直線與點的位置關(guān)系

§2—4直線與點以及兩直線的相對位置一、直線上的點直線上的點有以下特性：(1)點在直線上，則點的投影必在該直線的同面投影上。反之，如果點的投影均在直線的同面投影上，則點必在該直線上，否則點不在該直線上。如圖1—19所示，點K的投影k、k'、k”均在直線AB的H、V、W投影上，所以點K在直線AB上。如圖2—20所示，點C的V面投影c'雖然在ab'上，但是點C的H面投影c不在ab上，所以點C不在直線AB上。(2)直線上的點分割直線之比，在投影后保持不變。如圖2—19所示，點K在直線AB上，則AB：ak:kb=a'k'=k'b'=a"k":k"b”。由上述可知，點是束在直線上，在一般情況下根據(jù)兩面投影即可判定。但當(dāng)直線為某一投影面平行線，而已知的兩個投影為該直線所不平行的投影面的投影時，則不能直接總協(xié)定。如圖2—21a所示，AB為側(cè)平線，而圖中卻只給出其正面投影a'b'及水平投影ab。此時，雖然點K和點S的正面投影k、s”及水平投影k、s均落在ak和ab上，但仍不能總判定出點K和點S是否在AB上。其判別方法如下：（SI2-21點勺N淺的耐飭擔(dān)部咒別［方法一］定比法如圖2—21b所示，自a任引直線aB=a'b',連aB,在aB上量取ak00=a'k'，SB=Sb，過k0作bB的平行線，發(fā)現(xiàn)該線不過k,則點K不在直線AB上。過S°作bB的平行線，發(fā)現(xiàn)該線過s，則點A在直線AB上。［方法二］補投影法即補出已知投影面平行線在所平行的投影面上的投影及已知點的投影。如圖2—21c所示，直線為側(cè)平線，應(yīng)補出其側(cè)面投影，補后發(fā)現(xiàn)s”在a"b〃上，可判定點S在直線AB上;k〃不在a"b”上，可判定點K不在直線AB上。從圖2—21d中可看出：點S在直線AB上、點K不在直線AB上的空間情況。二、兩直線的相對位置兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交、交叉。平行和相交的兩直線都是屬于同一平面（共面）的直線，而交叉兩直線則是不同一平面（異面）的直線。下面分別討論它們的投影特性。（一）直線平行（1）如果空間兩直線互相平行，則兩直線的同面投影必定互相平行。反之，若兩直線的同面投影都互相平行，則兩直線在空間也必定互相平行。證明如下：如圖2—22所示AB和CD是互相平等的兩直線，將它們向H面投影時，由于投影線Aa〃Bb〃Cc〃Dd，投射線與AB和CD所構(gòu)成的兩個平面AabB和CcdD也互相平行，因此，兩平面與H面的交線也必定互相平行，即ab〃cd。同理，AB和CD的正面投影和側(cè)面投影也必互相平行即a'礦〃c‘d'；a"b”〃cd〃

用2H平行耕的投酩(2)兩直線平行，其長度之比等于各同‘面投影長度之比。如圖2-22所示，若AB〃CD，則AB:CD=ab:cd=a'b':c'd'=a"b”:c"d"。兩直線相交如果兩直線在空間相交，則它們的各同面投影必相交，且交點符合一個點的投影規(guī)律。反之，如果兩直線的各同面投影相交，且交點符合一個點的投影規(guī)律，則此兩直線在空間必定相交。如圖2-23所示，AB和CD為相交兩直線，其交點K為兩直線的共有點。根據(jù)直線上點的投影特性，則點K的下面投影k既在ab上，又應(yīng)在cd上，所以ab和cd的交點k就是交點K的正面投影。同理，ab和cd的交點k分別是交點K的水平投影和側(cè)面投影。。所以k、k、"必符合一個點的投影規(guī)律，即kk±OX，kk"±OZ0［例2—4］如圖2—24所示，過點陣字庫A作直線AB與直線CD相交于點K，且點K，且點K距離H面12mm，點B在點A右方25mm處。分析由于抽求直線AB與已知直線CD相交，則其交點K的投影應(yīng)在CD的同面投影上。又點K跟H面12mm，即點K的正面投影躡OX軸12mm。據(jù)此即可作出交點K的投影。然后，連接A與K，并延長，使另一端點B在點A右方25mm處，直線AB即為所求。CO 成圖2-W3相交兩直坡的投影3J ㈤FT12-24過已知點推防定系件作與已知直戲相交的宜綬作圖步驟（如圖2—24b所示）：（1）X軸上方12mm作水平線交c'd'于k'，并由k'求得k。k、k，即為交點k的兩個投影。（2）連接a、k和a'、k'，并分別延長到點A右方25mm處得b、b'。ab和a'b'即為所求直線AB的兩面投影。（三）兩直線交叉如果空間兩直線既不平行，又不相交，則稱為兩直線交叉。交叉兩直線不存在共有點，但必存在重影點。其同面投影表面為相交的點，不符合一個點的投影規(guī)律，實際是兩直線在處于同一投射線上的兩點（重影點）的投影（重影）。重影點在某一投影中的可見性，一定要相應(yīng)地從另一投影中用“前遮后、上遮下、左遮右”來判別。如圖2—25a、b及c分別示出了兩一般位置交叉及側(cè)平線與一般位置直線交叉。圖2—25a、b中，水平線投影ab、cd的“交點”，實際上是空間直線AB上的點I和直線CD上的點II的重合的投影，因為點I和點II位于向H面投射的同一條投射線上，所以它們的水平投影1（2）重合為一點。從正面投影中可看出，點I比點II的z坐標大（七〉z^），所以點I的水平投影1可見，點I的水平投影（2）不可見，不可見的投影用括號括起。同樣，正面投影ab和cd'的“交點”，是CD上的點111和AB上的點W的重合的投影，點111和點0位于向V面投射的同一條投射線上，它們的正