甘肅省蘭州九中高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年甘肅省蘭州九中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分,共60分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)．)1．已知函數(shù)f（x)=｜x|，在x=0處函數(shù)極值的情況是（）A．沒有極值 B．有極大值C．有極小值 D．極值情況不能確定2．復(fù)數(shù)=（)A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．設(shè)函數(shù)f（x)在x0可導(dǎo)，則=（）A．f′（x0） B．﹣2f′（x0） C．4f′（x0） D．不能確定4．若大前提是：任何實(shí)數(shù)的平方都大于0，小前提是：a∈R，結(jié)論是：a2＞0，那么這個(gè)演繹推理出錯(cuò)在（)A．大前提 B．小前提 C．推理過程 D．沒有出錯(cuò)5．觀察下列（如圖）數(shù)表規(guī)律，則數(shù)2007的箭頭方向是（）A． B． C． D．6．函數(shù)f（x)=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1處有極值10，則a，b的值為（）A．或 B．C． D．以上都不對(duì)7．給出下列命題①dx=dt=b﹣a（a,b為常數(shù)且a＜b)；②x2dx=x2dx;③曲線y=sinx,x∈[0，2π］與直線y=0圍成的兩個(gè)封閉區(qū)域面積之和為2，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．38．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的過程中，從n=k到n=k+1時(shí)左邊需增加的代數(shù)式是（）A． B．﹣ C．+ D．9．已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則”，若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等，則=(）A．1 B．2 C．3 D．410．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)f（x)=()x，a，b∈R+,A=f（），B=f（），C=f（），則A、B、C的大小關(guān)系為（）A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A12．使函數(shù)y=xsinx+cosx是增函數(shù)的區(qū)間可能是(）A．（，） B．（π,2π） C．(，) D．(2π，3π）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1﹣i（I是虛數(shù)單位）,則其共軛復(fù)數(shù)=．14．通過類比長(zhǎng)方形，由命題“周長(zhǎng)為定值l的長(zhǎng)方形中，正方形的面積最大，最大值為"，可猜想關(guān)于長(zhǎng)方體的相應(yīng)命題為15．已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（2,0）,如圖所示．則下列說法中不正確的編號(hào)是．（寫出所有不正確說法的編號(hào))(1）當(dāng)x=時(shí)函數(shù)取得極小值;（2）f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)；（3）c=6；（4）當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值．16．如圖所示的數(shù)陣中，第20行第2個(gè)數(shù)字是．三、解答題(本大題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22每題12分,共70分．)17．（1)求曲線y=在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；（2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為S=+2t2，求t=3時(shí)的速度．18．求由曲線y=x2+2與y=3x，x=0，x=2所圍成的平面圖形的面積．19．已知a、b、c＞0，且a+b+c=1，求證：（1）a2+b2+c2≥（2）．20．如圖，已知平面α∩平面β=直線a，直線b?α,直線c?β,b∩a=A，c∥a．求證:b與c是異面直線．21．設(shè)函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)取得極值．（Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ）若對(duì)任意的x∈［0,3]，都有f（x）＜c2成立,求c的取值范圍．22．是否存在常數(shù)a，b，使等式對(duì)于一切n∈N*都成立？若不存在，說明理由；若存在，請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明？

