彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)翻譯-第七章

冰蕊工作室7、塑性7.1介紹兩個基本因素控制彈性的發(fā)展，一個是加載過程的完全可逆性，當(dāng)一個使物體產(chǎn)生應(yīng)變的力消失，物體就立刻回到未加載力之前；第二個因素說明在荷載作用下物體的變形或者應(yīng)變只取決于最終的應(yīng)力，與加載過程和路徑無關(guān)，因此彈性行為可以視為一個點函數(shù)，因為任何產(chǎn)生的應(yīng)變可以通過初始應(yīng)力、終了應(yīng)力以及特定的比例常數(shù)來確定。但是當(dāng)塑性或者永久變形產(chǎn)生時這兩個因素就不明顯了。為了產(chǎn)生塑性變形或者塑性流，應(yīng)力必須超過屈服應(yīng)力。如果大大超過屈服應(yīng)力，許多固體（比如延性金屬）的變形或尺寸會一直打到一個很大的程度。另外，當(dāng)最終應(yīng)變形成，一個應(yīng)變元可以通過不同的加載方式使物體達(dá)到末狀態(tài)，因此當(dāng)荷載消失后不僅無法觀測到像彈性一樣的完全可逆現(xiàn)象，末狀態(tài)也取決于荷載的加載過程而不只是初應(yīng)力和末應(yīng)力狀態(tài)。這個發(fā)現(xiàn)意味著塑性變形是一個過程函數(shù)，需要增量應(yīng)變在應(yīng)變過程上的累積來確定總的應(yīng)變。在研究塑性的時候至少可以采取三種很明顯的方式。1、在考慮應(yīng)力應(yīng)變分布滿足規(guī)定的邊界條件的情況下，通過材料的性質(zhì)來建立理想模型。這個被稱作宏觀塑性理論，很類似于長久以來的彈性理論。2、應(yīng)用于金屬物理學(xué)的方法。在這種方法中，實際固體中單晶體變形方式建立于研究的基礎(chǔ)，通過一個物體內(nèi)部聯(lián)系從單晶體擴展到多晶體的聚集從而形成整個構(gòu)件。這種方法通常被工程師運用。這個叫做微觀塑性理論。3、技術(shù)的方法。通過尋求某些現(xiàn)象學(xué)的規(guī)則，運用實驗觀察實際物體材料在宏觀尺寸上的數(shù)學(xué)表達(dá)式。這確保在一般意義上的設(shè)計上可以預(yù)測材料的屬性，這可能被叫做宏觀工程塑性。這種方法在本章中是重點。7.2彈性和塑性的比較為了方便，許多上述的說明被總結(jié)成表格的形式。在這種方式有個直接的比較，很明顯的揭示了這兩種性質(zhì)的主要區(qū)別。由于屈服的開始和表現(xiàn)是我們優(yōu)先考慮的，所以我們會用不同的模型來解釋上述的物理過程。對于下面的幾個模型，我們做幾個假設(shè)。固體是各向同性的并且是均質(zhì)的。拉伸和壓縮對屈服是等效的。沒有把司機效應(yīng)。體積改變是微小的。膨脹系數(shù)等于0，泊松比為1/2。盡管這個比是彈性常數(shù)，把這個理論運用到塑性中來也沒有什么含糊的。平均正應(yīng)力的大小和靜水效應(yīng)的形成不影響屈服。忽略應(yīng)變速率的影響。溫度影響不考慮。注意到假設(shè)3和4通過鑄鐵上的實驗很好驗證，但是在許多聚合物上不成立。7.3塑性變形的模型純塑性固體完全塑性行為在許多分析研究上應(yīng)用廣泛。這種情況下當(dāng)應(yīng)力達(dá)到一個標(biāo)準(zhǔn)值變形就會產(chǎn)生（彈性模量E無窮大），然后會產(chǎn)生無止境的變形只要有不斷的應(yīng)力流施加。然后什么都不會出現(xiàn)直到固體發(fā)生破裂。圖7.1所示是一個較合理的模型。注意以下的說明：只要施加的荷載一直在增加，沒有任何位移產(chǎn)生直到某個特定的F值。