高考試題中雙變量不等式證明的探究與思考 論文

高考試題中雙變量不等式證明的探究與思考摘 要：近年的高考試題連續(xù)多次考察了雙變量不等式證明(恒成立)問題，體認識，導(dǎo)致問題不能順利解決甚至不能解決.下面筆者就結(jié)合所在學(xué)校一輪復(fù)習(xí)實際，就高考試題中的雙變量問題的處理思路及方法談一下自己的幾點思考。關(guān)鍵詞：雙變量，恒成立，消元，變量無關(guān)，變量有關(guān)一、試題呈現(xiàn)+f(x)x-ax+

1-a-．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)g(x)=x2-2bx，當a=1時，任意x?

x2)，存在x?2]使得f(x)≥g(x)4 1成立，求實數(shù)b的取值范圍．本文只處理第（2）問（下同）.

2 1 2試題分析，難點突破：學(xué)生在解決此題時的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn),x2為兩個無關(guān)變量，因此可以采用主元法，利用分而治之的策略，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)f(x)和g(x)的最值問題.由（1）知當a=1時，f(x)在4當x?(x)>f1，所以原問題??2g(x)￡-1成立2??2b3x+92x

成立.設(shè)u(x)=x+9，x?9，所以u(x)=x+92x 2x2 2xu (x)=u(2) 17

2b317，

b317遞減，所以

= .所以 即 .4 4 8f(x)=1-xlnx．x（1）討論f(x)的單調(diào)性；

f(1)-

f(2)<-（2）若f(x)存在兩個極值點,x2，證明：．-x2

a2.學(xué)情分析：未證明出目標結(jié)論的學(xué)生中，多數(shù)未利用好,x2為函數(shù)f(x)的兩個極值點這一條件，從而給出錯誤的解題方向：不妨設(shè)xx，則可轉(zhuǎn)化為證明f(x)(a2)x

f(x)(a2)x

，進一步可1 2 1 1 2 2轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)yf(x)(a2)x為增函數(shù).(x(x)-11a-x-ax1試題分析，難點突破：f(x)的定義域為(0,)，f - .￠由（1）知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a.

+x2 x x2f(x)的兩個極值點,x2滿足x2-ax，所以x2，不妨設(shè)<x2，則x2可以發(fā)現(xiàn)，與試題一不同，這里x,x為兩個有關(guān)變量，即x的值給定，x的值1 2 1 2也隨之確定，這正是擬定下一步解題計劃的關(guān)鍵.f(1)-

f(2) 1 nx-nx nx-nx -2nx-1+a 1 221 222由于 -x2x2-x2-x2

1 x-xx

，結(jié)合f(1)-

f(2)

1 x-xx

22a,所以-x2-2等價于 2 2 .2這樣，我們成功的將含有x,x的雙變量不等式證明問題轉(zhuǎn)化為含有單一變1 2量的常規(guī)不等式證明問題.此時，對絕大多數(shù)學(xué)生而言，后續(xù)問題的處理不再是難點.設(shè)函數(shù)g(x)=1-x，由（1）知，g(x)在(0,)單調(diào)遞減，又g，x1 -x

f(1)-

f(2)-2x從而當x?x)時，g(x)<0.所以 2 2 ，即2

.-x2xf(x)=e-lnx-a．xx（1）若f(x)30，求a的取值范圍；（2）證明：若f(x)有兩個零點,x2，則x2f

?è ?-1ex-1?è ?試題分析，難點突破：f(x)的定義域為(0,)，?? ?? x x x2÷ x111ex 11

x-11?=?- ÷x x-

xx

?x+f(x),得x.è ? è ? è ?當x?fx)f(x)單調(diào)遞減,當x?),fx)f(x)單調(diào)遞增，∴f(x一個零點小于1,一個零點大于1.不妨設(shè)11x2.可以發(fā)現(xiàn)，與試題二一致，這里1,x2為兩個有關(guān)變量，那么能否像試題二那樣將含有1,x2的雙變量不等式證明問題直接轉(zhuǎn)化為含有單一變量的常規(guī)不等式證明問題呢？答案是否定的.e由x,x為f(x)的兩個零點，得 lnxx

exa lnx

xa0，因此xx1 2 1 1 2 2xx1 212我們無法像試題二那樣利用xx12

1這一關(guān)系直接消元將原問題轉(zhuǎn)化為含有單一變量的常規(guī)不等式證明問題，必須尋找新的解題突破口，如何利用x,x為f(x)1 2的兩個零點，即f(x)f(x)是制定下一步解題計劃的關(guān)鍵.考慮到要證明xx11 2 12，即證明x

1.由于函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，只需證f(x)f( ).11 1xx2 2x? xfx >f x 因為f(1)=f(2),即證

(2)

? e

1lnx-xe

lnx-1x?)èx2? x xex 1 é

1? 1即證 e 2lnx

2è x?

0.至此，利用題目條件將原不等式證明問題轉(zhuǎn)化-xx-

êx-

?x-? ?為含有單一變量的常規(guī)不等式證明問題.ex 1

1? 1?

ex 1下面證明x時，

-xexlnx-

?x-.設(shè)g(x)= -xex,x，1?x

x?1 1x x

?1

2è x?1?1?x

x?x1 1??x則x-

x2x2

x-ex÷è ? è

è

è ? è ??

