2017年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目 CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定與成像

...wd......wd......wd...2018西交數(shù)模第一次模擬賽數(shù)學(xué)建模論文首頁選題A隊(duì)伍編號696班級學(xué)號姓名隊(duì)長錢學(xué)森73班2173714071孔令輝隊(duì)員1錢學(xué)森73班2171311098楊崢隊(duì)員2電氣642160400092李佳航2018年6月30日摘要此題針對一種二維CT獲取樣品內(nèi)部構(gòu)造信息的工作方式及成像原理，意在通過借助構(gòu)造樣品進(jìn)展參數(shù)標(biāo)定，消除系統(tǒng)誤差，而后對未知構(gòu)造的樣品進(jìn)展成像，得出該未知介質(zhì)的相關(guān)信息。問題一中，要求通過標(biāo)定模板的相關(guān)，確定CT系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)中心、探測器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的180個(gè)方向。本文利用標(biāo)定模板幾何參數(shù)，通過條數(shù)、以及探測器單元間距相等等信息，首先計(jì)算出探測器單元之間的距離為0.2778mm。根據(jù)X射線與標(biāo)定模板的幾何特性，以橢圓短軸所在直線為x軸，長軸所在直線為y軸建設(shè)直角坐標(biāo)系，得旋轉(zhuǎn)中心在所建設(shè)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。最后通過近似確定X射線180個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)角度具有高度線性相關(guān)性，根據(jù)局部確定數(shù)據(jù)擬合出整體旋轉(zhuǎn)角度。前十五組旋轉(zhuǎn)角度為：29.649331.002731.557232.647633.679534.647835.648336.649037.647538.648639.648840.649141.648742.649743.6492問題二中，要求通過已求得的標(biāo)定參數(shù)，確定未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置、幾何形狀和吸收率等信息，并具體給出所要求十個(gè)位置的吸收率。本文依據(jù)CT層析成像原理，利用逆拉東變換作出重構(gòu)圖像，并利用Excel中數(shù)據(jù)分布計(jì)算出原位置介質(zhì)的相關(guān)性質(zhì)。所求十個(gè)位置的吸收率為：序號12345吸收率0.01850.9701-0.00011.17031.0287序號678910吸收率1.44251.2815-0.0074-0.00250.0194問題三中，與問題二計(jì)算方法相似得十個(gè)位置的吸收率為：序號12345吸收率0.07362.53057.13270.03320.8015序號678910吸收率3.14875.57140.05308.13620.0272問題四中，要求對問題一中的標(biāo)定模型進(jìn)展改良以減小誤差并增加穩(wěn)定性，本文利用在問題一求解過程中遇到的問題進(jìn)展思考，首先適當(dāng)增大模板減小偶然誤差，其次做出投射圖像后應(yīng)容易找到極值，并且圖像應(yīng)有一定的對稱性；圖像掃描后應(yīng)盡量少地得出重復(fù)數(shù)據(jù)。關(guān)鍵詞：CT層析成像Radon變換與逆變換吸收率MATLAB算法1.問題重述1.1問題背景CT(ComputedTomography)可以在不破壞樣品的情況下，利用樣品對射線能量的吸收特性對生物組織和工程材料的樣品進(jìn)展斷層成像，由此獲取樣品內(nèi)部的構(gòu)造信息。1.2相關(guān)信息此題介紹了一種二維CT系統(tǒng)，平行入射的X射線垂直于探測器平面，每個(gè)探測器單元看成一個(gè)接收點(diǎn)，且等距排列。X射線的發(fā)射器和探測器相對位置固定不變，整個(gè)發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180次。