第十章 卡方檢驗(yàn)

第十章卡方檢驗(yàn)李金德思考：例1：隨機(jī)抽取60名學(xué)生，詢問他們?cè)诟咧惺欠裥枰睦矸挚?，贊成分科?9人，反對(duì)分科的21人，問他們對(duì)分科的意見是否有顯著差異？39大于21，所以學(xué)校決定不要分科。這樣做可以嗎？例2：例某企業(yè)生產(chǎn)三種類型的手機(jī):A類型、B類型、C類型。在一次市場(chǎng)調(diào)查中，公司市場(chǎng)研究小組提出了男女使用者對(duì)于三種手機(jī)類型偏好是否有差異的問題。有的人因此用t檢驗(yàn)檢驗(yàn)兩者的差異，這樣做行嗎？ABC男204020女303010第一節(jié)檢驗(yàn)的原理一、檢驗(yàn)的假設(shè)（一）分類相互排斥，互不包容檢驗(yàn)中的分類必須相互排斥，這樣每一個(gè)觀測(cè)值就會(huì)被劃分到一個(gè)類別或另一個(gè)類別之中。此外，分類必須互不包容，這樣，就不會(huì)出現(xiàn)某一觀測(cè)值同時(shí)劃分到更多的類別當(dāng)中去的情況。（二）觀測(cè)值相互獨(dú)立各個(gè)被試的觀測(cè)值之間彼此獨(dú)立，這是最基本的一個(gè)假定，如一個(gè)被試對(duì)某一品牌的選擇對(duì)另一個(gè)被試的選擇沒有影響。當(dāng)同一被試被劃分到一個(gè)以上的類別中時(shí)，常常會(huì)違反這個(gè)假定。

注意：當(dāng)討論列聯(lián)表時(shí)，獨(dú)立性假定是指變量之間的相互獨(dú)立。這種情況下，這種變量的獨(dú)立性正在被檢測(cè)。而觀測(cè)值的獨(dú)立性則是預(yù)先的一個(gè)假定。（三）期望次數(shù)的大小有規(guī)定為了努力使分布成為值合理準(zhǔn)確的近似估計(jì)，每一個(gè)單元格中的期望次數(shù)應(yīng)該至少在5以上。一些更加謹(jǐn)慎的統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了更嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)自由度等于1時(shí)，在進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，每一個(gè)單元格的期望次數(shù)至少不應(yīng)低于10，這樣才能保證檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性。另外，在許多分類研究中會(huì)存在這樣一種情況，如自由度很大，有幾個(gè)類別的理論次數(shù)雖然很小，但在給以接受的標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)，只有一個(gè)類別的理論次數(shù)低于1。此時(shí)，一個(gè)簡(jiǎn)單的處理原則是設(shè)法使每一個(gè)類別的理論次數(shù)都不要低于1，分類中不超過20%的類別的理論次數(shù)可以小于5。在理論次數(shù)較小的特殊的四格表中，應(yīng)運(yùn)用一個(gè)精確的多項(xiàng)檢驗(yàn)來避免使用近似的檢驗(yàn)。

二、檢驗(yàn)的類別（一）配合度檢驗(yàn)

配合度檢驗(yàn)主要用來檢驗(yàn)一個(gè)因素多項(xiàng)分類的實(shí)際觀察數(shù)與某理論次數(shù)是否接近。這種檢驗(yàn)方法有時(shí)也稱為無差假說檢驗(yàn)。當(dāng)對(duì)連續(xù)數(shù)據(jù)的正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，這種檢驗(yàn)又可稱為正態(tài)吻合性檢驗(yàn)。

（二）獨(dú)立性檢驗(yàn)

獨(dú)立性檢驗(yàn)是用來檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上因素各種分類之間是否有關(guān)聯(lián)或是否具有獨(dú)立性的問題。這種類型的檢驗(yàn)適用于探討兩個(gè)變量之間是否具有關(guān)聯(lián)（非獨(dú)立）或無關(guān)（獨(dú)立），如果再加入另一個(gè)變量的影響，即探討三個(gè)變量之間關(guān)系時(shí)，就必須使用多維列聯(lián)表分析方法。（三）同質(zhì)性檢驗(yàn)