2016-2017學(xué)年甘肅省蘭州九中高二（下)期中數(shù)學(xué)試卷（理科)參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)．）1．已知函數(shù)f（x）=|x｜，在x=0處函數(shù)極值的情況是（)A．沒有極值 B．有極大值C．有極小值 D．極值情況不能確定【考點(diǎn)】6C：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】由在x=0處左側(cè)的導(dǎo)數(shù)小于零,在x=0處右側(cè)的導(dǎo)數(shù)大于零,根據(jù)極值的定義可知在x=0處函數(shù)取極小值．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí),f′（x）＞0，f(x）為減函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0,f（x）為增函數(shù)，根據(jù)極值的定義可知函數(shù)f（x）=｜x｜,在x=0處函數(shù)取極小值，故選C2．復(fù)數(shù)=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【考點(diǎn)】A5:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)求值．【解答】解：=．故選B．3．設(shè)函數(shù)f（x）在x0可導(dǎo),則=（)A．f′（x0） B．﹣2f′（x0） C．4f′（x0) D．不能確定【考點(diǎn)】6F:極限及其運(yùn)算．【分析】由題設(shè)條件可知=，然后利用導(dǎo)數(shù)的定義求解．【解答】解：∵函數(shù)f（x）在x0可導(dǎo),∴====f′（x0)+3f′（x0）=4f′（x0）．故選C．4．若大前提是:任何實(shí)數(shù)的平方都大于0,小前提是:a∈R,結(jié)論是：a2＞0，那么這個(gè)演繹推理出錯(cuò)在（)A．大前提 B．小前提 C．推理過程 D．沒有出錯(cuò)【考點(diǎn)】F6:演繹推理的基本方法．【分析】要分析一個(gè)演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論及推理形式是否都正確,根據(jù)這幾個(gè)方面都正確，才能得到這個(gè)演繹推理正確．【解答】解：∵任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a2＞0，其中大前提是：任何實(shí)數(shù)的平方大于0是不正確的,故選A．5．觀察下列（如圖）數(shù)表規(guī)律，則數(shù)2007的箭頭方向是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】由題意，圖中數(shù)字所處的位置呈周期性變化，可以觀察出位置變化以4為周期，可選定1為開始位置，由周期性即可計(jì)算出2012所處的位置，即可選出正確選項(xiàng)【解答】解:選定1作為起始點(diǎn),由圖看出，位置變化規(guī)律是以4為周期,由于2007=4×501+3,可知第2007個(gè)數(shù)在3的位置,則發(fā)生在數(shù)2007附近的箭頭方向是和3的方向相同;故選D．6．函數(shù)f(x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1處有極值10，則a，b的值為(）A．或 B．C． D．以上都不對(duì)【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】利用函數(shù)值,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)列出方程求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x)=x3﹣ax2﹣bx+a2，f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1處有極值10，可得：，解得或,當(dāng)時(shí)，f′（x)=3x2﹣6x+3≥0恒成立，x=1不是極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，f′(x）=3x2+8x﹣11，△=196＞0，導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)解，x=1是極值點(diǎn)．滿足題意；故選：B．7．給出下列命題①dx=dt=b﹣a（a,b為常數(shù)且a＜b）；②x2dx=x2dx;③曲線y=sinx,x∈[0,2π］與直線y=0圍成的兩個(gè)封閉區(qū)域面積之和為2，其中正確命題的個(gè)數(shù)為(）A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】67：定積分；6G：定積分在求面積中的應(yīng)用．【分析】根據(jù)的定積分的計(jì)算，分別求出①②③的結(jié)果,問題得以解決．【解答】解：①dx=b﹣a≠dt=a﹣b,故①錯(cuò),而y=x2是偶函數(shù)其在[﹣1,0]上的積分結(jié)果等于其在［0,1］上的積分結(jié)果，故②正確,對(duì)于③有S=2=﹣2cos=4．故③錯(cuò)，故選:B8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的過程中，從n=k到n=k+1時(shí)左邊需增加的代數(shù)式是（)A． B．﹣ C．+ D．【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】求出當(dāng)n=k時(shí),左邊的代數(shù)式,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果．【解答】解：當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式為++…+，當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊的代數(shù)式為++…+++，故用n=k+1時(shí)左邊的代數(shù)式減去n=k時(shí)左邊的代數(shù)式的結(jié)果為：+﹣=﹣．故選B．9．已知結(jié)論：“在正三角形ABC中,若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則”，若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論：“在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等，則=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】F3：類比推理．