中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專(zhuān)練銳角三角函數(shù)（含解析）

熱點(diǎn)17銳角三角函數(shù)【命題趨勢(shì)】銳角三函數(shù)是中考數(shù)學(xué)中必考內(nèi)容之一，所占比例8—15分，題目數(shù)量2-3題。一般小題會(huì)有一個(gè)，一般為填空或計(jì)算，考查學(xué)生對(duì)幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值的記憶情況。大題一般也會(huì)有一題，主要是考查銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，往往會(huì)結(jié)合仰角和俯角，坡度等概念進(jìn)行設(shè)計(jì)問(wèn)題，當(dāng)然在其他解答題中也可能會(huì)用到三角函數(shù)，比如在計(jì)算一些線(xiàn)段長(zhǎng)度，會(huì)與解直角三角形，或者與圓、四邊形結(jié)合而形成難度中等的解答題?！緷M(mǎn)分技巧】整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)二．重點(diǎn)知識(shí)1.Rt△ABC中(1)∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)(3)∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)(4)∠A的鄰邊與對(duì)邊的比值是∠A的余切，記作cota＝EQ\f(∠A的鄰邊,∠A的對(duì)邊)2.特殊值的三角函數(shù)：asinacosatanacota30°EQ\f(1,2)EQ\f(\r(3),2)EQ\f(\r(3),3)EQ\r(3)45°EQ\f(\r(2),2)EQ\f(\r(2),2)1160°EQ\f(\r(3),2)EQ\f(1,2)EQ\r(3)EQ\f(\r(3),3)【限時(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：30分鐘）選擇題1.如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，過(guò)C作CD⊥AB于D，則∠ADC＝90°，∴AC＝eq\r(AD2+CD2)＝5．∴sin∠BAC＝EQ\F(CD,AC)＝EQ\F(4,5)故選：D．2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分線(xiàn)EF交AC于點(diǎn)D，連接BD，若cos∠BDC＝，則BC的長(zhǎng)是（）A．10 B．8 C．4 D．2【答案】D【解析】∵∠C＝90°，cos∠BDC＝EQ\F(5,7)，設(shè)CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2EQ\R(6)x，∵AB的垂直平分線(xiàn)EF交AC于點(diǎn)D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2EQ\R(6)；故選：D．3.如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線(xiàn)段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+BD的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．10【答案】B【解析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝EQ\F(BE,AE)=2，設(shè)AE＝a，BE＝2a，則有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2EQ\R(5)或﹣2EQ\R(5)（舍棄），∴BE＝2a＝4EQ\R(5)，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4EQ\R(5)（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4EQ\R(5)，∴CD+BD的最小值為4EQ\R(5)．故選：B．4.如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A(yíng)港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（）km．A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30【答案】B【解析】根據(jù)題意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，過(guò)B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C兩港之間的距離為（30+10）km，故選：B．5.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E。若DE=1，則BC的長(zhǎng)為A.2+B.C.2+D.3【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F如圖所示，∵AD為∠BAC的平分線(xiàn)，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=，故選A6.2sin60°的值等于（）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】2sin60°＝2×＝，故選：C．7.如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊（OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，則點(diǎn)A到OC的距離等于（）A．a(chǎn)sinx+bsinx B．a(chǎn)cosx+bcosx C．a(chǎn)sinx+bcosx D．a(chǎn)cosx+bsinx【答案】D【解析】作AE⊥OC于點(diǎn)E，作AF⊥OB于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a?cosx+b?sinx，故選：D．8.如圖，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把紙片ABCD交叉疊放在紙片EFGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點(diǎn)D與點(diǎn)G重合．當(dāng)兩張紙片交叉所成的角α最小時(shí)，tanα等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，∵∠ADC＝∠HDF＝90°∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°∴△CDM≌△HDN（ASA）∴MD＝ND，且四邊形DNKM是平行四邊形∴四邊形DNKM是菱形∴KM＝DM∵sinα＝sin∠DMC＝∴當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，兩張紙片交叉所成的角a最小，設(shè)MD＝a＝BM，則CM＝8﹣a，∵M(jìn)D2＝CD2+MC2，∴a2＝4+（8﹣a）2，∴a＝EQ\F(17,4)∴CM＝EQ\F(15,4)∴tanα＝tan∠DMC＝EQ\F(CD,MC)=\F(8,15)故選：D．9.為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開(kāi)展了尋找古樹(shù)活動(dòng)．如圖，在一個(gè)坡度（或坡比）i＝1：的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹(shù)CD．