一旦產(chǎn)生位移，變形就會隨時間持續(xù)不斷的進(jìn)行。力F1直接決定屈服應(yīng)力Y。只要力F1卸載，物體沒有任何恢復(fù)（如F-δ平面陰影面積所示）。δ1產(chǎn)生的永久變形將會被保留。變形過程中物體不會硬化。這意味著沒有應(yīng)變硬化效應(yīng)。線性應(yīng)變硬化固體線應(yīng)變硬化固體在某種程度上比前面提到的模型更加符合實際情況，因為它包含在固體，尤其是延性金屬中觀測到的應(yīng)變硬化的影響。這種模型中塑性變形也必須到達(dá)某個特定的應(yīng)力值，但是不斷的變形需要應(yīng)力的不斷增加。這在圖7.2中反映出來。下面提到的效應(yīng)需要被注意：只有當(dāng)施加的力F到達(dá)某個固定的F0值時并且產(chǎn)生初始的應(yīng)力流Y0才會產(chǎn)生位移。只有當(dāng)施加的應(yīng)力Y以Y=Y0+f（ε）的形式增加時位移才會不斷的增加，f（ε）和線的斜率有關(guān)。這和模量E很類似。在這個模型中，應(yīng)力硬化產(chǎn)生，應(yīng)力增加導(dǎo)致塑性變形從而誘發(fā)了更深一度的變形。非線性的應(yīng)變硬化固體冪指數(shù)形式的變化性質(zhì)更好地解釋了許多固體應(yīng)變硬化的現(xiàn)象。圖7.3揭示了這個模型。這里需要指出的是：除了應(yīng)變硬化是以非線性的速率進(jìn)行的，其他現(xiàn)象都和前面的那個模型相同，指數(shù)0<n<1。最后，通過在變形的初始階段增加一個直線段就可以把彈性效應(yīng)的的影響歸納到以上三個模型中去，這個斜率是一個定值的非無窮大的彈性模量。許多情況下要考慮塑性應(yīng)變，因為塑性應(yīng)變的量級要比彈性大，通過滿足下面三個情況可以很容易的忽略彈性的影響：當(dāng)彈性效應(yīng)的ν小于二分之一時來確定體積改變。通過忽略這個效應(yīng)可以引進(jìn)體積守恒的概念。卸載后的變形恢復(fù)屬于彈性恢復(fù)。因此，對這一結(jié)果做一臨時考慮，以上的模型無法解釋這一現(xiàn)象。也要注意的是，這種情況符合彈性恢復(fù)，但連續(xù)不斷的彈性應(yīng)變伴隨不斷增加的塑性流。如果彈性和塑性應(yīng)變在同一個量級，那么上述的模型就無法成立除非彈性比例被包含在上面提到的情況中。7.4屈服軌跡和屈服表面由于我們假定塑性流中物體是均質(zhì)、各向同性、沒有巴斯基效應(yīng)、具有不可壓縮性，并且不受靜水應(yīng)力的的影響，在所有的法則中必須有條件用來判定屈服的開始。二維應(yīng)力平面圖已經(jīng)被用于預(yù)測上述的假設(shè)。我們假定單個應(yīng)力是所有應(yīng)力的組成部分，在解決這類問題中應(yīng)力被視為矢量。這就類似于相對于一個新的坐標(biāo)軸的變形，也只能這么理解。這種情況只適用于主應(yīng)力并且其中有一個應(yīng)力為0（因為是平面應(yīng)力情況）。我們使用一個σ1-σ2平面圖來說明。因為拉伸和壓縮是等效的，所以彈性范圍—Y<σ1<Y，又由于各向同性，—Y<σ2<Y。因此，在σ1-σ2應(yīng)力平面內(nèi)出現(xiàn)了四個點，到達(dá)這四個點意味著屈服應(yīng)力的產(chǎn)生。一個可接受的但是更加復(fù)雜的屈服應(yīng)力狀態(tài)理論已經(jīng)被提出。這需要理解什么是彈性范圍和屈服點，這涉及應(yīng)力極限這一概念。圖7.4展示了屈服極限的開端。在二維應(yīng)力平面中，±Y四點落在了屈服軌跡上，假設(shè)材料受到的應(yīng)力如點A所示，然后當(dāng)增加一個σ2后應(yīng)力保持平衡。