談?wù)勎覍W(xué)習(xí)動態(tài)幾何的體會

談?wù)勎覍W(xué)習(xí)動態(tài)幾何的體會彭翕成華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心武漢430079這幾年，我發(fā)表了一些關(guān)于動態(tài)幾何的文章，出版了相關(guān)著作，也在網(wǎng)絡(luò)上共享了不少資源。因此常被人問起：如何學(xué)習(xí)動態(tài)幾何。國內(nèi)有許多研究動態(tài)幾何的高手，不論從技術(shù)，還是教學(xué)實踐中的使用，勝于我者不在少數(shù)。但我還是想來談?wù)勥@個問題，算是個人總結(jié)吧。很多軟件，譬如Word，功能很多，但只要知道了各個菜單的功能，使用起來就非常簡單了；那些不常用的功能甚至不需要記，用的時候搜索幫助文件就可以了。動態(tài)幾何軟件則不同，譬如幾何畫板，菜單不多，且每個下拉菜單的長度很短，二級菜單更是寥寥無幾。但這并不意味著幾何畫板就容易掌握，因為若干平凡功能的復(fù)合可能會變得不平凡。我學(xué)習(xí)動態(tài)幾何，分為幾何畫板和超級畫板兩個階段。我從2003年開始學(xué)習(xí)幾何畫板。自學(xué)，沒有老師，沒有教材，只是在網(wǎng)上下載了軟件和幾個課件。我花了一個星期的時間熟悉軟件，知道了哪個菜單下有哪些工具，這些工具能夠完成哪些功能，而要使用這些工具，需要先作什么。譬如希望作一個點在多邊形周界上運(yùn)動，需要先選擇各頂點，構(gòu)造出多邊形內(nèi)部，才能作出多邊形周界上的點。初學(xué)者最容易上手，也最容易被震撼的要數(shù)動態(tài)測量功能了。作一個幾何圖形，加上一些測量和計算，再拖動，就能從變化中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律。我當(dāng)時已經(jīng)打算從事數(shù)學(xué)教育方面的工作了，覺得應(yīng)該好好學(xué)習(xí)動態(tài)幾何，將之作為一技之長。但那時，自學(xué)能力較差，不知道如何去網(wǎng)上搜索資源，尋求幫助，于是之后的一年多時間都沒有什么大的進(jìn)步。記得有一次，我想作一個橢圓，想了好幾天，沒作出來，心里很是埋怨，難道幾何畫板只能作平面幾何圖形，不能運(yùn)用于解析幾何么？最后還是在網(wǎng)上找到了作法。還有一次，我想作“過圓外一點P作圓的切線”，想了很久，被我想出來了，開心不已。雖然說穿了是如此簡單：如圖1，連接OP，作中點M，以M為圓心，MO為半徑作圓交于N，則PN即為所求作的切線；不過就是用到“直徑所對的角是直角”這一簡單的知識點，但我后來的幾何畫板培訓(xùn)實踐表明，如果以前沒有這方面的學(xué)習(xí)，能夠?qū)⑵綍r用來解題的知識點運(yùn)用到作圖中來的人并不多。圖12004年，我買了幾本幾何畫板的書，在網(wǎng)上也下載了一些資料，特別是我加入了當(dāng)時積聚國內(nèi)眾多高手的幾何畫板論壇：求師德，通過學(xué)習(xí)高手的作品，我的水平有了較大的進(jìn)步?，F(xiàn)在回想起來，幾何畫板的學(xué)習(xí)竅門也就兩點而已：不斷追溯父子對象；創(chuàng)建新工具，查看腳本。在求師德論壇的日子是令人難忘的，這不僅僅是我個人的感受，也是許多動態(tài)幾何愛好者的心聲。求師德的網(wǎng)友，不論是對新手的教導(dǎo)，還是同水平的人切磋，都是坦誠相見，毫不保留，所以大家的水平上升得都很快。國內(nèi)一些中學(xué)數(shù)學(xué)網(wǎng)站，討論也頗為熱烈，但一遇到關(guān)鍵問題，高手們大都打住不講了，因為他們需要以此發(fā)表文章。求師德的網(wǎng)友鉆研技術(shù)的很多，熱衷于寫文章的好像很少。我曾經(jīng)建議求師德的高手們寫點文章，因為雜志上相當(dāng)多的動態(tài)幾何文章所作研究并不深入，甚至可能會誤導(dǎo)人。