對每一個(gè)X射線方向，在具有512個(gè)等距單元的探測器上測量經(jīng)位置固定不動的二維待檢測介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過增益等處理后得到180組接收信息。并且，為消除安裝誤差，需要對安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)展參數(shù)標(biāo)定，即借助于構(gòu)造的樣品〔稱為模板〕標(biāo)定CT系統(tǒng)的參數(shù)，并據(jù)此對未知構(gòu)造的樣品進(jìn)展成像。題目附件中提供了標(biāo)定模板的幾何信息，承受信息，待測介質(zhì)的接收信息以及圖3所給位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)。1.3需要解決的問題1.3.1問題一在正方形托盤上放置兩個(gè)均勻固體介質(zhì)組成的標(biāo)定模板，模板的幾何信息如圖2所示，請根據(jù)這一模板及其接收信息，確定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置、探測器單元之間的距離以及該CT系統(tǒng)使用的X射線的180個(gè)方向。1.3.2問題二附件3是利用上述CT系統(tǒng)得到的某未知介質(zhì)的接收信息。利用第一問中得到的標(biāo)定參數(shù)，確定該未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置、幾何形狀和吸收率等信息。另外，請具體給出圖3所給的10個(gè)位置處的吸收率。1.3.3問題三利用給出上述CT系統(tǒng)得到的另一個(gè)未知介質(zhì)的接收信息。利用第一問中得到的標(biāo)定參數(shù)，給出該未知介質(zhì)的相關(guān)信息。另外，請具體給出圖3所給的10個(gè)位置處的吸收率。1.3.4問題四分析第一問中參數(shù)標(biāo)定的精度和穩(wěn)定性。在此根基上自行設(shè)計(jì)新模板、建設(shè)對應(yīng)的標(biāo)定模型，以改良標(biāo)定精度和穩(wěn)定性，并說明理由。圖1.CT系統(tǒng)示意圖圖2.模板示意圖〔單位：mm〕圖3.10個(gè)位置示意圖2.問題分析2.1問題一分析結(jié)合圖2和附件1表中數(shù)據(jù)，可以首先計(jì)算出CT系統(tǒng)探測器個(gè)數(shù)和模板長度度量的比值，運(yùn)用程序1.1可以得出模板的幾何形狀如圖2.1.1，可大致認(rèn)為它是對稱的。對于附件2，由于對180個(gè)方向尚無清晰地認(rèn)識，首先用同樣的方式做出數(shù)據(jù)分布圖2.1.2，觀察到圖像比擬平滑，因此認(rèn)為按表格的順序180個(gè)方向是相鄰較密、不錯(cuò)位的?！矆D中有色區(qū)域表示該點(diǎn)有吸收率，藍(lán)色局部表示吸收率大于100〕圖2.SEQ圖\*ARABIC1.1附件1的數(shù)據(jù)分布圖圖2.1.2附件2的數(shù)據(jù)分布圖在圖2.1.2中易觀查到有一紅色條形圖案，這是在不同的方向掃描到圓形時(shí)留下的，可以此為突破口首先求出探測器單元之間的距離。求出探測器單元之間的距離與增益比率之后，可以根據(jù)幾何關(guān)系，自己設(shè)立坐標(biāo)系并通過數(shù)學(xué)運(yùn)算計(jì)算出旋轉(zhuǎn)中心。最后在建設(shè)的坐標(biāo)系內(nèi)，將待求解的180個(gè)旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)換成X射線的斜率進(jìn)展數(shù)學(xué)運(yùn)算。2.2問題二分析題目給出了未知介質(zhì)的接收信息，要求出介質(zhì)的相關(guān)信息，可以搜索相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將附件中給出的按照射線條數(shù)與旋轉(zhuǎn)角度列成的表格，一一對應(yīng)為相應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)的吸收情況，從而根據(jù)各坐標(biāo)點(diǎn)的不同性質(zhì)，復(fù)原回該未知介質(zhì)的幾何信息與吸收率等信息。