在一些點上，如B點，彈性變形結(jié)束，我們制定B為屈服點。必須注意的是在一個或者兩個方向施加相同的荷載可以使應(yīng)力軌跡沿著OB，這樣上述B點發(fā)生的屈服同樣可以發(fā)生。因此，要到達(dá)屈服點B，可以通過無數(shù)種不同的加載路徑；并且直到屈服前，所有的應(yīng)變都是彈性的。使用許多種加載方式，到達(dá)最終屈服點，所描述的軌跡區(qū)分了彈性應(yīng)力（在軌跡包含的區(qū)域內(nèi)）和軌跡自身所顯示的屈服。考慮到這個模型包含應(yīng)變硬化，這就意味著這個效應(yīng)將增加屈服應(yīng)力和新的應(yīng)力流。在本教材中像這類屈服的值達(dá)到單軸拉伸屈服應(yīng)力時，施加的應(yīng)力狀態(tài)就會使物體屈服。因此：馮麥瑟斯法則：=1/[（σ1—σ2）2+（σ2—σ3）2+（σ1—σ3）2]1/2特斯卡法則：=|σmax—σmin|當(dāng)?shù)闹狄驗棣?，σ2和σ3的大小變化到Y(jié)時，每個法則都顯示物體已經(jīng)屈服。然而，根據(jù)馮麥瑟斯法則，當(dāng)?shù)竭_(dá)k時發(fā)生屈服而根據(jù)特斯卡準(zhǔn)則到2K時才會發(fā)生屈服。這兩個法則可以通過許多方式來表示，但是我們要知道它們都不符合自然定律，因為初始假設(shè)是根據(jù)數(shù)學(xué)方法而不是物理方法得出的。但是令人驚奇的是這兩個假設(shè)和物理上實際觀測到的現(xiàn)象很接近。例題7.2使用馮麥瑟斯準(zhǔn)則重新預(yù)測例題7.1的屈服應(yīng)力。使用式（7.7）：解法：[(σ1—0)2+（0—（-30））]2+（-30—σ1）2=2（50）2σ12+900+900+60σ1+σ12=5000σ12+30σ1—1600=0σ1=解得σ1=—57.72或者+27.72ksi根據(jù)提議+27.72ksi是正確解。負(fù)值-57.75ksi如果是正確的就表示壓應(yīng)力。注意這兒的τmax等于Y/，例題7.1中τmax等于Y/2.通過圖7.7我們可以知道這兩個法則不受σm的影響，偏應(yīng)力（作為切應(yīng)力的函數(shù)）被認(rèn)為是主導(dǎo)因素。假想在初始狀態(tài)，每個應(yīng)力分量都加9，那么σ1=48，σ2=17，σ3=13，新的平均應(yīng)力σm=26，最大圓圓心在σ=30.5處，τmax=17.5.注意到應(yīng)力偏量σ1，=22，σ2，=-9，σ3，=-13，那么σm的移動既不改變圓大小也不影響應(yīng)力偏量大小，記：（σ，2，σ，3類似表示方法）所以應(yīng)力偏量是切應(yīng)力的函數(shù)（如（（σ1—σ2）/2=τ12）許多實際問題可以簡化到雙軸問題上來解決?？紤]一個問題：σ2=0，如果畫σ1—σ3應(yīng)力圓，圖7.8是特斯卡法則的圓，圓7.9是馮麥瑟斯法則的應(yīng)力圓。合并這兩個圖，就得到圖7.10.圖7.10所示，不同加載路徑產(chǎn)生的不同常數(shù)應(yīng)力比最大值在不同準(zhǔn)則中在α=—1（純剪切）或α=1/2或α=2.我們也可以發(fā)現(xiàn)兩個準(zhǔn)則中某些點重合。橢圓形外接于六邊形，僅僅因為兩個重合點上的值時式7.8和7.9中單軸拉伸和壓縮屈服應(yīng)力的值Y。7.8扭曲能一個隊麥瑟斯法則的解釋是彈性致使扭曲到某個特定值時發(fā)生屈服。