可惜我的建議并不被多少網(wǎng)友接受。求師德論壇后來關(guān)閉了，具體原因我不太清楚，這是讓很多動態(tài)幾何愛好者感到惋惜的。2006年起，我開始轉(zhuǎn)向超級畫板的研究。超級畫板由于吸收了幾何畫板一些優(yōu)點，增加了很多功能，使得入門時間大大縮短，使用起來也更加方便。不可避免地，我會對這兩個軟件進(jìn)行比較。幾何畫板確實是一款非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，但很多的設(shè)計還是可以改進(jìn)的。就拿前面所說的作圓的切線來說，原始的尺規(guī)作圖方式有其存在的意義，但作為一個現(xiàn)代化的工具來說，其作法能否更加直接，效率進(jìn)一步地提高呢？超級畫板的智能畫筆就做到了這一點。在保證動態(tài)幾何性質(zhì)的前提下，充分考慮中學(xué)老師的使用習(xí)慣，順手一畫即可完成任務(wù)。而且超級畫板并不否定尺規(guī)作圖法，用戶可以選擇原始方法來鍛煉基本功，也可以采用先進(jìn)方法迅速作出基本圖形，進(jìn)一步探究以求獲得新的知識。又如作多邊形上的點，從數(shù)學(xué)上來說，選擇多邊形各個頂點就應(yīng)該能夠作出了，何必一定要先構(gòu)造多邊形內(nèi)部呢？在這一問題上，超級畫板比幾何畫板更符合數(shù)學(xué)本質(zhì)。至于原來讓我頭痛的幾何畫板探究圓錐曲線，在使用超級畫板之后也變得輕松了，因為超級畫板在解析幾何方面提供了相當(dāng)強(qiáng)大的功能。近幾年，隨著動態(tài)幾何研究隊伍的擴(kuò)大，網(wǎng)上這方面的資料越來越多了，隨便一搜，光是橢圓的作法，至少能搜出二十幾種。這些作法，了解一下是很有好處的，它與“茴字的四種寫法”有著本質(zhì)的不同。每一種作法都反映了圓錐曲線的某些性質(zhì)。掌握這些作法，對研究解析幾何大有裨益。但也必須注意到，由于幾何畫板缺少最根本的解析幾何作圖功能：輸入二次曲線方程作圖，這讓相當(dāng)多的用戶苦惱。高手們總是會想出各種方法來補(bǔ)救現(xiàn)有軟件的不足，他們的研究熱情，所付出的努力，是一般人難以想象的。譬如幾何畫板4.0不能構(gòu)造函數(shù)與直線的交點，很多畫板愛好者花費(fèi)大量時間，想出各種近似作法，但這些作法也僅在高手中流傳，因為一般人難以掌握這些技巧。但幾何畫板5.0的推出，交點功能的改善使得這一問題變得簡單。這說明，軟件開發(fā)者多為用戶著想，多做一些工作，就能使得數(shù)以萬計的用戶節(jié)省時間，提高效率。學(xué)習(xí)動態(tài)幾何并不需要你有多高的計算機(jī)水平。培訓(xùn)實踐表明，在最開始的入門階段，計算機(jī)老師比數(shù)學(xué)老師要快，而一旦過了這一階段，數(shù)學(xué)老師就遠(yuǎn)遠(yuǎn)地把計算機(jī)老師甩在后面。原因也很簡單，雖然軟件的操作是基礎(chǔ)，不掌握基本操作，很多想法都無法實現(xiàn)，但最終決定動態(tài)幾何水平高低的，還是看誰有扎實的數(shù)學(xué)功底，特別是平面幾何作圖方面。在傳統(tǒng)幾何學(xué)習(xí)中，作圖與計算、證明三者的地位是并列的，而近些年，中學(xué)已經(jīng)大大刪減如何作圖了。為了學(xué)好動態(tài)幾何，我曾經(jīng)下功夫研究過一些作圖。譬如已知三角形兩邊和第三邊的角平分線長作三角形。我最早的作法是：如圖2，以C為圓心，分別以、、為半徑作圓；在半徑為、的圓上任取A、B兩點，在AB線段上作比例點D，使得；然后拖動B，使得D剛好落在半徑為的圓上。這樣作圖，顯然不符合動態(tài)幾何作圖要求，因為一拖動就會散架，不能保持幾何性質(zhì)。但我覺得動態(tài)幾何的這種近似作圖也有其存在的意義，直到現(xiàn)在，面對這種幾何約束作圖，不少雜志社、出版社束手無策，隨手所作圖形差錯十分明顯。他們確實有學(xué)一下動態(tài)幾何的必要了。