2.3問題三分析問題三與問題二類似，可以大致看出數(shù)據(jù)分布更具有一般性，不容易描述出未知介質(zhì)的相關(guān)信息，可以通過圖形大致描繪出介質(zhì)相關(guān)信息。2.4問題四分析問題四要求分析題目所給的二維CT系統(tǒng)，設(shè)計(jì)新的標(biāo)定模板以提高原系統(tǒng)的準(zhǔn)確度與穩(wěn)定性?？梢运阉飨嚓P(guān)資料，根據(jù)第一問的求解思路與求解過程，以躲避求解過程中因標(biāo)定模板自身性質(zhì)而出現(xiàn)的誤差為原則進(jìn)展思路拓展，以設(shè)計(jì)高精度與穩(wěn)定性的標(biāo)定模板。3.模型假設(shè)假設(shè)在射線經(jīng)過介質(zhì)時(shí)能量只損失在介質(zhì)中，及不考慮衍射等現(xiàn)象；假設(shè)附件中所給出數(shù)據(jù)是正確的、可以直接利用的；假設(shè)旋轉(zhuǎn)中心在相鄰兩條射線的中間直線上；4.模型的建設(shè)與求解4.1問題一模型的建設(shè)與求解4.1.1建設(shè)模型從題目中可以得出，由于x射線之間得間距相等，不管x射線怎么旋轉(zhuǎn)，穿過托盤上圓的x射線條數(shù)應(yīng)該是大致相等的。可將穿過圓形標(biāo)定模板的X射線與模板建設(shè)模型示意圖如下：圖4.1.1.1X射線穿過圓形標(biāo)定模板示意圖如圖4.1.1.1所示可以設(shè)穿過圓的在圓心兩旁的射線被圓所截的距離分別為x1,x求解旋轉(zhuǎn)中心時(shí)，以橢圓形標(biāo)定模板短軸所在直線為X軸，長軸所在直線為Y軸建設(shè)直角坐標(biāo)系，將托盤進(jìn)展劃分。由附件二的數(shù)據(jù)分布圖的不對稱性可知，旋轉(zhuǎn)中心應(yīng)在對稱軸某一側(cè)，大致確定旋轉(zhuǎn)中心方位后，根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心兩側(cè)探測器個(gè)數(shù)不變且同一探測器接收的與距旋轉(zhuǎn)中心的距離不變具體確定旋轉(zhuǎn)中心的位置。求解X射線旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，設(shè)穿過橢圓的最邊緣的射線到橢圓中心的距離為R，取橢圓中心為原點(diǎn)，模板的對稱中心為x軸建設(shè)平面直角坐標(biāo)系，X射線所在直線的斜率為k。d相鄰探測器之間的距離N對應(yīng)于圓形模板的射線條數(shù)或探測器個(gè)數(shù)μ標(biāo)定模板的吸收率λ處理數(shù)據(jù)時(shí)的增益率φ圓形模板的直徑4.1.2符號說明4.1.3模型求解求探測器單元間距離：通過MATLAB編程求出計(jì)算出的條形帶平均涉及探測器個(gè)數(shù)為，沿直徑方向上的平均吸收率；由圖二圓形模板直徑，計(jì)算出探測器之間的平均距離：探測系統(tǒng)平均增益率：求旋轉(zhuǎn)中心：分析圖2.1.2可知，由于藍(lán)色區(qū)域僅分布在后局部角度范圍內(nèi)，因此估計(jì)旋轉(zhuǎn)中心的位置在對稱軸的某一側(cè)，紅色區(qū)域分為兩局部時(shí)表示該角度下由兩局部射線分別照射經(jīng)過橢圓形和圓形；為了討論方便，現(xiàn)對正方形托盤做出如下劃分：圖4.1.3.1圓盤劃分簡單分析可知，如果旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在I區(qū)域，則沿180個(gè)方向照射后不會出現(xiàn)射線分成兩局部的情況；在II或III或IV區(qū)域，當(dāng)吸收率出現(xiàn)最大值的時(shí)候射線也被分成兩局部，而不是像圖1.2那樣成為一局部，也排除；綜合各因素可判斷旋轉(zhuǎn)中心應(yīng)該在V區(qū)域。因?yàn)榘l(fā)射-接收系統(tǒng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且圖2.1.2中兩局部紅色區(qū)域，間距縮小，說明旋轉(zhuǎn)之后在垂直于發(fā)射-接收方向上二者的距離是縮短的，從而確定旋轉(zhuǎn)中心在短軸的上半側(cè)，先運(yùn)用Excel對附件二第1列數(shù)據(jù)作圖〔即畫出第一個(gè)方向上的掃描圖像〕如圖4.1.3.2，發(fā)現(xiàn)此時(shí)得到兩局部圖像，說明兩模板之間有一局部射線直接被探測器接收，直到第14列數(shù)據(jù)兩局部圖像結(jié)合在了一起，如圖4.1.3.3。