【分析】類比平面幾何結(jié)論，推廣到空間，則有結(jié)論：“=3”．設(shè)正四面體ABCD邊長(zhǎng)為1,易求得AM=，又O到四面體各面的距離都相等，所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則有r=,可求得r即OM,從而可驗(yàn)證結(jié)果的正確性．【解答】解：推廣到空間，則有結(jié)論：“=3"．設(shè)正四面體ABCD邊長(zhǎng)為1，易求得AM=,又O到四面體各面的距離都相等,所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案為：310．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】62：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】（1）首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在P(x0,y0）處的切線斜率，進(jìn)而得到切線方程；(2）利用切線方程與坐標(biāo)軸直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)（3）利用面積公式求出面積．【解答】解：若y=x3+x，則y′｜x=1=2，即曲線在點(diǎn)處的切線方程是,它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是(,0),(0，﹣），圍成的三角形面積為，故選A．11．已知函數(shù)f（x)=（）x，a，b∈R+，A=f（），B=f(），C=f（）,則A、B、C的大小關(guān)系為（)A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A【考點(diǎn)】4B：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn);7F：基本不等式．【分析】先明確函數(shù)f（x）=（）x是一個(gè)減函數(shù)，再由基本不等式明確,，三個(gè)數(shù)的大小，然后利用函數(shù)的單調(diào)性定義來求解．【解答】解：∵≥≥,又∵f（x)=(）x在R上是單調(diào)減函數(shù)，∴f（）≤f（）≤f（)．故選A12．使函數(shù)y=xsinx+cosx是增函數(shù)的區(qū)間可能是（）A．（,） B．（π，2π） C．(，） D．(2π，3π）【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】對(duì)給定函數(shù)求導(dǎo)后，把選項(xiàng)依次代入，看哪個(gè)y′恒大于0，就是哪個(gè)選項(xiàng)．【解答】解：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，當(dāng)x∈(，)時(shí),恒有xcosx＞0．故選：C．二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分．）13．若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1﹣i（I是虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)=i．【考點(diǎn)】A2：復(fù)數(shù)的基本概念;A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是共軛復(fù)數(shù)的定義，由復(fù)數(shù)z滿足z（1+i)=1﹣i，我們可能使用待定系數(shù)法，設(shè)出z，構(gòu)造方程，求出z值后，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，計(jì)算【解答】解：設(shè)z=a+bi，則∵(a+bi）（1+i)=1﹣i,即a﹣b+(a+b）i=1﹣i，由,解得a=0，b=﹣1,所以z=﹣i，=i,故答案為i．14．通過類比長(zhǎng)方形,由命題“周長(zhǎng)為定值l的長(zhǎng)方形中，正方形的面積最大，最大值為”，可猜想關(guān)于長(zhǎng)方體的相應(yīng)命題為表面積為定值S的長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大,最大值為【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性;（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想）．在由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí),常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì),由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．由長(zhǎng)方形中“周長(zhǎng)為定值l的長(zhǎng)方形中,正方形的面積最大,最大值為”,（線面關(guān)系）,我們可以推斷長(zhǎng)方體中相關(guān)的(面體關(guān)系）【解答】解：平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時(shí)，常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．由長(zhǎng)方形中“周長(zhǎng)為定值l的長(zhǎng)方形中,正方形的面積最大，最大值為”，我們可以推斷長(zhǎng)方體中“表面積為定值S的長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大，最大值為”故答案為:表面積為定值S的長(zhǎng)方體中,正方體的體積最大,最大值為15．