我后來想出了此題的尺規(guī)作法，但在此處，我卻想著重介紹另外一題：在△ABC的BC邊上，作點M使得△ABM和△ACM的內(nèi)切圓半徑相等。我最初也是采用近似作法。為了得到準(zhǔn)確作法，我問了不少人，沒人會做。查了很多資料，最后在一本40年代的幾何書上找到了作法（后來發(fā)現(xiàn)梁紹鴻的《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）》也有），才作出圖來。圖2圖3作法：如圖3，（1）BC的中垂線DE交△ABC的外接圓于E；（2）作△ABC的內(nèi)心F；以E為圓心，EB為半徑作圓；FE交圓E于G；（3）過A作GB的平行線交BF于H；過A作GC的平行線交CF于I；（4）作AB關(guān)于AH的對稱直線交BC于M；其中M即為題目所求。H、I分別為△ABM和△ACM的內(nèi)切圓圓心。圖3作法巧妙，是很難想到的。也許有人會問：這個問題和動態(tài)幾何有什么關(guān)系呢？根本就是個數(shù)學(xué)題嘛！的確如此。因為我們研究動態(tài)幾何的根本目的就在于研究數(shù)學(xué)，而不是研究軟件本身。隨著軟件的發(fā)展，這種幾何約束作圖也會變得容易，譬如GeometryExpressions就在這方面已經(jīng)作出了相當(dāng)不錯的嘗試。接下來，我想嘗試回答一個問題。一直以來，有人對動態(tài)幾何的作用提出質(zhì)疑，其典型觀點是：利用動態(tài)幾何軟件，不管是超級畫板還是幾何畫板，很多題目確實一作圖、一測量就出來結(jié)果了。但學(xué)生考試的時候，是不能使用計算機(jī)的，而且通過動態(tài)測量發(fā)現(xiàn)的也只是結(jié)果，沒有解題過程。眾所周知，但凡能夠讓人產(chǎn)生依賴的東西必然有其獨(dú)特之處，譬如一本好的復(fù)習(xí)資料，一個好的家教，雖然有學(xué)生過分依賴好的復(fù)習(xí)資料和好的家教，上課聽課不認(rèn)真了，但并不能因此就否定復(fù)習(xí)資料和家教的作用。一件事物在一定條件下能夠發(fā)揮作用幫助到你，就說明它是有用的，這就夠了，我們不能求全責(zé)備，一定要它包打天下才行。就好比有人反對負(fù)數(shù)，理由是：你見過-1個人么？確實，我們沒有見過-1個人，但卻存在-1℃。這就說明負(fù)數(shù)有存在的意義。下面這個案例應(yīng)該能夠在一定程度上說明問題。有學(xué)生問我這樣一個題目：如圖4，在正方形ABCD中，過點D作對角線AC的平行線，在平行線上作點E，使得，CE交AD于F，求證：。圖4圖5我給出的證明：如圖5，作，設(shè)BD交AC于O，顯然四邊形EDOI是矩形，，所以，易得，所以。但此題并沒有到此結(jié)束，還可以探究。細(xì)心的讀者會發(fā)現(xiàn)圖5中作的垂足標(biāo)簽為I，按常理，緊接下來的標(biāo)簽應(yīng)該是G！這是因為我看到題目時，就感覺圖4只是題目敘述的可能情況之一。一般的解題者對題目給出的圖形比較依賴；而長期使用動態(tài)幾何的人解題時，則會不自覺地去嘗試重新作圖，即使不動手，也會在心里面把作圖步驟走一遍。對于此題，在作好正方形ABCD后，尋找滿足條件的E時，通常是以C為圓心，CA為半徑作圓，很明顯圓與平行線的交點不止一點E，還有一點G，也滿足。在前面證明的基礎(chǔ)上，我們?nèi)菀鬃C明。如圖6，作，顯然，所以，易得，所以。我把進(jìn)一步的探究和學(xué)生講了之后，學(xué)生很佩服。因為在他看來，老師會解題，這是老師應(yīng)該會的，不算什么；但老師能夠拿到題還能有新發(fā)現(xiàn)，說明老師很有水平。圖6一個人在長期使用動態(tài)幾何軟件之后，是否能擺脫軟件，達(dá)到手上無畫板，心中有畫板的境界呢？理智告訴我，這幾乎不可能，至少我個人是做不到這一點。但我堅信，長期使用動態(tài)幾何會使人加深對數(shù)學(xué)的理解；而使用Flash或PPT，則很難幫助你提高數(shù)學(xué)水平。我堅信，所以我堅持。補(bǔ)充：已知三角形兩邊和第三邊