AD是∠BAC的角平分線，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵∠ADB=∠ADC，∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD是∠BAC的角平分線，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵BD=CD，AB=AC，∴AD是∠BAC的角平分線，故本選項(xiàng)不符合題意；D．AD=BC不能推出AD是△ABC的角平分線，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，能熟記等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)33】（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，AC＝6，DE＝2，則△BCE的面積是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=DE=2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作EF⊥BC于F，∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底邊上的中線，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴△BCE的面積=×BC×EF=6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)34】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為16cm2，則△PBC的面積為（）A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．不能確定【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，再利用三角形的面積公式可得，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是的平分線，，（等腰三角形的三線合一），，（等底同高），，又的面積為，，即，解得，即的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形的面積，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．【考試題型4】根據(jù)三線合一證明【典例4】（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，在中，，于點(diǎn)D．（1）若，求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)E在邊AB上，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：．【答案】（1）48°；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，等量代換得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，于點(diǎn)D，∴，，又，∴；（2）∵，于點(diǎn)D，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)41】（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D、E在的邊上，，，求證：．【答案】見解析【分析】過(guò)點(diǎn)A作于P，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得到答案．【詳解】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于P，∵，，∴；∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)：三線合一，解題的關(guān)鍵是作輔助線．【專訓(xùn)42】（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京市第二十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，是的中線，．求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得，再由平行線的性質(zhì)可得，得到，即可證明．【詳解】證明：∵，是邊上的中線，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴，即△ADE是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)“三線合一”證得是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)43】（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)D是內(nèi)部的一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)D．作，垂足分別為E、F，且．求證：(1)；(2)連接AD，證明．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先根據(jù)“”證明可得，再由等腰三角形的性質(zhì)，從而可證，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)“”證明可得，然后根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，在和中，，∴（），∴∠EBD=∵，∴，∴，即，∴．（2）證明：連接AD并延長(zhǎng)交于G，在和中，，∴（），∴，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確尋找全等三角形是解題的關(guān)鍵．【考試題型5】根據(jù)格點(diǎn)圖中已知線段，求滿足條件的等腰三角形個(gè)數(shù)【解題方法】要注意AB是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解【典例5】（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知圖中A，B兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一個(gè)格點(diǎn)C，使成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（

）個(gè)．A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．10個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的定義判斷即可．【詳解】解：如圖，AB是腰長(zhǎng)時(shí)，紅色的4個(gè)點(diǎn)可以作為點(diǎn)C，AB是底邊時(shí)，黑色的4個(gè)點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C，所以，滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是4+4=8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，要注意AB是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解．【專訓(xùn)51】（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，在圖中給出的、、、四個(gè)格點(diǎn)中，能與點(diǎn)A、B構(gòu)成等腰三角形，且面積為2的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷等腰三角形，然后計(jì)算等腰三角形的面積，進(jìn)而作出判斷．【詳解】解：根據(jù)圖形可知，是等腰三角形，則，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)52】（2022秋·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得是等腰三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，然后進(jìn)行分析即可解答．【詳解】解：如圖：分三種情況：當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)，，即為所求；當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)，，，，即為所求；當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線，與正方形網(wǎng)格的交點(diǎn)不在格點(diǎn)上，綜上所述：滿足條件的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)是8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是分三種情況進(jìn)行討論．【考試題型6】根據(jù)等角對(duì)等邊求解【解題方法】如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等【典例6】（2022秋·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等角對(duì)等邊得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出，是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)61】（2022秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，和的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作分別交于M、N，則的周長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)是角平分線和可以得出，繼而可以得出的周長(zhǎng)，從而可以得出答案．【詳解】解：∵分別是與的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴的周長(zhǎng)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定，是一道綜合題，能夠推出是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)62】（2022春·湖南婁底·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，則DF等于（

）A．10 B．7 C．5 D．4【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于G，先根據(jù)等角對(duì)等邊求出DE=AE=8，再由三角形外角的性質(zhì)求出∠DEC=30°，即可推出DG=4，由平行線的性質(zhì)得到∠BAC=30°，可推出∠BAD=∠DAC，再由角平分線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于G，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DEG=∠ADE+∠DAE=30°，AE=DE=8，∴，∵DEAB，∴∠BAC=∠DEG=30°，∴∠BAD=∠BAC∠DAC=15°，∴∠BAD=∠DAC，又∵DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF=DG=4，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，三角形外角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)63】（2022秋·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15nmile/h（海里/時(shí)，1nmile＝1852m）的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)海島B處，從A、B望燈塔C，測(cè)得NAC＝42°，NBC＝84°．則從海島B到燈塔C的距離為（）A．45nmile B．30nmile C．20nmile D．15nmile【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求證∠C=∠NAC，然后即可證明BC=AB，從而求得B到C的距離．【詳解】∵∠NBC＝84°，∠NAC＝42°，∴∠C＝84°﹣42°＝42°．∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB，∵上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15nmile/h的速度向正北航行．10時(shí)到達(dá)海島B處，∴BC＝AB＝15×2＝30nmile．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考試題型7】根據(jù)等角對(duì)等邊證明【解題方法】如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等【典例7】（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)?？计谥校┱?qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整．求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：如圖，是的外角，平分，求證：證明：∵∴（__________），（__________），∵平分，∴（__________），∴_________，∴（__________）．【答案】?jī)芍本€平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線的定義；；同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊．【分析】只需要利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，即可證明．【詳解】證明：∵∴（兩直線平行，同位角相等），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵平分，∴（角平分線的定義），∴，∴（同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊）．故答案為：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線的定義；；同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，證明是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)71】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖：E在的邊的延長(zhǎng)線上，D點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)F，，，過(guò)D作交BC于G．求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】首先根據(jù)題意證明出△GDF≌△CEFASA，然后得到，結(jié)合得到，即可證明出是等腰三角形．【詳解】∵∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），在和中，∴；∴又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【專訓(xùn)72】（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．求證：MN＝BM+CN．【答案】見解析【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，然后即可證明．【詳解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN，∴BM=MO，ON=CN，∴MN=MO+ON，即MN=BM+CN．【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解與掌握．此題關(guān)鍵是證明△BMO，△CNO是等腰三角形．【專訓(xùn)73】（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD交于點(diǎn)F．(1)求證：△ABE≌△ACD；(2)若∠A＝30°，BE⊥CD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△ACD；（2）分別求出∠ABE，∠ACD，∠FBC，∠FCB的度數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：證明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，△ABC是等腰三角形，∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴BF=CF，∴△BFC是等腰三角形，∵BE⊥CD，∴∠FBC=∠FCB=45°，∴∠ABE=∠ACD=30°，∴∠ABE=∠ACD=∠A，∴AE=BE，AD=CD，∴△ABE和△ACD是等腰三角形，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【考試題型8】尺規(guī)作圖—等腰三角形【典例8】（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個(gè)等腰三角形（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)△ABC的底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h；(2)△ABC的腰長(zhǎng)為a，腰上的高為h．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）首先作線段，再作出BC的垂直平分線，然后截取高為h，連接即可．（2）首先作直線垂直于直線，垂足為F，再直線上取線段，然后，連接即可．【詳解】（1）解：如圖：即為所求作的三角形．（2）解：如圖：即為所求作的三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確掌握線段垂直平分線的作法和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)81】（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為，底邊上的高的長(zhǎng)為，求作這個(gè)等腰三角形．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】根據(jù)題目要求畫出線段a、h，再畫△ABC，使AB＝a，△ABC的高為h；首先畫一條射線，再畫垂線，然后截取高，再畫腰即可．【詳解】如圖所示，作圖：①畫射線AE，在射線上截取AB＝a，②作AB的垂直平分線，垂足為O，再截取CO＝h，③再連接AC、CB，△ABC即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握垂線的畫法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【專訓(xùn)82】（（2022春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谀┤鐖D，在中，，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC邊上確定一點(diǎn)P，連接BP，使BP將分割成兩個(gè)等腰三角形．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】答案見詳解【分析】作∠ABC的角平分線BP，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．【考試題型9】等腰三角形性質(zhì)與判定綜合【典例9】（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為E，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，給出下列四個(gè)結(jié)論：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正確的結(jié)論共有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【詳解】解：∵，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正確，在△CDE與△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正確；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正確．故選A．【專訓(xùn)91】（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（

