2023-2024學年北師大版必修第二冊 　三角形中的幾何計算 課件（73張）

三、用余弦定理、正弦定理解三角形第1課時三角形中的幾何計算必備知識·自主學習1.內角和定理:在△ABC中,A+B+C=180°.2.面積公式:S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB.導思1.余弦定理、正弦定理的內容及變形是什么?2.余弦定理、正弦定理可分別解決哪類三角形問題?3.余弦定理的形式:形式一:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.形式二:cosA=___________,cosB=___________,cosC=___________.4.正弦定理的形式:形式一:=2R(R為外接圓半徑).形式二:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.形式三:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.形式四:【思考】在解三角形時,邊角至少需要知道幾個才能求出其他邊角?提示:由余弦定理、正弦定理的內容可以看出,至少需要知道三個(不能全為角)才能求出其他邊角.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)在△ABC中,若a2>b2+c2,則△ABC一定為鈍角三角形. (

)(2)在△ABC中,等式bsinA=asinB總能成立. (

)(3)在△ABC中,滿足sinB=<1的三角形個數(shù)有且僅有一個.(

)提示:(1)√.由a2>b2+c2,可得b2+c2-a2<0,故cosA=<0,從而角A為鈍角,該三角形為鈍角三角形.(2)√.根據(jù)正弦定理可得bsinA=asinB總成立.(3)×.例如已知A=30°,a=1,b=,則sinB=故B=60°或120°,此時滿足條件的三角形有兩個.2.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,則△ABC的面積等于 (

)A.12B.C.28D.6【解析】選D.由余弦定理可得cosA=,所以A=60°,所以sinA=,故S△ABC=bcsinA=6.3.(教材二次開發(fā):例題改編)已知O是△ABC內部一點,=0,=2且∠BAC=60°,則△OBC的面積為 (

)【解析】選A.由=0可知點O是△ABC的重心,S△OBC=S△ABC,=||·||cos60°=2,所以||·||=4,S△OBC=S△ABC=關鍵能力·合作學習類型一三角形中的面積計算(邏輯推理)【題組訓練】1.已知△ABC的面積為且b=2,c=,則 (

)

A.A=30° B.A=60°C.A=30°或150° D.A=60°或120°2.在△ABC中,AC=1,B=30°,AB=,則△ABC的面積為________.

3.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cosA=,求△ABC的面積.【解析】1.選D.由S△ABC=bcsinA,得=×2×sinA,解得sinA=,又因為0°<A<180°,所以A=60°或120°.2.由正弦定理所以sinC=,則C=60°或120°,從而A=90°或30°,所以S△ABC=AB·AC·sinA=sinA,所以S△ABC=或.答案:

或3.因為b2-bc-2c2=0,所以b=2c或b=-c(舍去).由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得,6=(2c)2+c2-2×(2c)×c×,解得c=2,b=4.由cosA=得sinA=所以S△ABC=bcsinA=.【解題策略】三角形面積的計算對于此類問題,一般用公式S=absinC=bcsinA=acsinB求解,可分為以下兩種情況:(1)若所求面積為不規(guī)則圖形,可通過作輔助線或其他途徑構造三角形,轉化為求三角形的面積;(2)若所給條件為邊角關系,則需要運用余弦定理、正弦定理求出某兩邊及夾角,再利用三角形的面積公式進行求解.【補償訓練】在△ABC中A=60°,b=1,其面積為,則等于(

)

【解析】選B.因為S△ABC=bcsinA,故=×1×c×sin60°,解得c=4,又由余弦定理得a=類型二三角形中的長度計算(數(shù)學運算、邏輯推理)【典例】在△ABC中,若c=4,b=7,BC邊上的中線①AD長為,求邊長a.四步內容理解題意①中線,即連接頂點與對邊中點的線段.思路探求由題目可獲取以下主要信息:①c=4,b=7;②AD為BC邊上的中線且AD=.解答本題可先令CD=DB=x,在△ACD和△ACB中,∠ACB是公共角,兩次使用余弦定理,便可求出x.書寫表達如圖所示,因為AD是BC邊上的中線,所以可設CD=DB=x,則CB=a=2x.因為c=4,b=7,AD=,在△ACD中,有cosC=在△ABC中,有cosC=所以解得x=,所以a=2x=9.題后反思本題求解的關鍵是利用AD是BC邊上的中線可得CD=BD,從而可以在△ACD和△ABC中同時利用余弦定理求cosC,從而建立方程求解.【解題策略】三角形中長度的計算三角形中的長度計算往往利用余弦定理或正弦定理求解,這就需要尋求包含所求線段的三角形,并探求其他邊角,但有時需要放在兩個三角形中(比如例題,也可利用cos∠ADC=-cos∠ADB)求解.【跟蹤訓練】如圖,在△ABC中,已知B=45°,D是BC邊上的一點,AD=5,AC=7,DC=3,求AB的長.【解析】在△ACD中,由余弦定理得cosC=因為C為三角形內角,所以C∈(0,π),所以sinC=在△ABC中,由正弦定理得所以AB=類型三三角形中的綜合應用(邏輯推理、數(shù)學運算)【典例】(2020·新高考全國Ⅰ卷)在①ac=,②csinA=3,③c=b這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在△ABC,它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=sinB,C=,________?