圖4.1.3.2第一列數(shù)據(jù)分布圖4.1.3.3第14列數(shù)據(jù)分布結(jié)合托盤的幾何特征，在垂直于對稱軸方向上應(yīng)該會出現(xiàn)最大的吸收率，利用MATLAB求得出現(xiàn)最大吸收率的方向?yàn)榈?51個(gè)方向，在此方向結(jié)合增益率得出的模板長度為進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)果；平行于對稱軸方向上最大的吸收率出現(xiàn)在沿對稱軸的直線上，計(jì)算得出為第61個(gè)方向，此方向的模板長度，也驗(yàn)證了結(jié)果。根據(jù)極近似水平方向?yàn)榈?1方向、最大吸收率出現(xiàn)在235號探測器，極近似豎直方向?yàn)?51方向、最大吸收率出現(xiàn)在223號探測器，設(shè)旋轉(zhuǎn)中心到豎直軸、水平軸的距離分別為x,y。為求解還需要另一個(gè)方向的等量關(guān)系，選取橢圓和圓的一條外公切線的方向，經(jīng)計(jì)算得出經(jīng)橢圓與圓公切線所在直線的X射線為第372號射線。則在所建設(shè)坐標(biāo)系內(nèi)，切線方程為：進(jìn)而列出二元方程組：解之得:因此旋轉(zhuǎn)中心在所建設(shè)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。求180個(gè)旋轉(zhuǎn)方向：由于x射線的發(fā)生裝置是連續(xù)旋轉(zhuǎn)的，所以在512條射線中穿過模板的射線條數(shù)應(yīng)該是連續(xù)變化的，所以用MATLAB編寫程序，計(jì)算每次旋穿過模板的x射線條數(shù)，并畫出圖像如圖4.1.3.4。圖4.1.3.4穿過模板射線條數(shù)隨旋轉(zhuǎn)次數(shù)變化曲線圖中橫坐標(biāo)為旋轉(zhuǎn)次數(shù)，縱坐標(biāo)為穿過模板的射線條數(shù)。從圖中可以看出附表2中的數(shù)據(jù)是按照射線發(fā)射裝置旋轉(zhuǎn)的順序依次給出的，而且可以看出，180次旋轉(zhuǎn)后裝置共旋轉(zhuǎn)了180度，每次旋轉(zhuǎn)的角度近乎相等?？紤]到在前50次旋轉(zhuǎn)中，穿過整個(gè)裝置的x射線條數(shù)與穿過橢圓的條數(shù)相等。設(shè)穿過橢圓的最邊緣的射線到橢圓中心的距離為R，取橢圓中心為原點(diǎn)，模板的對稱中心為x軸建設(shè)平面直角坐標(biāo)系，由于射線可以近似看成與橢圓和圓x2xx化簡以上方程組可得：k=利用MATLAB編程得到圖像如圖4.1.3.5所示圖4.1.3.5前50次旋轉(zhuǎn)角度變化曲線用同樣方式得出最后面25組數(shù)據(jù)的圖像為：圖4.1.3.6后25次旋轉(zhuǎn)角度變化曲線從圖像中可以看出每次旋轉(zhuǎn)角度近似為1度。為了更加準(zhǔn)確地計(jì)算旋轉(zhuǎn)角度以便據(jù)此得到估算其他角度地依據(jù)，本文設(shè)計(jì)了另外一種算法。從附表二中可以看出，前15組數(shù)據(jù)中穿過橢圓的射線與穿過圓的射線沒有穿插，所以數(shù)據(jù)中換算出來的最大吸收距離就是近似穿過橢圓中心的射線被橢圓所截的距離，弦長公式為：x且這個(gè)距離由直線的斜率k唯一確定，k、m時(shí)可解得：l所以用MATLAB編程計(jì)算得出了較為準(zhǔn)確的前15次旋轉(zhuǎn)角度的結(jié)果如下：29.649331.002731.557232.647633.679534.647835.648336.649037.647538.648639.648840.649141.648742.649743.6492可以看出，這些結(jié)果的線性相關(guān)性非常好，據(jù)此利用Excel進(jìn)展擬合，得到如以下列圖表：圖4.1.3.7旋轉(zhuǎn)角度與旋轉(zhuǎn)次數(shù)擬合公式從圖表中可以得出擬合公式為：y=0.9938+28.718,相關(guān)系數(shù)為：0.9996根據(jù)擬合公式利用MATLAB編寫程序計(jì)算得出所有方向角度。