同質(zhì)性檢驗(yàn)的主要目的在于檢定不同人群母總體在某一個(gè)變量的反應(yīng)是否具有顯著差異。當(dāng)用同質(zhì)性檢驗(yàn)檢測(cè)雙樣本在單一變量的分布情形，如果兩樣本沒有差異，就可以說兩個(gè)母總體是同質(zhì)的，反之，則說這兩個(gè)母總體是異質(zhì)的。

三、檢驗(yàn)的基本公式

檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)原理，是比較觀察值與理論值的差別：1.如果兩者的差異越小，檢驗(yàn)的結(jié)果越不容易達(dá)到顯著性水平；2.兩者的差異越大，檢驗(yàn)的結(jié)果越可能達(dá)到顯著性水平，就可以下結(jié)論拒絕虛無假設(shè)而接受備擇假設(shè)?；竟饺缦拢?/p>

其中表示實(shí)際觀察次數(shù)，表示某理論次數(shù)。要求：≥5四、小期望次數(shù)的連續(xù)性校正運(yùn)用檢驗(yàn)時(shí)，有一個(gè)特殊的要求，單元格的理論次數(shù)不得小于5，小于5時(shí)可能違反統(tǒng)計(jì)基本假設(shè)，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)高估的情形出現(xiàn)。通常需要有80%以上的單元格理論值要大于5，否則檢驗(yàn)的結(jié)果偏差非常明顯。當(dāng)單元格的人數(shù)過少時(shí)，處理的方法有四種：?jiǎn)卧窈喜⒎ㄔ黾訕颖緮?shù)去除樣本法使用校正公式第二節(jié)配合度檢驗(yàn)配合度檢驗(yàn)（goodnessoffittest）主要用于檢驗(yàn)單一變量的實(shí)際觀察次數(shù)分布與某理論次數(shù)是否有差別。由于它檢驗(yàn)的內(nèi)容僅涉及一個(gè)因素多項(xiàng)分類的計(jì)數(shù)資料，故可以說是一種單因素檢驗(yàn)（One-waytest)。一、配合度檢驗(yàn)的一般問題（一）統(tǒng)計(jì)假設(shè)

統(tǒng)計(jì)假設(shè)如下：基本公式：

（二）自由度的確定

自由度確定的一般原則是：以相互獨(dú)立的類別數(shù)k（或C）減去所受的限制數(shù)，即在各種適合性檢驗(yàn)中，如果理論次數(shù)只受到總和的限制，即受的限制，則自由度為在正態(tài)分布的適合性檢驗(yàn)，受到三個(gè)條件的限制，其自由度為

（三）理論次數(shù)的計(jì)算規(guī)則

數(shù)據(jù)分布以其理論概率為依據(jù)，這時(shí)的理論次數(shù)等于總次數(shù)乘以某種屬性出現(xiàn)的概率，即

理論次數(shù)的計(jì)算，一般是根據(jù)某種理論，按一定的概率通過樣本即實(shí)際觀察次數(shù)計(jì)算。某種理論有經(jīng)驗(yàn)概率，也有理論概率，如二項(xiàng)分布、正態(tài)分布等。

二、配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用（一）檢驗(yàn)無差假說

無差假說，是指各項(xiàng)分類的實(shí)計(jì)數(shù)之間沒有差異，也就是假設(shè)各項(xiàng)分類之間的機(jī)會(huì)相等，或概率相等，因此理論次數(shù)完全按概率相等的條件計(jì)算。即：

理論次數(shù)=總數(shù)×例10-1：隨機(jī)抽取60名學(xué)生，詢問他們?cè)诟咧惺欠裥枰睦矸挚?，贊成分科?9人，反對(duì)分科的21人，問他們對(duì)分科的意見是否有顯著差異？(p298)