在一般理論方法上我們觀察到，這個應(yīng)變能等于總的彈性應(yīng)變能減去膨脹應(yīng)變能、單位體積總應(yīng)變能可以表示為：Wv=1/2(σxεxx+σyεyy+σzεzz+τxyγxy+τyzγyz+τzxγzx)(7.10)或者以主應(yīng)力的形式：Wv=1/2(σ1ε1+σ2ε2+σ3ε3)（7.11）為了表示式（7.1）是切應(yīng)力的函數(shù)，使用式（7,1）的胡克定律的形式可以表示為：Wv=1/2E(σ12+σ22+σ32)—ν/E(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3)（7.12）由于只有正應(yīng)力引起體積變化，體積膨脹可表示為：Δ=ε1+ε2+ε3=（1—2ν）/E（σ1+σ2+σ3)=3/E（1—2ν）σm（7.13）σm和正應(yīng)力是等價的，因為Δ=3σmεm=（1—2ν）/Eσm（7.14）由于是膨脹做功，最終我們可以得到：Wd=（1—2ν）/6E（σ1+σ2+σ3)2（7.15）從式（7.12）中減去（7.15）就可以得到切應(yīng)變能量Ws，經(jīng)過運算Wd可表示為：Ws=1/12G[(σ1—σ2）2+（σ2—σ3）2+（σ1—σ3）2](7.16)在單軸拉伸狀態(tài)下切應(yīng)變能σ2=σ3=0.Ws=σ12/6G（7.17）發(fā)生屈服時必會產(chǎn)生一個特定的值Wsc，此時σ1=Y。設(shè)式（7.16）等于這一值。1/12G[(σ1—σ2）2+（σ2—σ3）2+（σ1—σ3）2]=Y/6G2（7.18）這式和（7.7）式一樣。這解釋了為什么麥瑟斯法則經(jīng)常被叫做扭曲能理論。它的物理意義是當(dāng)彈性能使扭曲達(dá)到一個特定的值時就會發(fā)生屈服。7.9正八面體切應(yīng)力對馮麥瑟斯法則的第二個物理解釋已經(jīng)被提出。為了簡便，考慮一個以主應(yīng)力方向定義的坐標(biāo)系，從原點發(fā)出的一條線的方向余弦相等l=m=n（這里我覺得夾角應(yīng)該都當(dāng)做小于90度）。其他空間中和這條線以及其他等價的線相垂直的平面被叫做正八面體平面，這八個等價平面的各個交點形成一個八面體。（發(fā)揮一下想象力應(yīng)該可以想出這個正八面體的形狀，雖然文字表述不怎么樣），第二章已經(jīng)翻譯過這一情況。σn=σ1l2+σ2m2+σ32（7.19）由于l=m=n=cos54。44，=1/,σn=1/3（σ1+σ2+σ3)，因此和這正八面體垂直的應(yīng)力等于σm。又因為σm不影響屈服，所以到達(dá)屈服時這個平面上的切應(yīng)力一定會達(dá)到某個值，雖然這兒沒有完全導(dǎo)出，這個應(yīng)力可以表示成如下方式：τ0=[(σ1—σ2）2+（σ2—σ3）2+（σ1—σ3）2]1/2/3(7.20)和7.8式相比就可得出，τ0=（7.21）考慮到多種因素的影響，這只是麥瑟斯準(zhǔn)則的另一個解釋。這本書剩下的內(nèi)容中，當(dāng)使用馮麥瑟斯法則時就會用到式（7.8）。7.10塑性應(yīng)力應(yīng)變流動準(zhǔn)則正如廣義胡克定律在彈性階段可以表示為：我們也需要在塑性階段類似的公式。這些流動準(zhǔn)則可以用一個簡單的方式表示，如下所示。我們可以想到，塑性變形階段判斷是否變形決定于力的加載路徑和過程，需要運用應(yīng)變增量?？紤]圖7.11在單軸拉伸狀態(tài)下的塑性流現(xiàn)在1方向的偏應(yīng)力在某個時刻應(yīng)力狀態(tài)如圖7.11，所以，由于體積守恒，總的塑性應(yīng)變增量為0，因此：由于此例中力的對稱性，因此，。這使得：，以上可以被寫成如下形式：（7.22）（這個常數(shù)不一定是—2，但是這個比值是個常數(shù)。）上面的式子表明應(yīng)變流增量和偏應(yīng)力之比是一個常數(shù)，和數(shù)值大小無關(guān)，幾個結(jié)論值得注意。