4.2問題二模型的建設(shè)與求解4.2.1建設(shè)模型通過分析問題與附件數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，題目所給數(shù)據(jù)與介質(zhì)相關(guān)性質(zhì)的二維分布具有對應(yīng)關(guān)系，X射線將介質(zhì)一條線上的性質(zhì)投影為一點(diǎn)。據(jù)此，本文利用radon變換與radon逆變換進(jìn)展運(yùn)算，以通過投影后的訊號重建原始未知介質(zhì)相關(guān)性質(zhì)的二維分布。該變換的定義為：令密度函數(shù)f(X)=f(x,y)是一個(gè)的定義域?yàn)榈木o致臺(compactsupport)。令R為radon變換的運(yùn)算子，則Rf(x,y)是一個(gè)定義在空間中的直線L。其根本思想為：radon變換可以理解為圖像在空間的投影,空間的每一點(diǎn)對應(yīng)一條直線，而radon變換是圖像像素點(diǎn)在每一條直線上的積分。因此，圖像中高灰度值的直線會在空間形成亮點(diǎn)，而低灰度值的線段在空間形成暗點(diǎn)。對直線的檢測轉(zhuǎn)化為在變換區(qū)域?qū)α咙c(diǎn)、暗點(diǎn)的檢測。Radon變換是一幅圖像在一個(gè)特定的角度下的徑向線方向的投影，一幅圖像的radon變換是每一個(gè)像素radon變換的集合。對于MATLAB中語句R=radon(I,theta)，如果theta是一個(gè)標(biāo)量，R則是一個(gè)包含在theta的列向量。如果theta是一個(gè)向量，R則是一個(gè)矩陣，矩陣的每一列是對應(yīng)其中一個(gè)theta的radon變換。而radon變換的逆運(yùn)算，就可以將CT系統(tǒng)對于每一直線上的X射線吸收率數(shù)據(jù)復(fù)原回未知介質(zhì)的物理性質(zhì)。radon反變換的公式是：該反變換操作比擬簡單，思路清晰，可以借助數(shù)學(xué)運(yùn)算軟件計(jì)算。4.2.2模型求解在MATLAB上將附件2和附件3的數(shù)據(jù)導(dǎo)入，利用radon逆變換將附件中數(shù)據(jù)重建未知介質(zhì)信息，得到圖像如圖4.2.2.1。圖4.2.2.1radon逆變換重建介質(zhì)圖像〔1〕為使逆拉東變換后得到的圖像與原圖像大小相等，在逆radon變換公式中取362條射線，每兩條射線相距0.2770，所以得到的圖形長寬也為100，由第一問求解得知，X射線從約29度位置開場旋轉(zhuǎn)，為消除重建模型與真實(shí)模型的旋轉(zhuǎn)角度差異，將從29度逆radon變換得到的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel表格可得變換后圖像坐標(biāo)水平方向平移了31×0.2770=8.587，豎直方向平移了從模板的逆radon變換產(chǎn)生的矩陣中可以發(fā)現(xiàn)，模板中所有點(diǎn)對應(yīng)的灰度都近似為0.5，又由于模板的吸收率為1，所以相比照例近似為2。據(jù)此利用MATLAB編程可以算出圖中對應(yīng)十個(gè)點(diǎn)的吸收率如下表所示：表4.2.2.1所求十點(diǎn)的吸收率〔1〕序號12345吸收率0.01850.9701-0.00011.17031.0287序號678910吸收率1.44251.2815-0.0074-0.00250.0194然后根據(jù)逆radon變換的結(jié)果，將得的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel表格，在不同范圍內(nèi)的數(shù)值填充成不同顏色對不同吸收率的局部進(jìn)展色塊填充，得到結(jié)果如圖4.2.2.2所示。再利用Excel表格中尋找各橢圓定點(diǎn)的坐標(biāo)，由于拉東變換中x射線之間的距離都是0.2770，所以表格中兩組數(shù)據(jù)在實(shí)際物體上的距離也是0.2770。由100÷0.2770≈362得知表格取362組數(shù)據(jù)時(shí)，總長度與原圖根本一樣，此時(shí)可以長度為根基，計(jì)算坐標(biāo)變換公式。