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.【解析】方案一:選條件①.由C=和余弦定理得由sinA=sinB及正弦定理得a=b.于是由此可得b=c.由①ac=,解得a=,b=c=1.因此,選條件①時問題中的三角形存在,此時c=1.方案二:選條件②.由C=和余弦定理得由sinA=sinB及正弦定理得a=b.于是

由此可得b=c,B=C=,A=.由②csinA=3,所以c=b=2,a=6.因此,選條件②時問題中的三角形存在,此時c=2.方案三:選條件③.由C=和余弦定理得由sinA=sinB及正弦定理得a=b.于是

由此可得b=c.由③c=b與b=c矛盾.因此,選條件③時問題中的三角形不存在.【變式探究】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cosC=,若且a+b=9,則c=________.

【解析】因為所以abcosC=,所以ab=20.又因為a+b=9,所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41,所以c2=a2+b2-2abcosC=36,解得c=6.答案:6【解題策略】1.利用余弦定理、正弦定理可以實現(xiàn)三角形中的邊、角關系的轉化;2.熟記三角形的面積公式:S=absinC=bcsinA=acsinB;3.熟練掌握三角函數(shù)及向量的相關知識.【題組訓練】1.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,且周長為30,則S△ABC=(

)

【解析】選D.由正弦定理知,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=3∶5∶7,設a=3k,則b=5k,c=7k(k>0),又a+b+c=30,所以k=2,即三邊長為a=6,b=10,c=14,所以cosA=sinA=所以S△ABC=bcsinA=×10×14×=15.2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則3a+c的最小值為 (

)A.6B.4+2C.9D.6+4

【解析】選B.由題意可知S△ABC=S△ABD+S△CBD,由角平分線性質和三角形面積公式得acsin120°=csin60°+asin60°,化簡得ac=c+a,即所以3a+c=(3a+c)()=4+≥4+2,當且僅當即c=a=+1時取等號.1.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=1,B=45°,S△ABC=2,則△ABC的外接圓直徑為 (

)【解析】選C.因為S△ABC=acsinB=c·sin45°=c=2,所以c=4,所以b2=a2+c2-2accos45°=25,所以b=5,所以△ABC的外接圓直徑為

=5.課堂檢測·素養(yǎng)達標2.設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c且c=,cosC=-,sinA=2sinB,則b=________.

【解析】因為sinA=2sinB,所以a=2b,又因為c=,cosC=-,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,可得6=a2+b2-2ab·(-)=4b2+b2+×2b2,解得b=-1(舍去)或b=1.答案:13.如圖,在四邊形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,則該四邊形的面積等于________.

【解析】連接BD,四邊形面積可分為△ABD與△BCD兩部分的面積和,由余弦定理得BD=2,S△BCD=BC·CDsin120°=,∠ABD=120°-30°=90°,所以S△ABD=AB·BD=4,所以S四邊形ABCD=+4=5.答案:54.如圖所示,已知圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積.【解析】如圖,連接BD,則四邊形ABCD的面積為S=S△ABD+S△CDB=AB·ADsinA+BC·CDsinC.因為A+C=180°,所以sinA=sinC,所以S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA.在△CDB中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcosC=52-48cosC.所以20-16cosA=52-48cosC.因為cosC=-cosA,所以64cosA=-32,所以cosA=-,又0°<A<180°,所以A=120°,所以S=16sin120°=8.二十四三角形中的幾何計算【基礎通關—水平一】