解：此題只有兩項(xiàng)分類。假設(shè)兩項(xiàng)分類的實(shí)計(jì)數(shù)相等或無差別，其各項(xiàng)實(shí)計(jì)數(shù)的概率應(yīng)相同，即p=q=0.5。因此，檢驗(yàn)的問題“對(duì)分科的意見是否有顯著差異”實(shí)際上是指每種態(tài)度的實(shí)計(jì)數(shù)與理論次數(shù)差異是否顯著，因各項(xiàng)的理論次數(shù)項(xiàng)數(shù)相同，故可理解為對(duì)分科的態(tài)度是否一樣或是否有差異。故：1）建立假設(shè)3）統(tǒng)計(jì)決策例10-2：某項(xiàng)民意測(cè)驗(yàn)，答案有同意、不置可否、不同意三種。調(diào)查了48人，結(jié)果同意的24人，不置可否的12人，不同意的12人。問持這三種意見的人數(shù)是否有顯著不同？(p299)

解：此題為檢驗(yàn)無差假說，已知分類的項(xiàng)數(shù)為三，故各項(xiàng)分類假設(shè)實(shí)計(jì)數(shù)相等。所以

1）建立假設(shè)

2）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

3）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策

查表,當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以。達(dá)到顯著性水平，拒絕原假設(shè)。說明三種態(tài)度有顯著差異。

（二）檢驗(yàn)假設(shè)分布的概率

假設(shè)某因素各項(xiàng)分類的次數(shù)分布為正態(tài)，檢驗(yàn)實(shí)計(jì)數(shù)與理論上期望的結(jié)果之間是否有差異。因?yàn)橐鸭俣ㄋ^察的資料是按正態(tài)分布的，故其理論次數(shù)的計(jì)算應(yīng)按正態(tài)分布概率，分別計(jì)算各項(xiàng)分類的理論次數(shù)。具體方法是先按正態(tài)分布理論計(jì)算各項(xiàng)分類應(yīng)有的概率再乘以總數(shù)，便得到各項(xiàng)分類的理論次數(shù)。

如果不是事先假定所觀察的資料為正態(tài)分布而是其他分布，如二項(xiàng)分布、泊松分布等，其概率應(yīng)按各所假定的分布計(jì)算。事先假定的分布不是理論分布而是經(jīng)驗(yàn)分布，亦可按此經(jīng)驗(yàn)分布計(jì)算概率，在乘以總數(shù)便可得到理論次數(shù)，從而進(jìn)一步檢驗(yàn)假設(shè)分布與實(shí)計(jì)數(shù)的分布之間，亦即實(shí)計(jì)數(shù)與理論次數(shù)之間差異是否顯著。例10-3：某班有學(xué)生50人，體檢結(jié)果按一定標(biāo)準(zhǔn)劃分為甲乙丙三類，其中甲類16人，乙類24人，丙類10人，問該班學(xué)生的身體狀況是否符合正態(tài)分布？(299)解：該題中的理論次數(shù)應(yīng)按假設(shè)的正態(tài)分布概率計(jì)算。按正態(tài)分布，就可以認(rèn)為包括了全體，各等級(jí)所占的橫坐標(biāo)應(yīng)該相同（），故各類人數(shù)應(yīng)占的比率為：

答：可以說該班學(xué)生的身體狀態(tài)不符合正態(tài)分布，或者說該班學(xué)生身體狀況甲乙丙三類的人數(shù)分布與正態(tài)分布有顯著差異。2）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量例10-4：根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某校長(zhǎng)認(rèn)為高中生升學(xué)的男女比例為2：1，今年的升學(xué)情況是男生85人，女生35人，問今年升學(xué)的男女比例是否符合該校長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)？(p300)解：此題是假設(shè)男女生升學(xué)的人數(shù)分布與校長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)分布相同，故理論次數(shù)應(yīng)按經(jīng)驗(yàn)分布的概率計(jì)算。理論次數(shù)為：1）建立假設(shè)H0：男女升學(xué)比例符合校長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)H1：男女升學(xué)比例不符合校長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)

三、連續(xù)變量分布的吻合性檢驗(yàn)(自學(xué))復(fù)習(xí)1、什么是檢驗(yàn)2、檢驗(yàn)的步驟3、檢驗(yàn)的類別（第二節(jié)）

目的：實(shí)際觀察頻數(shù)分布與理論頻數(shù)分布是否相一致，或者說有無顯著差異問題。包括：一個(gè)因素的多個(gè)分類多個(gè)因素的多個(gè)分類檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：應(yīng)用：計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)返回