）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行判斷①，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠FAG＝∠ACB，再判斷②即可，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFG＝∠AGF，再根據(jù)等腰三角形的判定判斷③即可，根據(jù)等腰三角形的判定判斷④即可．【詳解】解：∵BE是AC邊的中線，∴AE＝CE，∵△ABE的面積＝，△BCE的面積＝AB，∴△ABE的面積＝△BCE的面積，故①正確；∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分線，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠FAG＝2∠FCB，故②錯(cuò)誤；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正確；根據(jù)已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④錯(cuò)誤；即正確的為①③，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的面積，三角形的中線，三角形的高，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)92】（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，與的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)．D，交于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①和都是等腰三角形；②；③；④的周長(zhǎng)；⑤．其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤【答案】B【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)，逐一判定即可解答．【詳解】解：，，，是的平分線，是的平分線，，，，，，都是等腰三角形，故①正確；，，即有，故②正確；顯然,故，故③錯(cuò)誤；∴△ADE的周長(zhǎng)，故④正確；根據(jù)題意，無(wú)法得到，故⑤錯(cuò)誤，綜上所述，①②④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定【考試題型10】利用等邊三角形的性質(zhì)求解【解題方法】等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)；2）有三條對(duì)稱軸；3）每個(gè)內(nèi)角都是60°【典例10】（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，連接，若是等邊三角形，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到，從而可得的度數(shù)．【詳解】解：垂直平分，，，為等邊三角形，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到．【專訓(xùn)101】（2022秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，E、F分別是等邊邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接、，交點(diǎn)為P，則的度數(shù)是（）A．120° B．60° C．150° D．無(wú)法確定【答案】A【分析】證明，利用全等三角形的性質(zhì)得到，則由圖示知，即，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得．【詳解】解：是等邊三角形，，，在與中，，，，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明．【專訓(xùn)102】（2022秋·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】利用等邊對(duì)等角和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和依次計(jì)算∠GDC和∠E即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，∴∠CGD＋∠CDG＝60°，∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°，∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，∴∠DFE＋∠E＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角和三角形的外角性質(zhì)，利用等邊對(duì)等角和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)103】（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且，則CE的長(zhǎng)是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB=4，由等邊三角形三線合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=BC=4cm，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三線合一)∴DC=cm，∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB∠E=60°30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．【考試題型11】根據(jù)等邊三角形的判定證明【解題方法】等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。【典例11】（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a﹑b﹑c為△ABC的三條邊邊長(zhǎng)，且滿足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，則△ABC的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】首先利用分組分解法對(duì)已知等式的左邊進(jìn)行因式分解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，從而得到答案．【詳解】解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0∴∴；∴∴為等邊三角形．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的判斷，以及靈活利用因式分解建立與方程之間的關(guān)系來(lái)解決問題．【專訓(xùn)111】（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM和△CBN是等邊三角形．下列結(jié)論：①AN=BM;②CE=CF;③△CEF是等邊三角形;④∠ECF=60°°．其中正確的是（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】由等邊三角形可得其對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而可由SAS得到△CAN≌△CMB，再由△CAN≌△CMB可得∠CAN=∠CMB，進(jìn)而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF為等邊三角形結(jié)論得以驗(yàn)證．【詳解】解：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°=∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN,即∠ACN=∠MCB在△CAN和△MCB中，，∴△CAN≌△CMB（SAS），∴AN=BM，①正確；∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN=∠CMB，又∵∠ECF=180°∠ACM∠NCB=180°60°60°=60°，∴∠ECF=∠ACE，在△CAE和△CMF中，，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE=CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF為等邊三角形，所以②③④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定及等邊三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．【專訓(xùn)112】（2022秋·河北保定·八年級(jí)?？计谥校┫铝腥切危孩儆袃蓚€(gè)角等于的三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形；③三個(gè)角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（

）A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的判定條件逐一分析即可．【詳解】解：①有兩個(gè)角等于的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形；③三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；④三邊都相等的三角形是等邊三角形．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定，熟知等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【考試題型12】利用等邊三角形性質(zhì)與判定求解【典例12】（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市東林中學(xué)校考期末）△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi)．若求五邊形DECHF的周長(zhǎng)，則只需知道（）A．△ABC的周長(zhǎng) B．△AFH的周長(zhǎng)C．四邊形FBGH的周長(zhǎng) D．四邊形ADEC的周長(zhǎng)【答案】A【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，進(jìn)而可根據(jù)AAS證明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根據(jù)等量代換和線段間的和差關(guān)系即可推出五邊形DECHF的周長(zhǎng)＝AB+BC，從而可得結(jié)論．【詳解】解：∵△GFH為等邊三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，∴BE＝FH，∴五邊形DECHF的周長(zhǎng)＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周長(zhǎng)即可．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及多邊形的周長(zhǎng)問題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)121】（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，∠ACB=90°，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且CE=AC，∠BAE=15°，則∠CDE的大小為（

）A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD=AD=AB，得到△ADC是等邊三角形，∠DCB=∠B=30°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB=90°，CE=AC，∴∠CAE=∠AEC=45°，∵∠BAE=15°，∴∠CAB=60°，∴∠B=30°，∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=BD=AD=AB，∴△ADC是等邊三角形，∠DCB=∠B=30°，∴AC=DC=CE，∴∠CDE=∠CED=×（180°30°）=75°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)122】（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，和都是等邊三角形，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)，得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后證明△ACE≌△BCD，則∠CAE=∠CBD，由角的關(guān)系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．【詳解】解：如圖：∵和都是等邊三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD，即，∵，∴，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及角的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確求出．【專訓(xùn)123】（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)無(wú)錫市東林中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C、D在線段AB的同側(cè)，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中點(diǎn)，∠CMD＝120°，則CD長(zhǎng)的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對(duì)稱點(diǎn)B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵M(jìn)A′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值為19，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換的運(yùn)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題．【考試題型13】利用直角三角形30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求解【解題方法】直角三角形30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半【典例13】（2022秋·江蘇常州·