1、上面的流動準(zhǔn)則推導(dǎo)過程很簡潔，實際上，這些都是必要但不充分條件，因為沒有實際的證明可以說明其他應(yīng)力狀態(tài)是否會導(dǎo)致相同的結(jié)果。2、式（7.22）解釋了布朗特-路易斯法則，但是彈性應(yīng)變增量被忽略了。3、式（7.22）和里維-麥瑟斯等式相同（里維-麥瑟斯等式比這個等式更早提出）?？偟膽?yīng)變增量被認(rèn)為和塑性應(yīng)變增量等價，因此，里維-麥瑟斯等式可以被視為布朗特-路易斯準(zhǔn)則的特殊形式。為了方便，流動準(zhǔn)則可以被表示為多種形式而不僅僅是（7.22）。它們是：（a）（7.23）（b）（7.24）（c）（7.25）注意到（7.25）式和廣義胡克定律很相似，式中1/E被代替，ν被1/2代替作為物體的不可壓縮性（即體積守恒）。系數(shù)不是常數(shù)但E是常數(shù)，它是一個比例因子。等效應(yīng)變增量，在這里的定義是下面的形式：（7.26）注意到這個等效應(yīng)力方程（7.8）很相似，這個系數(shù)定義為是因為，在單軸拉伸狀態(tài)下，；同樣的，在單軸拉伸狀態(tài)下，由于式（7.8）中的系數(shù)，使得。因為（7.8）和（7.26）中和都是正的，所以式（7.25）的比也是正的。通過塑性勢能的概念，在任何屈服準(zhǔn)則中都可以求偏微分。這種方法指出應(yīng)變增量是應(yīng)力產(chǎn)生的：（7.27）式中是屈服函數(shù)。如果使用麥瑟斯準(zhǔn)則：，然后可以推出：但是所以帶入上式，最終我們得到：形如（7.22）。流動準(zhǔn)則和特斯拉準(zhǔn)則之間沒什么聯(lián)系。我們已經(jīng)獲得塑性流動法則和任意的塑性功相符合的項?；蛘撸?.28）在這個式中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系被里維和麥瑟斯獨立提出，他們用總的塑性應(yīng)變增量代替總的增量。這個被修改后的適用于彈性應(yīng)變增量的式（7.28），布朗特提出了平面應(yīng)變部分，路易斯提出了任意的應(yīng)變狀態(tài)部分。根據(jù)式（7.28），由于塑性切應(yīng)變增量隨著切應(yīng)力而改變，應(yīng)力主軸也隨著塑性應(yīng)變增量改變，式（7.28）也表明應(yīng)力莫爾圓也可以被應(yīng)用于塑性應(yīng)變增量，通過把原點在軸的方向移動一個靜水應(yīng)力的距離。對于彈塑性材料，總的布朗特路易斯等式可以表示為：式中。對于不硬化的材料，被認(rèn)為是一個基本未知量，式（7.29）由以下兩個形式中的三個等式組成：在許多實際問題中，加載路徑和彈性應(yīng)變相對于u型應(yīng)變流來說很小。布朗特-路易斯等式可以被更具有實用價值的里維-麥瑟斯等式代替，它和（7.28）式類似，但是忽略上標(biāo)。這就等價于假定材料是剛塑性的。注意，塑性應(yīng)變和總的應(yīng)力有關(guān)，彈性應(yīng)變和應(yīng)力增量的改變有關(guān)。圖7.12闡明了這一點，圖7.12（a）中，一個應(yīng)力增量的改變導(dǎo)致了相對應(yīng)的應(yīng)力增量的改變，由于線性關(guān)系的存在。然而，在圖7.12（b）中，一個相等的應(yīng)力增量改變并不產(chǎn)生相對應(yīng)的應(yīng)變增量的改變；這和線的斜率有關(guān)，所以，在給定的題目中，特定的增量取決于總的應(yīng)力。（例題略）幾點必須注意：當(dāng)遇見大的塑性應(yīng)變時，忽略彈性應(yīng)變幾乎不會產(chǎn)生誤差。許多實際問題必須尋求近似的方法，因為變形并不一定遵循一個簡單路徑。