基于行波理論的傳輸線動(dòng)態(tài)演化過程研究

基于行波理論的傳輸線動(dòng)態(tài)演化過程研究

1n結(jié)系統(tǒng)時(shí)間混沌的研究約瑟夫的結(jié)與josephson效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。在此基礎(chǔ)上，我們形成了科學(xué)分支的概念。Josephson效應(yīng)本質(zhì)上是一種非線性效應(yīng),因此Josephson結(jié)是一種非線性器件。自20世紀(jì)80年代以來,有關(guān)Josephson結(jié)電路系統(tǒng)中的非線性動(dòng)力學(xué)行為受到了學(xué)者們的關(guān)注,他們對低維Josephson結(jié)電路系統(tǒng)中時(shí)間混沌的研究取得了很多有意義的成果。B.A.Huberman等人首先發(fā)現(xiàn)了交流激勵(lì)下Josephson結(jié)中的混沌現(xiàn)象。隨后,M.Octavio進(jìn)一步詳細(xì)分析了射頻偏置下Josephson結(jié)中的分岔、混沌和間歇等行為。周鐵戈等研究了電阻-電容-電感并聯(lián)的Josephson結(jié)中的混沌行為,并提出了一個(gè)基于Josephson結(jié)的混沌通信方案。然而隨著電路工作頻率提高,特別是Josephson結(jié)經(jīng)常工作于微波輻射的環(huán)境中,電路中互連線的長度與傳輸線上電信號(hào)的波長相比已不能忽略,這時(shí)就需要將互連線看作是具有分布參數(shù)的傳輸結(jié)構(gòu)處理,即將電路考慮成一個(gè)無窮維系統(tǒng)。近年來,含傳輸線的無窮維電磁系統(tǒng)特別是系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象,引起了學(xué)者們的研究興趣。因此,本文構(gòu)造了一種含無損傳輸線的無窮維Josephson結(jié)電磁系統(tǒng),運(yùn)用行波理論經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo),得到了傳輸線左端點(diǎn)處電壓正向行波分量的Poincaré映射及傳輸線沿線電壓的離散映射關(guān)系。在此基礎(chǔ)上分別在不加偏置和加偏置兩種情況下,通過描繪傳輸線沿線電壓的空間振幅變化圖和時(shí)空行為發(fā)展圖,分析了無窮維電磁系統(tǒng)中復(fù)雜的時(shí)空混沌行為。2傳輸線中波的傳播t含無損傳輸線的Josephson結(jié)無窮維電磁系統(tǒng)模型如圖1所示。這里的Josephson結(jié)采用電阻分路結(jié),其歸一化伏安關(guān)系如式(1)V=g(Ι)={√Ι2-1,Ι＞10?-1≤Ι≤1-√Ι2-1?Ι＜-1(1)由上式可知,Josephson結(jié)的伏安特性為一個(gè)分段非線性奇函數(shù)。對于均勻無損傳輸線,其滿足的偏微分方程組的通解為v(x,t)=u+(t-x/c)+u-(t+x/c)(2)i(x?t)=1RC[u+(t-x/c)-u-(t+x/c)](3)其中u+(t-x/c)、u-(t+x/c)分別表示t時(shí)刻x處電壓的正向行波分量和反向行波分量,c=1/√L0C0為傳輸線中波的傳播速度,RC=√L0/C0為傳輸線的特性阻抗。利用(2)、(3)式,再結(jié)合電路中傳輸線兩端的邊界條件,同時(shí)作變量代換(t→t+d/c),可得含無損傳輸線Josephson結(jié)電磁系統(tǒng)左端點(diǎn)處(x=0)電壓正向行波分量u+(t)的局部Poincaré映射關(guān)系為u+(t)=f(u+(t-Τ))={λ?-(R2C+1)u+(t-Τ)-Ιs+RC√(2U+(t-Τ)+Ιs)2+(1-R2C)R2C-1?u+(t-Τ)＞RC-Ιs2-λu+(t-Τ)?-RC-Ιs2≤u+(t-Τ)≤RC-Ιs2λ?