根據(jù)前文坐標(biāo)變換的逆變換，用MATLAB編寫程序運(yùn)算各色塊〔由運(yùn)算可得各色塊均為橢圓形〕的坐標(biāo)及長短軸相應(yīng)數(shù)據(jù)。將問題二中數(shù)據(jù)進(jìn)展radon逆變換后的圖像最低點(diǎn)在Excel行數(shù)和列數(shù)，將行數(shù)和列數(shù)乘以倍率0.2770即距離圖像邊界的距離，由于第一個(gè)圖距離兩邊界的距離，可以得到平移的方向和距離，具體結(jié)果如表4.2.2.2所示。圖4.2.2.2不同區(qū)域吸收率關(guān)系圖〔1〕以每個(gè)橢圓中心的吸收率代表整個(gè)橢圓的吸收率則A，B，C，D，E，F(xiàn)的吸收率分別為：0、1.1870、1.2914、0、0.9877、1.0632。表4.2.2.2不同吸收率介質(zhì)在托盤中的位置、幾何形狀與吸收率橢圓編號ABCDEFx063.017546.259054.707540.580551.245048.3365y033.101575.067071.189030.331553.184055.5385half111.19205.25577.08529.645422.68871.8478half26.11913.465312.88726.384539.53471.9439吸收率01.18701.291400.98771.0632其中X0、y0、half1、half2分別表示橢圓中心橫縱坐標(biāo)和兩個(gè)半軸。數(shù)據(jù)均以左下角的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建設(shè)坐標(biāo)系求得。4.3問題三模型的建設(shè)與求解4.3.1建設(shè)模型與第二問類似，仍利用radon變換的思想建設(shè)模型，將空間每一條射線所投影的點(diǎn)復(fù)原回一條直線，將數(shù)據(jù)合并后重建未知介質(zhì)的幾何性質(zhì)與吸收率。4.3.2模型求解將附件5的數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB，利用radon逆變換將附件中數(shù)據(jù)重建未知介質(zhì)信息，得到圖像如圖4.3.2.1。圖4.3.2.1radon逆變換重建介質(zhì)圖像〔2〕其中圖三圖四顯示完全，圖二圖四經(jīng)角度修正后得出。為具體算出所要求十個(gè)點(diǎn)的吸收率，將數(shù)據(jù)帶入MATLAB中運(yùn)算后結(jié)果如下表所示：表4.3.2.1所求十點(diǎn)的吸收率〔2〕序號12345吸收率0.07362.53057.13270.03320.8015序號678910吸收率3.14875.57140.05308.13620.0272根據(jù)radon逆變換的結(jié)果，將得的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Excel表格，在不同范圍內(nèi)的數(shù)值填充成不同顏色對不同吸收率的局部進(jìn)展色塊填充，得到結(jié)果如圖4.3.2.2所示。圖4.3.2.2不同區(qū)域吸收率關(guān)系圖〔2〕其中無色處吸收率為0，黃色吸收率為0到2，紅色為2到4，淺藍(lán)色為4到6，綠色為6到8，紫色為8到9。從表格中大致取出圖案中心，調(diào)用程序得到圖案中心在〔51.2450，47.9210〕(假設(shè)以橢圓中心為原點(diǎn)，則圖案中心在〔1.2450，-2.0790〕)附近。4.4問題四的分析與求解：為了便于求相鄰探測器之間的距離，考慮最好仍選擇圓形模板，但是要適當(dāng)增大圓形模板的半徑，從而減小偶然誤差；為了利用180次旋轉(zhuǎn)得到的投射圖像求出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)，鑒于在原來的標(biāo)定模板中橢圓和圓的內(nèi)公切線的選擇有較大誤差，新的模板中應(yīng)盡量使得切線容易取得，且做出投射圖像后容易找到極值，并且圖像應(yīng)有一定的對稱性；圖像掃描后應(yīng)盡量少地得出重復(fù)數(shù)據(jù)，因此兩個(gè)圖像差異應(yīng)較大；考慮到方便地識別投射位置以確定旋轉(zhuǎn)中心，應(yīng)至少設(shè)置兩個(gè)模板且相互隔開。