已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，0），（2，0）,如圖所示．則下列說法中不正確的編號(hào)是（1）．（寫出所有不正確說法的編號(hào)）（1）當(dāng)x=時(shí)函數(shù)取得極小值；（2）f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)；（3）c=6；（4）當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值．【考點(diǎn)】6D:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判出極值點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，0）和（2，0）兩點(diǎn)，得到c的值,然后注意核對(duì)4個(gè)命題，則答案可求．【解答】解：由f（x）=x3+bx2+cx，所以f′（x)=3x2+2bx+c．由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x∈（﹣∞，1），(2，+∞)時(shí)f′（x)＞0,當(dāng)x∈(1，2）時(shí)f′（x）＜0．所以函數(shù)f(x）的增區(qū)間為（﹣∞,1），(2，+∞）減區(qū)間為(1，2)．則函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極大值，在x=2時(shí)取得極小值．由此可知(1）不正確，（2）,（4)正確，把(1，0），（2，0）代入導(dǎo)函數(shù)解析式得,解得c=6．所以（3)正確．故答案為(1）．16．如圖所示的數(shù)陣中，第20行第2個(gè)數(shù)字是．【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】觀察這個(gè)數(shù)列每一行第二個(gè)數(shù)的倒數(shù),觀察發(fā)現(xiàn)連續(xù)兩項(xiàng)的差成等差數(shù)列，然后利用疊加法求出第20行第2個(gè)數(shù)的倒數(shù)，從而求出所求．【解答】解：不妨令a2=2，a3=4，a4=7,則由題意可得a3﹣a2=2,a4﹣a3=3，…a20﹣a19=19，將以上各式相加得a20﹣a2=2+3+4+…+19，∴a20=191∴第20行的第2個(gè)數(shù)是，故答案為：．三、解答題(本大題共6小題,其中17題10分，18、19、20、21、22每題12分，共70分．)17．（1）求曲線y=在點(diǎn)(1，1）處的切線方程;（2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為S=+2t2，求t=3時(shí)的速度．【考點(diǎn)】6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;63:導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率,從而問題解決；（2）先求運(yùn)動(dòng)曲線方程為S=+2t2，的導(dǎo)數(shù)，再求得t=3秒時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即可得到所求的瞬時(shí)速度．【解答】解：（1）∵y=，∴y′=，∴x=1時(shí)，y′=0，∴曲線y=在點(diǎn)（1,1)處的切線方程為y=1；（2)∵運(yùn)動(dòng)曲線方程為S=+2t2，∴S′=﹣++4t∴該質(zhì)點(diǎn)在t=3秒的瞬時(shí)速度為﹣++12=11米/秒．18．求由曲線y=x2+2與y=3x，x=0，x=2所圍成的平面圖形的面積．【考點(diǎn)】67：定積分．【分析】因?yàn)樗髤^(qū)域均為曲邊梯形，所以使用定積分方可求解．【解答】解：由題意知陰影部分的面積是S=（x2+2﹣3x）dx+（3x﹣x2﹣2）dx=()|+（）|=+2﹣+6﹣﹣4﹣（﹣﹣2)=1．19．已知a、b、c＞0，且a+b+c=1,求證：（1）a2+b2+c2≥（2）．【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】（1）利用1=（a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3（a2+b2+c2），即可得出．（2）由（1）可得即可證明．【解答】證明:（1）∵a、b、c＞0,且a+b+c=1，∴1=(a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3(a2+b2+c2)，∴a2+b2+c2≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào)．(2）由（1）可得=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào)．∴．20．如圖，已知平面α∩平面β=直線a,直線b?α，直線c?β，b∩a=A，c∥a．求證：b與c是異面直線．【考點(diǎn)】LN：異面直線的判定．【分析】假設(shè)b與c共面，設(shè)b與c確定的平面為γ,推導(dǎo)出a∥γ，從而a∥b,與a∩b=A矛盾，由此能證明b與c是異面直線．【解答】證明：（利用反證法)假設(shè)b，c不是異面直線，即b與c共面，設(shè)b與c確定的平面為γ，則γ∩α=b，γ∩β=c．∵a∥c，a?γ，∴a∥γ．又∵a?α，且α∩γ=b，∴a∥b,這與a∩b=A矛盾．因此b與c不可能共面,故b與c是異面直線．21．設(shè)函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)取得極值．（Ⅰ)求a、b的值;（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[0，3]，都有f(x）＜c2成立,求c的取值范圍．【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6E：利用