福建省泉州市南安一中高三上學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2016-2017學(xué)年福建省泉州市南安一中高三（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷(理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合A={x｜x2﹣3x＜0｝,B={x｜﹣2≤x≤2｝，則A∩B=（）A．{x|2≤x＜3｝ B．{x|﹣2≤x＜0｝ C．｛x｜0＜x≤2｝ D．｛x｜﹣2≤x＜3｝2．復(fù)數(shù)z滿足（1+i）?z=2﹣i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=（）A． B． C． D．3．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣34．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=32,則a3=（）A． B．2 C． D．5．下列命題中正確的是（（）A．若p∨q為真命題，則p∧q為真命題B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要條件C．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1或x≠2，則x2﹣3x+2≠0"D．命題p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，則￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥06．已知，則的取值范圍是（）A．［0,+∞） B． C． D．7．若正數(shù)x，y滿足3x+y=5xy，則4x+3y的最小值是(）A．2 B．3 C．4 D．58．我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為和（a,b，c,d∈N＊)，則是x的更為精確的不足近似值或過(guò)剩近似值．我們知道π=3。14159…，若令＜π＜，則第一次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過(guò)剩近似值，即＜π＜，若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么第四次用“調(diào)日法"后可得π的近似分?jǐn)?shù)為（）A． B． C． D．9．等比數(shù)列{an}中，a1=3，a8=9，函數(shù)f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）,則f'（0）=（）A．36 B．39 C．312 D．31510．函數(shù)y=xsinx+cosx的圖象大致為（)A． B． C． D．11．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù),對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，都有＜0，記a=25f（0.22）,b=f(1)，c=﹣log53×f（log5），則（)A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜b＜c12．已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f2（x）﹣bf（x)+c=0（b，c∈R）有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則b+c的取值范圍為(）A．（﹣∞，3） B．（0，3] C．［0,3］ D．(0，3）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．觀察下列等式:13+23=32，13+23+33=62,13+23+33+43=102，…，則13+23+33+43+53+63=．14．已知一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,則其外接球表面積為．15．（x2+）dx=．16．若函數(shù)y=f(x）滿足f（a+x）+f（a﹣x)=2b（其中a，b不同時(shí)為0），則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)"，稱(chēng)點(diǎn)（a，b)為函數(shù)f（x）的“中心點(diǎn)"．現(xiàn)有如下命題：①函數(shù)f（x）=sinx+1是準(zhǔn)奇函數(shù);②若準(zhǔn)奇函數(shù)y=f（x）在R上的“中心點(diǎn)"為（a，f（a）），則函數(shù)F（x）=f（x+a)﹣f（a)為R上的奇函數(shù)；③已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2是準(zhǔn)奇函數(shù)，則它的“中心點(diǎn)"為(1,2)；其中正確的命題是．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3an﹣1，其中n∈N＊．（Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;(Ⅱ）設(shè)anbn=，求數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n．18．已知函數(shù)．(1）求函數(shù)f(x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2)將函數(shù)y=f(x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，把所得圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x）的圖象，求函數(shù)y=g(x）在的值域．19．在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若,，且∥．(1）求角A；（2）若b+c=4，△ABC的面積為，求邊a的長(zhǎng)．20．已知數(shù)列（n∈N＊）．（1）證明:當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，;（2）若a＞1,對(duì)于任意n≥2，不等式恒成立，求x的取值范圍．21．已知函數(shù)f（x)=(x3﹣6x2+3x+t）?ex，t∈R．（1）當(dāng)t=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x)在x=0處的切線方程；(2）若函數(shù)y=f(x）有三個(gè)不同的極值點(diