三角形與多邊形（知識點串講）（原卷版）

專題17三角形與多邊形考點總結(jié)【思維導圖】【知識要點】知識點一三角形的概念三角形的概念

：由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。三角形特性（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號“Δ”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”。三角形按邊分類

：等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。等邊三角形：底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形，即三邊都相等。三角形三邊的關(guān)系（重點）

（1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

三角形的任意兩邊之差小于第三邊。（這兩個條件滿足其中一個即可）

用數(shù)學表達式表達就是：記三角形三邊長分別是a，b，c，則a＋b＞c或c－b＜a。（2）

已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a－b|＜c＜a＋b

考查題型一三角形的三邊關(guān)系1．（2018·湖南中考真題）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm2．（2018·湖南中考真題）已知三角形兩邊的長分別是3和7，則此三角形第三邊的長可能是（）A．1 B．2 C．8 D．113．（2018·貴州中考真題）已知一個三角形的兩邊長分別為8和2，則這個三角形的第三邊長可能是（）A．4B．6C．8D．104．（2018·四川中考模擬）已知a、b、c是△ABC的三條邊長，化簡|a＋b－c|－|c－a－b|的結(jié)果為()A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0三角形的分類：三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關(guān)系分類如下：直角三角形（有一個角為直角的三角形）三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）1．（2018·湖南中考模擬）下列說法正確的是（

）A．按角分類，三角形可以分為鈍角三角形、銳角三角形和等腰直角三角形B．按邊分類，三角形可分為等腰三角形、不等邊三角形和等邊三角形C．三角形的外角大于任何一個內(nèi)角D．一個三角形中至少有一個內(nèi)角不大于60°2．（2019·陜西中考模擬）等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，則這個三角形周長是（）A．9cmB．12cmC．9cm或12cmD．14cm三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性

四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性

要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了。1．（2011·四川中考真題）王師傅用4根木條釘成一個四邊形木架，如圖．要使這個木架不變形，他至少還要再釘上幾根木條？（）．A．0根 B．1根 C．2根 D．3根2．（2019·山東中考模擬）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）A．正方形B．長方形C．等腰三角形D．平行四邊形3．（2019·福建廈門一中中考模擬）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．知識點二與三角形有關(guān)的線段三角形的高概念：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）?？疾轭}型二利用三角形的高的性質(zhì)的解題方法1．（2017·安徽蘆集初級中學中考模擬）如圖，AD，CE是△ABC的兩條高，已知AD=10，CE=9，AB=12，則BC的長是（）A．10 B． C．12 D．152．（2013·江蘇中考模擬）如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點E，如果△CDE的面積為3，△BCE的面積為4，△AED的面積為6，那么△ABE的面積為（）A．7B．8C．9D．103．（2019·沭陽縣修遠中學中考模擬）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度數(shù)．三角形的中線概念：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。性質(zhì)：三角形三條中線的交于一點，這一點叫做“三角形的重心”。三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個小三角形?？疾轭}型三利用三角形的中線解決面積計算問題1．（2011·湖北中考真題）如圖，在△ABC中，E是BC上的一點，EC＝2BE，點D是AC的中點，設(shè)△ABC，△ADF，△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，則S△ADF－S△BEF＝()A．1 B．2 C．3 D．42．（2018·江蘇省無錫金橋雙語實驗學校中考模擬）如圖，在△ABC中，已知D，E分別為邊BC，AD的中點，且S△ABC＝4cm2，則△BEC的面積為()A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2 D．0.25cm23．（2017·安徽蘆集初級中學中考模擬）如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．(1)∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度數(shù)；(2)作圖：在△BED中作出BD邊上的高EF；BE邊上的高DG；(3)若△ABC的面積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高EF為多少？若BE=6，求△BED中BE邊上的高DG為多少？三角形的角平分線概念：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。注意：三角形的角平分線是一條線段，角的平分線是一條射線?？疾轭}型四利用三角形的角平分線與平行線相結(jié)合解題方法1．（2019·開封市第五中學初二期中）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若∠A=46°，∠B=54°，求∠CDE的度數(shù).2．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，E為AC上一點，且DE∥BC（1）求證：DE=CE；（2）若∠A=90°，S△BCD=26，BC=13，求AD．3．（2019·邛崍市西橋九年制學校初一期中）如圖，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝80°，求∠EDC的度數(shù)．考查題型五利用三角形的角平分線性質(zhì)解題1．（2017·湖北中考模擬）如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，則∠CON的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°2．（2018·四川中考模擬）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，則∠DAC的大小是A．15° B．30° C．25° D．20°3．（2019·安徽中考模擬）如圖，點O在△ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等．若∠BOC＝120°，則tanA的值為（）A．3 B．33 C．32 D知識點三與三角形有關(guān)的角三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個銳角互余。②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。備注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。等角的補角相等，等角的余角相等。1．（2017·湖南中考真題）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形2．（2013·福建中考真題）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，則△ABC的形狀是（）A．等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形3．（2013·湖南中考真題）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°4．（2019·海口市靈山中學中考模擬）已知△ABC的三個內(nèi)角∠A，∠B，∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C＝3∠A，則此三角形（）A．一定有一個內(nèi)角為45° B．一定有一個內(nèi)角為60°C．一定是直角三角形 D．一定是鈍角三角形5．（2019·新疆中考模擬）如圖，AB∥CD，點E在線段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，則∠D為（）A．85° B．75° C．60° D．30°6．（2013·河北中考真題）一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1＋∠2等于()A．90° B．100° C．130° D．180°7．（2012·山東中考真題）如圖所示，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，則∠ACB等于（）A．40° B．75° C．85° D．140°三角形的外角和定理：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角性質(zhì)：1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。

