第三章 信號與系統(tǒng)的頻域分析

第三章信號與系統(tǒng)的頻域分析

信號分解為正交函數(shù)

連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)連續(xù)周期信號的頻譜和功率譜

連續(xù)非周期信號的頻譜——傅里葉變換

傅里葉變換的性質(zhì)

LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

取樣定理3.1信號分解為正交函數(shù)一、矢量表示為正交矢量集1、正交完備的概念正交矢量圖若：稱兩矢量彼此正交；稱：正交完備如果沒有第三個矢量V3存在，使

彼此正交的兩矢量構(gòu)成二維矢量集：若二維矢量集正交完備，則任意矢量可表示為：

2、高維矢量空間則該空間的任一矢量可以用以下線性組合來精確地描述:若n維矢量空間的正交矢量集是完備的，其中，相關(guān)系數(shù)：二、信號表示為正交函數(shù)兩個函數(shù)g1(t)和g2(t)在時間區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交條件：在時間區(qū)間(t1，t2)內(nèi)沒有第三個函數(shù)x(t)存在，使：函數(shù)g1(t)和g2(t)構(gòu)成的正交函數(shù)集是正交完備的。1、正交函數(shù)集任意函數(shù)f(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)可完全用g1(t)和g2(t)的線性組合來表示：2、高維函數(shù)空間若n維函數(shù)空間的正交函數(shù)集是完備的，即再也沒有一個函數(shù)x(t)存在，使在時間區(qū)間(t1,t2)內(nèi)則該函數(shù)空間的任一函數(shù)f(t)可以用以下線性組合來精確地描述:其中：3.2周期信號的傅里葉級數(shù)

三角函數(shù)型的傅里葉級數(shù)指數(shù)型傅里葉級數(shù)

微分沖激法求解傅氏系數(shù)（不講）一、三角函數(shù)型的傅里葉級數(shù)

1、正弦余弦形式的傅氏級數(shù)

在一個周期內(nèi)只有有限個間斷點；在一個周期內(nèi)有有限個極值點；在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即：任意周期信號f(t)，如果滿足狄利赫利條件，即：注：一般周期信號都滿足這些條件f(t)可展開成完備的正交三角函數(shù)集線性組合的無窮級數(shù)：其中：余弦分量系數(shù)，是n的偶函數(shù)正弦分量系數(shù)，是n的奇函數(shù)a0,an,bn稱為傅里葉系數(shù)基波角頻率直流系數(shù)直流分量基波分量n=1諧波分量n>1周期信號可以分解為各次諧波分量的代數(shù)和利用信號的對稱性簡化傅立葉系數(shù)的求解

偶函數(shù)fe(t)的傅立葉級數(shù)只含有直流分量和余弦分量；

奇函數(shù)fo(t)的傅立葉級數(shù)只含有正弦分量；

奇半波對稱信號只含有奇次諧波，又稱奇諧函數(shù)

偶半波對稱信號只含有偶次諧波，又稱偶諧函數(shù)2、余弦形式的傅氏級數(shù)其中，為第n次諧波的振幅為第n次諧波的初相角三角函數(shù)變換公式A0=a0如圖所示矩形脈沖信號，試求其兩種形式的傅氏級數(shù)?！?A二、指數(shù)型傅里葉級數(shù)

在時間區(qū)間(t0,t0+T)內(nèi)，基波角頻率的正交完備虛指數(shù)函數(shù)集對于周期為T的周期信號f(t)，在該時間區(qū)間內(nèi)有定義時，可以由上述虛指數(shù)函數(shù)的線性組合來表示，即：其中：（1）定義傅立葉級數(shù)反變換IFST傅立葉級數(shù)正變換FST奇函數(shù)偶函數(shù)說明：是傅氏復(fù)系數(shù)；總是成對出現(xiàn)負頻率的出現(xiàn)只是數(shù)學(xué)形式，實際并不存在(2)與三角形式的傅氏級數(shù)的關(guān)系試求上題的指數(shù)形式的復(fù)氏級數(shù)解：法1法23.3連續(xù)周期信號的頻譜和功率譜一、周期信號的頻譜(1)頻譜：信號各頻率成份的振幅和相位隨頻率變化的規(guī)律，叫做頻譜。時域波形頻譜波形幅度頻譜相位頻譜（2）頻譜圖：頻譜的圖示；（3）幅度頻譜：周期信號各頻率成份的振幅|Fn|（或An)隨頻率n