(15分鐘30分)1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的外接圓半徑為3,a=3,則角A等于 (

)

A.30° B.60°C.60°或120° D.30°或150°課時素養(yǎng)評價【解析】選D.根據(jù)正弦定理=2R,所以sinA=因為0°<A<180°,所以A=30°或150°.2.在△ABC中,已知b=5,A=60°,S△ABC=5,則c等于 (

)A.4 B.16 C.21 D.【解析】選A.因為b=5,A=60°,S△ABC=5,所以S△ABC=bcsinA,所以×5×csin60°=5,解得c=4.3.在平行四邊形ABCD中,已知AB=1,AD=2,=1,則||= (

)【解析】選B.由=||·||cosA=1,得cosA=,所以A=60°,故B=120°.由余弦定理知AC2=12+22-4cos120°=7,故||=.4.已知△ABC是等腰直角三角形,點D在線段BC的延長線上,若BC=AD=2,則CD= (

)【解析】選D.由圖可得∠ACD=135°,AC=2,所以cos135°=CD2+2CD-4=0,解得CD=-或CD=--(舍去).5.已知三角形的一邊長為7,這條邊所對的角為60°,另兩邊長之比為3∶2,則這個三角形的面積是

.

【解析】設另兩邊長分別為3x,2x,則cos60°=解得x=,故兩邊長分別為3和2,所以S=×3×2×sin60°=.答案:

6.如圖,在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°.(1)求BD的長;(2)求BC的長.【解析】(1)設BD=x,在△ABD中,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,整理得x2-10x-96=0,因為x>0,解得x=16,即BD=16.(2)因為AD⊥CD,所以∠ADC=90°,故∠BDC=∠ADC-∠BDA=90°-60°=30°,在△BCD中,由正弦定理得BC=【能力進階—水平二】(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.設△ABC的三條邊分別為a,b,c,三角形面積為S=,則C為(

)

【解析】選C.根據(jù)面積公式得S=absinC,故

absinC=,解得tanC=1,由于0<C<π,所以C=.2.在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=,則的值等于(

)【解析】選A.由題意,在△ABC中,利用三角形的面積公式可得S△ABC=bcsinA=×1×c×sin60°=,解得c=4,又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2×1×4×=13,解得a=,由正弦定理得3.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中點,AM=4,則BC= (

)【解析】選B.設BC=a,則BM=CM=.在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,即72=+42-2××4·cos∠AMB.①在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC,即62=42++2×4×·cos∠AMB.②①+②得72+62=42+42+,所以a=.4.在△ABC中,內角B=60°,邊長a=8,b=7,則此三角形的面積為 (

)【解析】選C.由正弦定理得:所以sinA=.由于B=60°,邊長a=8,b=7,則a>b,即A為鈍角或銳角,所以cosA=當A為銳角時,sinC=sin(A+B)=所以S△ABC=當A為鈍角時,sinC=sin(A+B)=所以S△ABC=則此三角形的面積為6或10.【誤區(qū)警示】本題在求解過程中,由sinA=確定角A大小時,易漏掉A為鈍角的情況.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.三角形有一個角是60°,相鄰兩邊長分別為8和5,則下列結論正確的是(

)A.三角形另一邊長為7B.三角形周長為20C.三角形內切圓周長為3πD.三角形外接圓面積為【解析】選ABD.根據(jù)余弦定理可得82+52-2×8×5×cos60°=49,即另一邊長為7,故該三角形周長為20,故A,B正確;設內切圓半徑為r,則(8+7+5)r=×8×5×sin60°,解得r=,故內切圓周長為2πr=2π,C不正確;設外接圓半徑為R,則2R=,解得R=,其面積為πR2=.6.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a∶b∶c=4∶5∶6,則下列結論正確的是 (

)A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是鈍角三角形C.△ABC為直角三角形D.若c=6,則△ABC外接圓半徑為【解析】選AD.由a∶b∶c=4∶5∶6,可設a=4m,b=5m,c=6m(m>0),根據(jù)正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,故A正確;因為cosC=故最大角C為銳角,故BC錯誤;若c=6,可得2R=所以△ABC外接圓半徑為,故D正確.【光速解題】本題可直接令邊長分別為4,5,6.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知等腰三角形的底邊長為6,一腰長為12,則它的內切圓面積為

.

【解題指南】利用等面積轉化,即S=(a+b+c)·r=b