基于以上分析，設(shè)計(jì)出如下新模板：圖4.4.1新設(shè)計(jì)標(biāo)定模板標(biāo)定方法：首先借助于圓形模板很容易求得相鄰探測器間距，利用對稱性，更容易求得射線水平、豎直和一條傾斜方向的位置，因此用和第1問一樣的思路，此模板相對來說更能準(zhǔn)確地確定CT系統(tǒng)的參數(shù)。5.結(jié)果的分析與檢驗(yàn)5.1問題一結(jié)果分析與檢驗(yàn)第一問求得的單元間距，旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角度與所搜集資料的實(shí)際值相差不大且符合現(xiàn)實(shí)認(rèn)知，在運(yùn)算旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，由于線性關(guān)系良好，可以印證旋轉(zhuǎn)中心與單元間距計(jì)算誤差不大。5.2問題二結(jié)果分析第二問十個(gè)位置的吸收率計(jì)算，由于是直接由題目所給數(shù)據(jù)計(jì)算得出，結(jié)果較準(zhǔn)確，所得結(jié)果與逆radon變換所得圖形相對應(yīng)。在求解具體坐標(biāo)與幾何關(guān)系時(shí)，通過Excel表格數(shù)據(jù)直接計(jì)算得出，可能存在誤差，但由具體結(jié)果運(yùn)用radon變換檢驗(yàn)后可以看出，根本符合題目所給數(shù)據(jù)。6.模型的優(yōu)缺點(diǎn)分析第一問中求單元間距與解旋轉(zhuǎn)中心時(shí)利用了切線的特殊性質(zhì)，但切線的選擇不一定準(zhǔn)確，因?yàn)樯渚€寬度遠(yuǎn)小于探測器寬度且所用射線不一定恰好為標(biāo)定模板切線位置。從題目中可以得出，由于x射線之間得間距相等，不管x射線怎么旋轉(zhuǎn)，穿過托盤上圓的x射線條數(shù)應(yīng)該是大致相等的。根據(jù)附件二可以發(fā)現(xiàn)，前13組穿過圓的x射線條數(shù)都是29條，由此可以粗略的計(jì)算出x射線之間的距離為2R29但是這種做法并不準(zhǔn)確，因?yàn)樵?9條射線中最兩邊的x射線并不是與圓相切的，為盡量減小誤差，本文利用圖4.1.1.1進(jìn)展誤差檢驗(yàn)，則如下方程成立：R設(shè)模板的吸收率為p，第n個(gè)數(shù)據(jù)為snR即2利用MATLAB編程帶入多組數(shù)據(jù)求其平均值可得k=1.7725，進(jìn)而求得d=0.2770.從這里可以看7.模型的改良簡單地說第2，3問根據(jù)逆radon矩陣求出坐標(biāo)值存在一定的偶然誤差，計(jì)算量大。而且本文的模型沒有考慮到噪聲等其他因素的影響，因此輸出圖像模糊有光暈。為了得到清晰的圖像，可以進(jìn)展頻域?yàn)V波。首先二維傅里葉變換對為：引入傅里葉切片定理，其中ω是頻率分量：這說明一個(gè)投影的一維傅里葉變換，是二維投影矩陣的二維傅里葉變換的一個(gè)切片，執(zhí)行換元操作后，引入窗函數(shù)計(jì)算積分計(jì)算式并濾波，從而得到一個(gè)相對較好的結(jié)果。參考文獻(xiàn)：工業(yè)CT技術(shù)劉豐林工業(yè)CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心定位方法研究

劉明進(jìn)附錄%程序1.1作附件1的數(shù)據(jù)分布圖axisequalfori=1:256forj=1:256if(A(i,j)>0)plot(j,257-i,'r*')holdonendendend%程序1.2作附件2的數(shù)據(jù)分布圖fori=1:512forj=1:180if(AS(i,j)>0)if(AS(i,j)>100)plot(j,513-i,'b*-')holdonelseplot(j,513,'r*-')holdonendendendendholdoff%程序1.3計(jì)算探測系統(tǒng)的增益率及探測器的平均距離ticd=ones(86,1);%統(tǒng)計(jì)圓模板對應(yīng)探測器的平均個(gè)數(shù)m=zeros(86,1);%統(tǒng)計(jì)圓模板對應(yīng)探測器的最大吸收率平均值fori=1:14k=0;x=0;forj=374:430if(AS(j,i)>0)k=k+1;endif(AS(j,i)>x