許多類型的關(guān)系必須已知，如果想知道想計算出定量的解。上述的積分中較小的約束被認(rèn)為是0.物理上可以解釋為外部壓力為0，并且在施加應(yīng)力的時候沒有彈塑性應(yīng)變的存在。7.11正交性和屈服表面對于流動法則的物理解釋是，主應(yīng)力應(yīng)變軸是一致的。為了闡明這一觀點，把這些分量看作是矢量并且畫在三維或二維平面內(nèi)對理解這一觀點是有幫助的。再次強調(diào)這種方式和張力的移動無關(guān)。在圖中，應(yīng)力分量的方向和大小被定義為矢量。幾個解決正交性的方法已經(jīng)被提出，它們說明了總的應(yīng)變矢量垂直于屈服表面。最直接的證明歸功于杜克，這證明建立在塑性功是正值這一基礎(chǔ)上，證明結(jié)果是，任何可接受的屈服表面一定圍繞原點并且凸出，或者穿過這一表面的直線與它相交不超過兩個交點。兩個簡單的物理學(xué)例子將會幫助我們理解。首先考慮圖7.13.假定是正應(yīng)力，材料是各向同性的，兩個可能發(fā)生的形狀改變?nèi)鐖D所示。憑直覺判讀，（a）中形狀改變較之（b）更可能發(fā)生，應(yīng)力應(yīng)變方向應(yīng)該是一致的?，F(xiàn)在考慮靜止在平面上的物塊，如圖7.14所示。表面摩擦系數(shù)如圖中標(biāo)明。（b）圖中表示F的方向與圖（a）中的方向有個夾角。F必須克服摩擦阻力，物塊移動所做的功最大值時等于0。這是關(guān)于功的最大準(zhǔn)則，導(dǎo)致了能量的最大流失，從而降低了系統(tǒng)的總能量。（在熱力學(xué)概念中，外部系統(tǒng)做功為正值）我們可以推出，最大的塑性變形使材料產(chǎn)生變形。為了使這一推論成立，應(yīng)力矢量必須和屈服表面正交?，F(xiàn)在可以謹(jǐn)慎的指出，在可接受的范圍內(nèi)三維應(yīng)力空間中屈服表面的增大，和正應(yīng)力一致的坐標(biāo)系如圖7.15。主應(yīng)力的合力產(chǎn)生P的應(yīng)力狀態(tài)，其中,是應(yīng)力空間中應(yīng)力的總的合力。在坐標(biāo)系中，OH與三個坐標(biāo)軸夾角余弦相同（l=m=n=1/），。將op投影到OH線上，角ONP=；根據(jù)馮麥瑟斯準(zhǔn)則，當(dāng)時產(chǎn)生屈服，所以。因此，屈服路徑可以被表示成一個半徑為的圓，在正應(yīng)力空間中是一個空心圓柱，它的軸線穿過原點并與三個坐標(biāo)軸等傾角。圖7.16展示了這個三維的圖形，圖中既有馮麥瑟斯準(zhǔn)則的“圓柱”，也有特斯卡準(zhǔn)則的“等六面體”。注意平面切出的平面是我們很熟悉的描述兩個屈服準(zhǔn)則的屈服軌跡。通過在同一個坐標(biāo)系中疊加正應(yīng)變，應(yīng)變增量的和為，如圖所示；它和屈服表面垂直。由和組成，和軸和和的軸相同。因此，總的應(yīng)變矢量大小取決于屈服表面的形狀。只要P點落在這個平面內(nèi)就不會發(fā)生屈服，但是當(dāng)P逐漸逼近屈服表面，屈服就漸漸發(fā)生。注意ON代表靜水壓力，并且沿著ON移動（增加或者減少）不影響屈服發(fā)生。NP代表應(yīng)力分量，它決定屈服與否。如果應(yīng)力狀態(tài)投影面穿過O，垂直于OH的平面上（即沿著平行于OH的軸從上往下看這個圓柱），就產(chǎn)生了圖7.17.如前面提到的，這被稱為π平面，并且滿足等式=0.（即=0），與原坐標(biāo)系有120°的夾角。任何靜水應(yīng)力都與π平面垂直，所以它產(chǎn)生了塑性功，因為屈服表現(xiàn)擴大。再回看圖7.14，當(dāng)總的應(yīng)變矢量（圖7.16中的）垂直于屈服表面并且和總的應(yīng)力增量共線時，所做