步驟（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)

H0:fe-f0=0H1

:fe-f0≠0（2）求檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值（4）確定臨界值，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)決策返回(3)確定自由度，顯著性水平=0.05

如果＞0.05(df)，則拒絕H0配合度檢驗(yàn)：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，重點(diǎn)考察一個(gè)觀測(cè)次數(shù)分布（實(shí)際頻數(shù)）與理論預(yù)測(cè)次數(shù)分布（理論頻數(shù)）之間的差異。適用于研究某總體的分布是否與某種分布相符合。如：課堂練習(xí)例某企業(yè)生產(chǎn)三種類型的手機(jī):A類型、B類型、C類型。在一次市場(chǎng)調(diào)查中，公司市場(chǎng)研究小組提出了男女使用者對(duì)于三種手機(jī)類型偏好是否有差異的問題。ABC男204020女303010問題：

手機(jī)偏好與使用者性別是否有關(guān)聯(lián)？?jī)蓚€(gè)因素是否關(guān)聯(lián)第三節(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)

教學(xué)內(nèi)容一、獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般問題與步驟1、幾個(gè)重要概念2、獨(dú)立性檢驗(yàn)的內(nèi)涵3、獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟四、獨(dú)立性檢驗(yàn)的兩種類別四格表獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)五、列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)一、幾個(gè)重要概念1、列聯(lián)表定義：呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間關(guān)系的表格記錄兩個(gè)變量不同水平的各種組合的被試頻數(shù)2、觀測(cè)頻數(shù)實(shí)際觀測(cè)到的頻次3、期望頻數(shù)假設(shè)兩個(gè)變量之間沒有任何聯(lián)系的情況下，我們所預(yù)期的各種變量組合應(yīng)有的頻次4、邊緣值列聯(lián)表中每一行和每一列的觀測(cè)頻數(shù)的總和返回橫標(biāo)目縱標(biāo)目表示變量X的r種水平表示變量Y的c種水平32列聯(lián)表單元有20名被試在性別變量上是“男性”，在偏愛的手機(jī)上是“A類型”返回ABC男204020女303010計(jì)算期望次數(shù)如果性別與偏好無關(guān),說明表中150個(gè)被試,8/15是男性,7/15是女性,則喜愛A類型的50人中,有8/15是男性,7/15是女性邊緣值邊緣值fe1=(5080)/150=26.67fe2=(7080)/150=37.3fe3=(3080)/150=16fe4=(5070)/150=23.33fe5=(7070)/150=32.7fe6=(3070)/150=14返回二、獨(dú)立性檢驗(yàn)的內(nèi)涵獨(dú)立性檢驗(yàn)表示——對(duì)于x的每個(gè)值,y值的次數(shù)分布是否有差異。如果對(duì)于x的每個(gè)值，y值的次數(shù)分布一樣，則表示：x變量和y變量毫無關(guān)系。如果對(duì)于x的每個(gè)值，y值的次數(shù)分布有差異，則表示：x變量和y變量有關(guān)聯(lián)，或說兩變量存在相關(guān)。所以，獨(dú)立性檢驗(yàn)也是對(duì)兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的一種檢驗(yàn)。如果性別與手機(jī)類型偏好之間無聯(lián)系，則表示不論男女，對(duì)這些手機(jī)都具有一致的偏好。那么，每個(gè)觀測(cè)頻次就應(yīng)該與相應(yīng)的期望頻次相同，這時(shí)卡方值為0。如果性別與手機(jī)類型偏好之間聯(lián)系越緊密，則表示較多的男性喜歡某種類型，而較多的女性喜歡其他類別的手機(jī)。則觀測(cè)頻次與相應(yīng)的期望頻次的差異越大。兩個(gè)變量之間聯(lián)系越緊密，觀測(cè)頻次與相應(yīng)期望頻次的差異就越大，這時(shí)卡方值就越大。返回例某企業(yè)生產(chǎn)三種類型的手機(jī):A類型、B類型、C類型。在一次市場(chǎng)調(diào)查中，公司市場(chǎng)研究小組提出了男女使用者對(duì)于三種手機(jī)類型偏好是否有差異的問題。ABC