)x=AS(j,i);endendd(i)=k;m(i)=x;endfori=109:180k=0;x=0;forj=45:110if(AS(j,i)>0)k=k+1;endif(AS(j,i)>x)x=AS(j,i);endendd(i-94)=k;m(i-94)=x;enda=mean(d)b=mean(m)toc%程序1.4求出豎直射線近似方向d=zeros(180,1);k=0forj=1:180if(k<max(AS(:,j)))d(j)=max(AS(:,j));endenddfori=1:180if(k<d(i))k=d(i)iendend%程序1.5推出水平射線近似方向d=zeros(180,1);u=1.7721;forj=14:109d(j)=max(AS(:,j));d(j)jend%程序1.6根據(jù)你和公式用matlab編寫程序：th=zeros(1,180);fori=1:1:180th(i)=0.9938*i+28.718;endth計(jì)算得出所有的方向?yàn)椋?至15列29.711830.705631.699432.693233.687034.680835.674636.668437.662238.656039.649840.643641.637442.631243.625016至30列44.618845.612646.606447.600248.594049.587850.581651.575452.569253.563054.556855.550656.544457.538258.532031至45列59.525860.519661.513462.507263.501064.494865.488666.482467.476268.470069.463870.457671.451472.445273.439046至60列74.432875.426676.420477.414278.408079.401880.395681.389482.383283.377084.370885.364686.358487.352288.346061至75列89.339890.333691.327492.321293.315094.308895.302696.296497.290298.284099.2778100.2716101.2654102.2592103.253076至90列104.2468105.2406106.2344107.2282108.2220109.2158110.2096111.2034112.1972113.1910114.1848115.1786116.1724117.1662118.160091至105列119.1538120.1476121.1414122.1352123.1290124.1228125.1166126.1104127.1042128.0980129.0918130.0856131.0794132.0732133.0670106至120列134.0608135.0546136.0484137.0422138.0360139.0298140.0236141.0174142.0112143.0050143.9988144.9926145.9864146.9802147.9740121至135列148.9678149.9616150.9554151.9492152.9430153.9368154.9306155.9244156.9182157.9120158.9058159.8996160.8934161.8872162.8810136至150列163.8748164.8686165.8624166.8562167.8500168.8438169.8376170.8314171.8252172.8190173.8128174.8066175.8004176.7942177.7880151至165列178.7818179.7756180.7694181.7632182.7570183.7508184.7446185.7384186.7322187.7260188.7198189.7136190.7074191.7012192.6950166至180列193.6888194.6826195.6764196.6702197.6640198.6578199.6516200.6454201.6392202.6330203.6268204.6206205.6144206.6082207.6020%程序2.1畫出未知介質(zhì)1的幾何形狀I(lǐng)1=iradon(AX,0:179);I