0分布的規(guī)律的示意圖;（3）相位頻譜：周期信號各頻率成份的相位

n

或n隨頻率n

0分布的規(guī)律的示意圖。1、三角頻譜（單邊頻譜）余弦形式的傅氏級數(shù)其中：第n次諧波的振幅第n次諧波的初相角三角頻譜：余弦形式的傅氏級數(shù)的振幅An隨n

0變化的規(guī)律，稱為振幅頻譜，習(xí)慣上簡稱頻譜；相位n隨n

0變化的規(guī)律，稱為相位頻譜。三角傅氏級數(shù)總有,譜線只出現(xiàn)在n

0～An或者n

0～n平面的右半平面，故稱作單邊頻譜。解：由前面例可知該信號僅含a0和an項

求下列矩形脈沖序列信號的頻譜，并繪頻譜圖。0單邊相位頻譜0單邊幅度頻譜單邊頻譜的特點離散性：譜線是不連續(xù)的。諧波性：譜線只出現(xiàn)在基波頻率

0和它的整數(shù)倍諧波頻率n0

上。收斂性：振幅頻譜An的高度隨著諧波次數(shù)的增大逐漸衰減，即（2）指數(shù)頻譜（雙邊頻譜）奇函數(shù)偶函數(shù)指數(shù)形式的傅氏級數(shù)

指數(shù)頻譜：傅氏復(fù)系數(shù)隨n

0變化的規(guī)律

振幅頻譜對稱于縱軸；

相位頻譜對稱于原點；除F0=A0/2外，的譜線長度是的譜線長度的一半。由于n0

的取值范圍是全頻域，因此無論是振幅頻譜還是相位頻譜都對稱地分布在縱軸的兩邊故稱為雙邊頻譜?？偨Y(jié)：求上例周期矩形脈沖信號的指數(shù)頻譜，并繪頻譜圖。解：雙邊幅度頻譜00單邊幅度頻譜0單邊相位頻譜0雙邊相位頻譜雙邊頻譜的特點離散性、諧波性、收斂性有效頻帶寬度B

=△

＝2π/τ脈寬、周期T對頻譜的影響:

，

內(nèi)的譜線間隔數(shù):譜線數(shù):

各譜線高度不變內(nèi)譜線增多T不變T各譜線高度不變內(nèi)譜線增多

不變T無窮大二、周期信號的平均功率和功率譜1、周期信號的平均功率瞬時功率：平均功率：結(jié)論：周期信號總的平均功率為各次諧波分量平均功率的和。2、Parseval定理周期信號的平均功率可以在頻域中由傅氏復(fù)系數(shù)Fn確定。周期信號的帕塞瓦爾定理3、周期信號的功率譜

Pn~n

0

（或~n

0）的關(guān)系雙邊功率頻譜單邊功率頻譜周期信號的功率譜的用途

可以直觀的看出頻率中各平均功率分量隨頻率的分布情況：可以確定有效頻帶寬度（Bω）內(nèi)諧波分量的平均功率占整個周期信號P的平均功率之比；例題：3－63.4非周期信號的頻譜—傅里葉變換一、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換fT1(t)tT1-T10n

02

—

Fn.0F0

0fT2(t)tT2-T202

—

n

0Fn.F00f(t)tT

∞-∞-T0Fn.n

0

0F00

0d

當(dāng)T∞時周期信號演繹為非周期信號，即信號的頻譜發(fā)生如下變化：

0變?yōu)槲⒃至縟,即，無限地趨于零，離散性不再存在，頻譜由線譜變成面譜。n

0變?yōu)檫B續(xù)的角頻率

,即Fn趨于零,即頻譜圖消失。非周期信號的頻譜圖無法按Fn繪出。為了用圖形描述非周期信號的頻譜，引出頻譜密度函數(shù)的概念。1、頻譜密度函數(shù)（單位頻帶上Fn的分布情況）定義：式中：T∞時周期信號演繹為非周期信號n

