等腰三角形 全省一等獎

第一章三角形的證明第一節(jié)等腰三角形（第3課時）前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩底角相等,反過來,有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?分析：要想證明AB=AC,只要能構(gòu)造兩個全等的三角形,使AB與AC成為對應邊就可以了.你是怎樣構(gòu)造的？CBA已知：在△ABC中,∠B=∠C.求證：AB=AC．作∠A的平分線,或作BC上的高,都可以把△ABC分成兩個全等的三角形．定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡述為：等角對等邊.請你寫出證明過程.CBA已知：如圖,在△ABC中,∠B=∠C.求證：AB=AC．D證法一：如圖,作∠BAC的平分線,交BC于點D.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵∠B=∠C,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC(全等三角形的對應邊相等).定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡述為：等角對等邊.請你寫出證明過程.CBA已知：如圖,在△ABC中,∠B=∠C.求證：AB=AC．證法二：如圖,過點A作BC的垂線,垂足為D.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=900.∵∠B=∠C,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC(全等三角形的對應邊相等).D┐例2已知：如圖，AB=DC,BD=CA.BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA（SSS）.∴∠ADB=∠DAC（全等三角形的對應角相等）.∴AE=DE（等角對等邊）.∴△AED是等腰三角形.想一想小明認為,在一個三角形中,如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊也不相等.你認為這個結(jié)論成立嗎?如果成立,你能證明它嗎?假設AB=AC,那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B,這與已知條件∠B≠∠C相矛盾,因此AB≠AC.CBA如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此時AB與AC要么相等,要么不相等.你能理解他的推理過程嗎?假設AB=AC,那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B,這與已知條件∠B≠∠C相矛盾,因此AB≠AC.CBA如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此時AB與AC要么相等,要么不相等.小明在證明時,先假設命題的結(jié)論不成立,然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果,從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.

用反證法證明的一般步驟是：1.假設命題的結(jié)論不成立；2.從這個假設出發(fā),應用正確的推理方法,得出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果；3.由矛盾的結(jié)果判定假設不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.例3用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.已知：△ABC．求證：∠A,∠B,∠C中不能有兩個角是直角．證明：假設∠A,∠B,∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A和∠B是直角，即∠A=900，∠B=900.于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞1800.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設不成立.所以,一個三角形中不能有兩個角是直角．隨堂練習1.如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于點D,過點D作BC的平行線,交AB于點E,請判斷△BDE的形狀,并說明理由.提示:∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥BC，∴∠CBD=∠BDE.∴∠ABD=∠BDE.∴BE=DE.∴△BDE是等腰三角形．△BDE是等腰三角形．ABCD3.如圖,∠A=360,∠DBC=360,∠C=720.圖中一共有幾個等腰三角形？找出其中的一個等腰三角形給予證明．圖中的等腰三角形有△ABC,△ABD和△BDC.提示:∵∠A=360,∠C=720,∴∠ABC=720.∴∠ABC=∠C.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.∵∠DBC=360,∴∠ABD=360.∠BDC=720.∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C.∴AD=BD,BD=BC.∴△ABD和△BDC是等腰三角形.4.已知：如圖,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC,且∠1=∠2．求證：AB=AC．提示:證明:∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC．5.如圖,BD平分∠CBA,CD平分∠ACB,且MN∥BC,設AB=12,AC=18.求△AMN的周長.

分析：要求△AMN的周長,則需求出AM+MN+AN,而這三條邊都是未知的.由已知AB=12,AC=18,可使我們聯(lián)想到△AMN的周長需轉(zhuǎn)化成與AB、AC有關系的形式.而已知中的角平分線和平行線告訴我們圖形中有等腰三角形出現(xiàn),因此,找到問題的突破口．NMCBAD5.如圖,BD平分∠CBA,CD平分∠ACB,且MN∥BC,設AB=12,AC=18.求△AMN的周長.

NMCBAD提示:∵BD平分∠CBA,∴∠ABD=∠CBD.∵MN//BC,∴∠CBD=∠MDB.∴∠ABD=∠MDB.∴MB=MD.同理可證NC=ND.∴△AMN的周長=AM+MN+AN=AM+MD+ND+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=30.6.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)?36°90°108°課堂小結(jié)(1)本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？(2)等腰三角形的判定方法有哪幾種？(3)結(jié)合本節(jié)課的學習,談談等腰三角形性質(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系．(4)舉例談談用反證法說理的基本思路.作業(yè)：習題1.31、2、3、4題.課后習題2.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點E在CA的延長線上,EP⊥BC,垂足為P,EP交AB于點F.求證:△AEF是等腰三角形.提示:證法一：∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵EP⊥BC,∴∠C+∠E=90°.∴∠B+∠BFP=90°.∴∠BFP=∠E.∵∠BFP=∠AFE.∴∠AFE=∠E.∴AE=AF.∴△AEF是等腰三角形課后習題2.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點E在CA的延長線上,EP⊥BC,垂足為P,EP交AB于點F.求證:△AEF是等腰三角形.證法二:如圖,過點A作AD⊥BC,垂足為點D.∵AB=AC,∴∠BAD=∠CAD.∵EP⊥BC,∴EP∥AD.∴∠E=∠CAD,∠EFA=∠BAD.∴∠E=∠EFA.∴AE=AF.∴△AEF是等腰三角形.┐D3.(1)已知:如圖(甲),等要三角形的一個內(nèi)角為銳角α,腰為a,求作這個等腰三角形；(2)在(1)中,把銳角α變成鈍角α,其他條件不變,求作這個等腰三角形.3.(1)已知:如圖(甲),等要三角形的一個內(nèi)角為銳角α,腰為a,求作這個等腰三角形；(1)分兩種情況：①當∠α為底角時.1.作∠PBQ=∠α.2.在射線BP上截取BA=a.3.以A為圓心,a為半徑畫弧,交射線BQ于點C.4.連接AC.則△ABC就是所要求作的等腰三角形.PBQAC3.(1)已知:如圖(甲),等要三角形的一個內(nèi)角為銳角α,腰為a,求作這個等腰三角形；∠α為頂角時.1.作∠PBQ=∠α.2.在射線BP上截取BA=a,在射線BQ上截取BC=a.3.連接AC.則△ABC就是所要求作的等腰三角形.BPACQ3.(2)在(1)中,把銳角α變成鈍角α,其他條件不變,求作這個等腰三角形.(2)當∠α為鈍角時,∠α只能是頂角.1.作∠PBQ=∠α.2.在射線BP上截取BA=a,在射線BQ上截取BC=a.3.連接AC.則△ABC就是所要求作的等腰三角形.PABCQ4.如圖,一艘船從A處出發(fā),以18kn的速度向正北航行,經(jīng)過10h到達B處.分別從A,B望燈塔C,測得∠NAC＝420,∠NBC=840.求從B處到