測(cè)得古樹(shù)底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC＝26米，在距山腳點(diǎn)A水平距離6米的點(diǎn)E處，測(cè)得古樹(shù)頂端D的仰角∠AED＝48°（古樹(shù)CD與山坡AB的剖面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹(shù)CD與直線(xiàn)AE垂直），則古樹(shù)CD的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈，cos48°≈，tan48°≈）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】如圖，∵＝1：＝，∴設(shè)CF＝5k，AF＝12k，∴AC＝＝13k＝26，∴k＝2，∴AF＝10，CF＝24，∵AE＝6，∴EF＝6+24＝30，∵∠DEF＝48°，∴tan48°＝＝＝，∴DF＝，∴CD＝﹣10＝，答：古樹(shù)CD的高度約為米，故選：C．10.小菁同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中測(cè)量路燈的高度．如圖，已知她的目高為米，她先站在處看路燈頂端的仰角為，再往前走3米站在處，看路燈頂端的仰角為，則路燈頂端到地面的距離約為（ ）（已知，，，，，A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，，，，，，，，，，故選：C．二、填空題11.在△ABC中∠C＝90°，tanA＝，則cosB＝．【答案】EQ\F(1,2)【解析】利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，設(shè)a＝x，b＝3x，則c＝2x，∴cosB＝＝．故答案為：．12.如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接PD，則tan∠APD＝．【答案】2【解析】連接AF，∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，∴CF＝BE，，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BPE＝∠APF＝90°，∵∠ADF＝90°，∴∠ADF+∠APF＝180°，∴A、P、F、D四點(diǎn)共圓，∴∠AFD＝∠APD，∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，故答案為：2．13.如圖，半徑為的⊙O與邊長(zhǎng)為8的等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切，連接OC，則tan∠OCB＝．【答案】EQ\F(\R(3),5)【解析】連接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O與等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，∴tan∠OBC＝，∴BD＝＝＝3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB＝＝．故答案為．14.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中點(diǎn)，將△CBH沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則tan∠HAP＝．【答案】EQ\F(4,3)【解析】如圖，連接PB，交CH于E，由折疊可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，又∵H為AB的中點(diǎn)，∴AH＝BH，∴AH＝PH＝BH，∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠HEB＝90°，∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE，又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，∴tan∠HAP＝，故答案為：．15.如圖，一塊含有角的直角三角板，外框的一條直角邊長(zhǎng)為，三角板的外框線(xiàn)和與其平行的內(nèi)框線(xiàn)之間的距離均為，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)______（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】14+16EQ\R(2)【解析】如右圖：過(guò)頂點(diǎn)A作AB⊥大直角三角形底邊由題意：∴=∴=16.計(jì)算：×﹣tan45°＝．【答案】EQ\R(3)-1【解析】×﹣tan45°＝﹣1＝﹣1，故答案為：﹣117.如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝（x＜0）的圖象上，則tan∠BAO的值為．【答案】EQ\R(5)【解析】過(guò)A作AC⊥x軸，過(guò)B作BD⊥x軸于D，則∠BDO＝∠ACO＝90°，∵頂點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y＝（x＞0）與y＝（x＜0）的圖象上，∴S△BDO＝，S△AOC＝，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∴△BDO∽△OCA，∴＝（）2＝＝5，∴＝，∴tan∠BAO＝＝，故答案為：．18.(2019四川省自貢市)如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cos（α+β）＝．【答案】EQ\F(\R(21),7)【解析】給圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，連接DE，如圖所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則AE＝2a，DE＝2×sin60°?a＝EQ\R(3)a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案為：．19.在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，則cosC＝．【答案】EQ\F(\R(3),2)或eq\f(2\r(5),5)【解析】若∠B＝90°，設(shè)AB＝x，則AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；若∠A＝90°，設(shè)AB＝x，則AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；綜上所述，cosC的值為或．故答案為或．20.四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，矩形按箭頭方向變形成平行四邊形，當(dāng)變形后圖形面積是原圖形面積的一半時(shí)，則．【答案】30°【解析】，平行四邊形的底邊AD邊上的高等于A(yíng)D的一半，．故答案為：30°三、解答題21.(2019天津市)如圖，海面上一艘船由西向東航行，在A(yíng)處測(cè)得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為31°，再向東繼續(xù)航行30m到達(dá)B處，測(cè)得該燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為45°，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算這座燈塔的高度CD（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，，．【解析】在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，則AD＝≈CD，在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，∴BD＝CD，∵AD＝AB+BD，∴CD＝CD+30，解得，CD＝45，答：這座燈塔的高度CD約為45m．22.如圖是把一個(gè)裝有貨物的長(zhǎng)方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車(chē)貨廂的示意圖．已知汽車(chē)貨廂高度BG＝2米，貨廂底面距地面的高度BH