-(R2C+1)u+(t-Τ)-Ιs-RC√(2u+(t-Τ)+Ιs)2+(1-R2C)R2C-1?u+(t-Τ)＜-RC-Ιs2(4)其中(T=2d/c)為傳輸線上波的傳播周期,λ為左端點(diǎn)處電壓的反射系數(shù),其表達(dá)式為λ=u+(t)u-(t)=R-RCR+RC(5)3局部映射關(guān)系式t0傳輸線沿線電壓、電流均同時(shí)隨時(shí)間和空間而變化,需要用具有無窮多自由度的偏微分方程組來描述,這就給理論分析和數(shù)值計(jì)算帶來了困難。為了便于分析含無損傳輸線Josephson結(jié)電磁系統(tǒng)中復(fù)雜的時(shí)空行為,將空間變量和時(shí)空變量作如下方式的離散化:將長度為d的傳輸線沿x軸方向分成N等份,每一等份長度為Δx=d/N,則各空間離散點(diǎn)(格點(diǎn))的坐標(biāo)為x=i·Δx,i=0,1,2,…,N;取離散的時(shí)間步長為Δt=Δx/c=T/2N,各離散點(diǎn)的時(shí)間坐標(biāo)為t=n·Δt,n=0,1,2,…。假設(shè)已知電磁系統(tǒng)左端點(diǎn)電壓正向行波分量在初始周期[-T/2,T/2]內(nèi)的值u+(n0)(n0=0,1,2,…,2N-1),由局部映射關(guān)系式(4)可得u+(n+2N)=f(u+(n)),(n=n0+2kN,k=0,1,2,…)(6)根據(jù)式(2)、(5),可得傳輸線沿線電壓v(i,n)在t≥0時(shí)的離散映射關(guān)系式為v(i,n)=u+(Ν-i+n)+1λu+(Ν+i+n)(i=0,1,2,?,Ν;n=0,1,2,?)(7)通過(6)、(7)式就可以分析傳輸線沿線電壓在整個(gè)時(shí)空中的動(dòng)態(tài)發(fā)展行為。4時(shí)空行為的u+n-pcr本文通過改變左端點(diǎn)處電壓的反射系數(shù)λ來觀察系統(tǒng)中的時(shí)空行為。在數(shù)值計(jì)算中,設(shè)RC=0.9Ω,選取傳輸線長度為N=50。為了直觀地展示系統(tǒng)的時(shí)空行為,本文主要描繪傳輸線沿線電壓的空間振幅變化圖(space-amplitudeplot)和時(shí)空行為發(fā)展圖(space-timediagram)。在運(yùn)用(6)、(7)式計(jì)算每個(gè)格點(diǎn)在每次迭代的值之前,需要給定電磁系統(tǒng)左端點(diǎn)處電壓正向行波分量在初始周期內(nèi)的分布。不失一般性,選取u+(n)在初始周期內(nèi)的分布為如圖2所示的余弦波。下面分兩種情況:直流偏置電流為零和不為零時(shí),分析傳輸線沿線電壓的復(fù)雜時(shí)空行為。4.1傳輸線沿線電壓的時(shí)空行為當(dāng)Josephson結(jié)無窮維電磁系統(tǒng)中的直流偏置電流Is=0時(shí),從不同的初值出發(fā),傳輸線左端點(diǎn)處電壓正向行波分量隨參數(shù)λ變化的分岔情況如圖3所示。從圖中可以看到,對不同的λ值以及從不同的初值出發(fā),u+存在著周期1、周期2、…、混沌和周期吸引子共存、混沌吸引子共存等非線性動(dòng)力學(xué)行為。當(dāng)-1<λ<1時(shí),電壓正向行波分量局部映射u+處于周期1狀態(tài),這時(shí)傳輸線沿線電壓v(i,n)的時(shí)空行為也是平庸的,即所有格點(diǎn)的狀態(tài)都落在穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)u+f=0上。下面著重分析│λ│>1時(shí)的情形,限于篇幅,僅給出幾種典型情況下系統(tǒng)時(shí)空行為的仿真結(jié)果。圖4、5所示分別是λ取不同值時(shí),電磁系統(tǒng)傳輸線沿線電壓的空間振幅變化圖和時(shí)空行為發(fā)展圖。當(dāng)λ=1.1時(shí),局部映射u+處于周期2吸引子共存狀態(tài),這時(shí)傳輸線沿線電壓的時(shí)空行為如圖4(a)和圖5(a)所示。圖4所示的空間振幅變化圖是通過舍去一定的暫態(tài)過程的值,將傳輸線上各格點(diǎn)演化100個(gè)傳播周期的狀態(tài)值疊加在一起而得到。從圖4(a)中可以看到,此時(shí)各格點(diǎn)也處于周期2狀態(tài),而且在空間上出現(xiàn)了扭結(jié)和反扭結(jié)現(xiàn)象。