0

變?yōu)檫B續(xù)的角頻率反之：故：傅氏正變換傅氏反變換也可用雙箭頭符號表示：f(t)=F-1F(j)=IFT[F(j)]傅立葉變換（FT）對：F(j)=FT

f(t)=F

f(t)

…矩形脈沖信號如圖所示，求其F(j)。解：0A面頻譜，為表示方便，取其包絡(luò)幅度頻譜相位頻譜2、非周期信號頻譜F(jω)特性（1）傅氏變換存在的條件信號f(t)在全時域（－∞，∞）滿足狄利赫利條件，即

有限個間斷點；有限個極值點；

f(t)絕對可積，即：（M為有限值）

注意：狄氏條件是充分條件而不是必要條件，有些不滿足該條件的信號仍可求傅氏變換，但不能從定義積分式求得，只能采用其它方法。（2）F(j)頻譜圖的特點是面狀譜而非離散譜。具收斂性：|F(j)|=|F(–j)|為偶函數(shù)，幅度譜關(guān)于縱軸對稱。

()=–(–)為奇函數(shù)，相位譜關(guān)于原點對稱。（3）傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系非周期信號頻譜F(j)與周期信號頻譜Fn之間的關(guān)系：二、非周期信號頻譜的物理意義及其特性1、物理意義的奇函數(shù)的偶函數(shù)

非周期信號可看作是由不同頻率（從零到無限大）的余弦“分量”所組成；為一個等幅振蕩信號；信號f(t)是這些等幅震蕩信號在全頻域的疊加；2、非周期信號的奇偶性對F(j)的影響(3)f(t)為非奇非偶的實函數(shù)(2)f(t)為實奇函數(shù)(1)f(t)為實偶函數(shù)為實偶函數(shù)為純虛奇函數(shù)三、能量譜和功率譜1、非周期信號的能量公式（Parseval定理）信號在頻域中的總能量信號在時域中的總能量2、能量譜（能量信號，能量譜密度）能量譜密度：單位頻帶內(nèi)的能量，記作Ef()，單位：焦耳/赫茲。比較Ef()反映了信號的能量在頻域的分布情況，它只與信號振幅頻譜的平方有關(guān)與相位頻譜無關(guān)。3、功率譜(針對功率信號)對信號f(t)進行截取，得到時限信號fτ(t)fτ(t)是時限信號，其能量Eτ為有限值能量信號定義功率密度函數(shù)，簡稱功率譜比較

功率譜Pf()反映了信號的平均功率在頻域的分布情況，與相位頻譜無關(guān)。周期信號的功率密度函數(shù)比較周期信號的功率譜總結(jié)：1、周期信號Parseval定理:2、非周期信號Parseval定理:能量譜:功率譜:功率譜：四、典型信號的傅氏變換1、矩形脈沖信號（門函數(shù)）0At2、正三角脈沖信號3、單邊實指數(shù)信號4、雙邊指數(shù)信號5、沖激信號均勻譜6、單位直流信號7、符號函數(shù)8、單位階躍信號9、高斯脈沖信號A時域波形和頻譜形狀相同3.5傅里葉變換的性質(zhì)一、線性1、齊次性3、線性性質(zhì)2、疊加性利用線性性質(zhì)求符號函數(shù)的傅氏變換解：二、對稱性求：提示：求：提示：求：三、尺度壓擴性質(zhì)（反比性）若，則f(at)的波形為f(t)的波形沿t軸壓縮了a倍；其相應(yīng)的的波形為F(

)的波形沿

軸擴展了a倍。解：已知：求：f(2t)和f(t/2)的傅氏變換。2

_2

_-f(t)A0t

2_AF(j)0f(2t)

_4A

_4-0t

4_A20F(j/2)21_

_A

0tf(t/2)

2A_

02F(j2)

四、時延性質(zhì)（時移性）推論：試求試求信號在時域延時，其頻譜所有的頻率分量均延時同一個時間五、頻移性質(zhì)