2.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。1．（2018·內(nèi)蒙古中考模擬）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°2．（2018·山東中考模擬）如圖，已知a//b,∠1=120°,∠2=90°，則∠3的度數(shù)是()A．120° B．130° C．140° D．150°3.（2013·湖南中考真題）如圖，一副分別含有30°和45°角的兩個直角三角板，拼成如下圖形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，則∠BFD的度數(shù)是（）A．15° B．25° C．30° D．10°4．（2018·廣西中考真題）如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，則∠ECD等于（）A．40° B．45° C．50° D．55°5．（2019·廣西中考模擬）小桐把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=3A．150° B．180° C．6．（2019·貴州中考模擬）如圖，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=50°，則∠ACD=（）A．120° B．130° C．140° D．150°考查題型六三角形三線與三角形內(nèi)、外角綜合應(yīng)用1．（2019·湖南中考模擬）如圖，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC邊上的高，求∠DAE的度數(shù)．2．（2019·湖南中考模擬）已知如圖在△ABC中，∠ABC平分線與∠ACE的外角平分線相交于點P．若∠A＝70°，求∠P的度數(shù)．3．（2019·新寧縣第二中學中考模擬）如圖所示，在△ABC中，BO、CO是角平分線．（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度數(shù)，并說明理由．（2）題（1）中，如將“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改為“∠A＝70°”，求∠BOC的度數(shù)．（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度數(shù)．知識點四多邊形及其多邊形內(nèi)角和多邊形的相關(guān)知識：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形，多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做外角。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

一個n邊形從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對角線條數(shù)為n(n凸多邊形

：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形。

正多邊形

：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。（兩個條件缺一不可，除了三角形以外，因為若三角形的三內(nèi)角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）

多邊形的內(nèi)角和

n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°

n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)?？疾轭}型七多邊形對角線條數(shù)計算方法1．（2018·河北中考模擬）連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為多邊形的對角線．（1）對角線條數(shù)分別為、、、．（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數(shù)n的值；如果不可以，請說明理由．（3）若一個n邊形的內(nèi)角和為1800°，求它對角線的條數(shù)．2．（2018·河北中考模擬）已知n邊形的對角線共有n(n-3)2條（n（1）五邊形的對角線共有_____條；（2）若n邊形的對角線共有35條，求邊數(shù)n；（3）若n邊形的邊數(shù)增加1，對角線總數(shù)增加9，求邊數(shù)n．考查題型八利用多邊形內(nèi)、外角和求邊數(shù)1．（2019·廣東中考模擬）如果n邊形每一個內(nèi)角等于與它相鄰外角的2倍，則n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2018·遼寧中考模擬）一個多邊形內(nèi)角和是外角和的2倍，它是()A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形3．（2019·廣東可園中學中考模擬）一個多邊形的每個外角都等于30°，則這個多邊形是_____邊形。4．（2017·安徽蘆集初級中學中考模擬）一個多邊形，它的內(nèi)角和比外角和的4倍多180°，求這個多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和度數(shù)．考查題型九正多邊形的外角和應(yīng)用方法1．（2019·青海中考真題）如圖所示，小華從A點出發(fā)，沿直線前進10米后左轉(zhuǎn)20°，再沿直線前進10米，又向左轉(zhuǎn)20°，，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走的路程是A．200米 B．180米 C．160米 D．140米2.（2019·山