扭結(jié)的位置隨u+在初始周期內(nèi)的分布的不同而不同,如果u+初值的選取是隨機(jī)的,那么扭結(jié)的位置也將是隨機(jī)的?？臻g振幅曲線上出現(xiàn)鋸齒狀波動(dòng)是由吸引子共存導(dǎo)致的,即各格點(diǎn)由于初值不同,其最終將會(huì)落入到不同的周期2吸引子上。圖5(a)也顯示了此時(shí)傳輸線沿線電壓呈周期2狀態(tài)。此后隨著λ的增大,傳輸線沿線電壓無論是在時(shí)間上還是空間上的行為都將越來越復(fù)雜。λ=3.2時(shí),局部映射u+處于二帶混沌吸引子共存狀態(tài),傳輸線沿線電壓的時(shí)空行為如圖4(b)和圖5(b)所示。從圖中可知,傳輸線上各格點(diǎn)電壓隨時(shí)間變化也呈現(xiàn)二帶混沌狀態(tài),其混沌行為被限制在兩個(gè)窄混沌帶內(nèi)。同理,吸引子共存現(xiàn)象導(dǎo)致在空間方向上格點(diǎn)的電壓振幅在多個(gè)二帶混沌區(qū)內(nèi)變化。從圖5(b)中可以看出,傳輸線沿線電壓的波動(dòng)幅度有所增大,系統(tǒng)在時(shí)間上和空間上的無序性開始體現(xiàn)出來了。隨著λ進(jìn)一步增大,二帶混沌區(qū)不斷擴(kuò)大,直到最后并合成一帶混沌。圖4(c)和圖5(c)所示是λ=5.0時(shí),傳輸線沿線電壓的仿真結(jié)果。此時(shí)電壓正向行波分量局部映射處于一帶混沌區(qū),由圖4(c)可知傳輸線上各格點(diǎn)狀態(tài)也處于一帶混沌區(qū),而且電壓振幅較之以前進(jìn)一步增大。從圖5(c)中看到,傳輸線沿線電壓在時(shí)間和空間上的無序程度很高,系統(tǒng)進(jìn)入了完全的時(shí)空混沌狀態(tài)。以上分析的是λ>0時(shí)傳輸線沿線電壓的時(shí)空行為。當(dāng)λ=-4.5時(shí),由圖3可知,電壓正向行波分量局部映射處于一帶混沌吸引子共存狀態(tài),此時(shí)傳輸線沿線電壓的時(shí)空行為如圖4(d)和圖5(d)所示。從圖中可以看出,傳輸線上各格點(diǎn)狀態(tài)也處于一帶混沌區(qū),只是由于格點(diǎn)的初值不同,其最終落入不同的混沌區(qū)。4.2傳輸線沿線電壓的時(shí)空行為當(dāng)加入電流偏置后,電磁系統(tǒng)原有的對稱性會(huì)被破壞,會(huì)產(chǎn)生一些新的非線性現(xiàn)象。圖6是Is=0.4A時(shí),從不同的初值出發(fā),傳輸線左端點(diǎn)處電壓正向行波分量隨參數(shù)λ變化的分岔情況。對比圖3和圖6可知,加入電流偏置后,在λ>0范圍內(nèi)不再出現(xiàn)吸引子共存現(xiàn)象,而且更值得注意的是,在λ<0時(shí),映射存在著混沌吸引子與周期1吸引子共存的特性。下面分析在λ=0范圍內(nèi),傳輸線沿線電壓的時(shí)空行為。圖7(a)所示是Is=0.4A、λ=-1.7時(shí),傳輸線沿線電壓的時(shí)空行為的數(shù)值仿真結(jié)果。從圖中可知,傳輸線上一部分格點(diǎn)保持周期1狀態(tài),而另一些格點(diǎn)被限制在兩個(gè)窄混沌區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng),在空間上呈現(xiàn)出周期-二帶混沌-周期…的間歇現(xiàn)象。導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因是,此時(shí)電壓正向行波分量局部映射處于二帶混沌與周期1吸引子共存狀態(tài),傳輸線上格點(diǎn)的初值一部分在周期1吸引子的吸引域中,另一部分則落入二帶混沌吸引子的吸引域中。隨著λ的減小,電壓正向行波分量局部映射逐漸由二帶混沌與周期1吸引子共存過渡到一帶混沌與周期1吸引子共存。圖7(b)是λ=-2.5時(shí),傳輸線沿線電壓時(shí)空行為的仿真結(jié)果。從圖中可以看到,傳輸線沿線電壓振幅有所增大,而且也出現(xiàn)了周期-一帶混沌-周期的空間間歇現(xiàn)象。5偏置電流不為零對電磁系統(tǒng)的對稱破壞本文通過對一類Josephson結(jié)無窮維電磁系統(tǒng)的建模與分析得知,在