從頻域角度看，信號f(t)在時域乘以虛指數(shù)以后，相當(dāng)于其F(j)沿軸向左出現(xiàn)了0的位移，反之亦然。求：

0()F(j)

0()-0

0(-j)F(j)

0(j)-0余弦信號的頻譜正弦信號的頻譜(1)調(diào)制原理

在通信技術(shù)中，頻移性質(zhì)的典型應(yīng)用就是調(diào)制原理。調(diào)制過程如圖所示，調(diào)制信號f(t)與載波信號（或稱被調(diào)制信號）cos

0t或sin0t同時輸入乘法器得到信號f(t)cos

0t或f(t)sin

0t,這個過程叫做振幅調(diào)制。若：例：(2)周期信號的傅氏變換周期信號：指數(shù)形式的傅氏級數(shù)：傅氏變換為：……解：求周期性三角脈沖序列的傅式變換0用FT分析周期信號的頻譜，具有兩個顯著的特點：（1）是沖激序列；（2）具有離散性和諧波性。(3)單位沖擊序列信號

T(t)的傅氏變換……其指數(shù)形式的傅氏級數(shù)為：……六、卷積定理1、時域卷積定理若：則：2、頻域卷積定理若：則：（1）時域卷積定理常用于分析線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。3、卷積定理的應(yīng)用例題：P1803.27（2）頻域卷積定理常用于分析調(diào)制與解調(diào)問題，解調(diào)就是將調(diào)制過的信號恢復(fù)到原信號，解調(diào)的原理框圖如下：P低通濾波器一次調(diào)制：二次調(diào)制（解調(diào)）:調(diào)制解調(diào)濾波

F1(j)0

c-cF(0)/2

2

—

F(j)0F(0)1f(t)t02

_2

_--c

F2(j)0

c-2cF(0)/4F(0)/22cH(0)=2

2

—F(j)0F(0)頻分復(fù)用原理用頻譜搬移的方法使不同信號占據(jù)不同的頻譜范圍—頻分復(fù)用（FDMA）三路信號調(diào)制頻分復(fù)用的特點：獨占頻段，共享時間。三路信號解調(diào)七、時域微分性質(zhì)同理八、時域積分性質(zhì)證明：時域卷積定理（卷積的積分性）利用時域積分性質(zhì)求信號的頻譜時域積分性以此類推(1)當(dāng)f(t)為能量信號（有始有終），f(∞)=f(-∞)=0易得易得(2)當(dāng)f(t)為功率信號，f(∞）≠0，f(-∞)≠0(3)當(dāng)f(t)為非功非能信號，不能使用該公式K次求導(dǎo)，得到?jīng)_激信號例：利用時域積分性質(zhì)求三角脈沖的傅氏變換。例：利用時域積分性質(zhì)求符號函數(shù)的傅氏變換。九、頻域微分性質(zhì)若則推論例題：設(shè)求：十、頻域積分性質(zhì)若則總結(jié)：常用信號的FT和FT的性質(zhì)總結(jié)：常用信號的FT和FT的性質(zhì)6.時域卷積：7.頻域卷積:1.線性：齊次性、疊加性、線性4.時移性：5.頻移性：2.對稱性：3.反比性：8.時域微分：9.時域積分:10.頻域微分：11.頻域積分:3.6LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

典型信號作用系統(tǒng)的頻域分析周期信號作用系統(tǒng)的頻域分析非周期信號作用系統(tǒng)的頻域分析微分方程的頻域解頻域分析法（傅立葉變換分析法）：利用傅立葉級數(shù)變換和傅立葉變換求解LTI連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的方法；一、典型信號作用系統(tǒng)的頻域分析1、單位沖激信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)頻域的系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）幅頻響應(yīng)函數(shù)相頻響應(yīng)函數(shù)2、虛指數(shù)信號ejωt激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)(也稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng))結(jié)論：yf(t)仍為同頻率的虛指數(shù)信號，只是響應(yīng)比激勵加權(quán)了一個復(fù)函數(shù)H(jω)？3、正弦信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）系統(tǒng)響應(yīng)為：系統(tǒng)的激勵為：物理含義：系統(tǒng)輸入是正弦信號，響應(yīng)也是同頻率的正弦信號，但幅度和相位有變化；