1

1?ex

x-1?

1?-ex֏ xx

?x

xèx

?? 1j x=e

x,j￠x-

1 x x-1x= e

j(x)>j設(shè)() ( ) ()=? 2 2

,所以 ,而ex,所xex 1

èx x? x以 -ex,所以,所以g(x))單調(diào)遞增,即g(x),所以xex 1-xex.xh(x)x-1?x-1x

=-

2 2= 令 ? ? ，

1 1?

1?2x-x-1

-(x-2è x?

x 2è

x2?

2x2

2x2?x所以h(x))單調(diào)遞減，即h(x),所以lnx-1??x2

1?x.ex 1 é

è ?1? 1綜上所述, x

e 2ln

2è x?

0,所以12 .-xx-

êx-

?x-

xx? ?二、總結(jié)與提升解題重在解，貴在思，解前思，解后更要思.對比試題一、二、三的解題過程，你會發(fā)現(xiàn)，解決雙變量問題時的關(guān)鍵點在于首先判斷兩個變量是否為無關(guān)變量，若為無關(guān)變量可采用主元法，利用分而治之的策略處理；若為有關(guān)變量，還需進一步明確能否利用兩變量的關(guān)系直接消元，將問題直接轉(zhuǎn)化為含有單一變量的相關(guān)問題，若不能直接消元，則可以考慮將目標問題等價轉(zhuǎn)化，最終實現(xiàn)消元，將問題直接轉(zhuǎn)化為含有單一變量的相關(guān)問題，而始終貫穿其中的核心思想是“消元”.實際上，近年的部分高考試題突出地考察了上述提到的雙變量問題的基本處理策略.三、應(yīng)用與拓展f(x)=ex

-1,x2，函數(shù)f(x)的圖象在點A1,f(1)和點Bx2,f(x2)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于|AM|M，N兩點，則|BN|取值范圍是 ．x1-ex,xx-ex,xf x解析：由題意，f(x)=e

-1，則ex-x30)=í ，ex,x所以點()和點()，

x x,A,1-e

Bx2,e-1

k e,kM N所以-M N

e，所以 ( ) ( )，AM:y-e x-,M

0,e-e2 x 2 2x所以AM=

xx)

=

，1 1 1同理BN=

1+e2x2,MNMN2

1+e21e21e21e21e21e-2121+e2x2

e?故答案為：(0,1)f(x)=xlnx).（1）討論f(x)的單調(diào)性；+（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb-b，證明：2<1 1.+a b解析：（1）略（2）由blna-alnb-b得1(1-ln1)

=1(1-ln1)，即=

f(1)=f(1)．由a≠b，得111．a(chǎn) b

a a b b a b令x1,x

1，則f(x)f(x).原問題轉(zhuǎn)化為證明：2xx

e.顯然，這里兩1 a 2 b 1 2 1 2個變量1,x2有關(guān)，所研究的問題涉及極值點偏移[1]，那么如何利用函數(shù)在1,x212處函數(shù)值相等這一關(guān)鍵條件呢？這里僅以證明右側(cè)不等式xx12

e為例探究.由（1）知f(x)在上單調(diào)遞增，在)上單調(diào)遞減，且f'0.不妨1 2設(shè)0x11 21 1 2 2 1

xxe，即證xex

，只需證f(x)f(ex).2 11 22 11 2 1 1

x)f(x)，只需證f(x)f(ex).構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)f(ex),0x1，則g'(x)lnx(ex),0x1.e e2h(x)x(ex)(x)2 在()上單調(diào)遞增，且h(0),h)e11,2 40 0 0使得x(0,x)時h(x)1,x(x時h(x)1.0 0 0x(0,x),g'(x)0,g(x)單調(diào)遞增，x(xg'(x)0,g(x)單調(diào)遞減.0 0實際上，函數(shù)g(x)在區(qū)間(x,e)也單調(diào)遞減，g(e)f(e)f(ee)0.02 2 2 2又x

0時，f(x)lnx)g(x)f(x)f(ex)0.g(x)0,x恒成立，證畢.方法二、由f(1)f(x2)

得11-ln1)21-lnx2),

1(1-lnx)1-lnx.xx1 2xx1 2不妨設(shè)1x2，令

tx2x1x

，則t(1ln(tx))1lnx,lnx

ttlnt1t1

1tlnt(t1).t11 1 1要證明：1x2e，只需證：t)1,lnt)ln11.1 1 1因此只需證：ln(t1)1tlnt1，即證：(tln(t1)tlnt0(t1).t1令g(t)(tln(t1)tlnt，t1.' 1 2 1 2

1t則g(t)) 0,(t1)，g(t)單調(diào)遞減.t t1 t t1 t(tg(t)0在區(qū)間(1,)上恒成立，證畢.方法三、如圖，f(x)lnx)在xe處的切線為yxe且，f(x)xe,x(0,e).22f(x)x22

e,

f(x)e,21 2 1 2x2xxxf(x21 2 1 2x2

xf(x)exlnxee,證