系統(tǒng)頻率響應(yīng)：系統(tǒng)幅頻響應(yīng)和系統(tǒng)相頻響應(yīng)；

系統(tǒng)幅頻響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號與輸入信號幅度的比值隨頻率的變化；

系統(tǒng)相頻響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號與輸入信號相位之差隨頻率的變化；幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)二、周期信號激勵下連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析當(dāng)激勵為周期信號指數(shù)型傅里葉級數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：三角型傅里葉級數(shù)每一分量的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)三、非周期信號作用LTI系統(tǒng)的頻域分析當(dāng)激勵為非周期信號：疊加性齊次性結(jié)論：

求激勵信號的傅里葉變換，即：f(t)?F(jω)

確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jω)

求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Yzs(jω)

通過傅氏反變換求零狀態(tài)響應(yīng)

yzs(t)=F-1[Y(j)]傅氏變換分析法：通過FT求系統(tǒng)yzs(t)的方法電路如圖所示，求電流i(t)。1t0解：輸出輸入四、微分方程的頻域解計算過程：計算激勵的傅氏變換F(j)；根據(jù)微分方程求系統(tǒng)函數(shù)H(j)；根據(jù)Yf(j)=H(j)F(j)求出零狀態(tài)響應(yīng)得傅氏變換；通過傅氏反變換求出時域零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)；激勵信號：已知系統(tǒng)的微分方程為：求:系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)頻域分析法的特點(1)通過FT分析法，可比較輸入激勵信號f(t)與輸出響應(yīng)信號yf(t)的波形差異。(2)比較F(j)與Y(j)頻域波形，從頻譜改變的觀點解釋激勵與響應(yīng)的波形差異，為網(wǎng)絡(luò)設(shè)計提供依據(jù)。(3)傅氏變換存在一些天生的弱點:

條件苛刻：有些信號傅氏變換不存在，如指數(shù)增長信號etε(t)

當(dāng)>0時反變換難以求解；方法不完備，只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。傅氏變換多在對系統(tǒng)進行定性分析。3.7連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)一、LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的定義n階常系數(shù)線性微分方程頻響特性連續(xù)系統(tǒng)的頻響特性稱為系統(tǒng)的幅頻特性，是的偶函數(shù)注意：系統(tǒng)函數(shù)只與系統(tǒng)的內(nèi)部參數(shù)、連接方式（結(jié)構(gòu)）、系統(tǒng)接口有關(guān)，與激勵無關(guān)。稱為系統(tǒng)的相頻特性，是的奇函數(shù)

電路如圖(a)所示，試求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解：繪出電路的相量模型如圖(b)，根據(jù)該圖得：幅頻特性為：相頻特性為：

一般繪頻譜圖時，討論ω≥0部分的幅頻特性和相頻特性，至于ω≤0部分的頻譜，可根據(jù)對稱性確定。頻譜圖:四、信號的無失真?zhèn)鬏敽屠硐氲屯V波器的響應(yīng)1、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)(1)信號的失真分析前面的例題：輸出y(t)和輸入f(t)信號的波形可見，輸出電流i(t)不再是單位階躍信號。系統(tǒng)的響應(yīng)信號與激勵信號不完全相同，存在失真。通信工程中，除了一些特別的要求，總希望失真盡量的小。從頻譜分析的觀點來看，失真的原因有兩個：一個是幅度失真，另一個是相位失真。1t0

幅度失真：頻率分量的幅度衰減或放大不一致造成的，各頻率分量信號的幅度的相對比例發(fā)生了變化引起失真；相位失真：不同頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成線性關(guān)系，使得各頻率分量信號在時間軸上的相對位置發(fā)生了變化。兩種失真往往同時存在，人的聽力對幅度大小變化特別敏感而對相位變化反映較弱，通信技術(shù)中對聲音信號的傳輸應(yīng)盡量較少幅度失真；人的視力相反，傳輸圖像信號時應(yīng)減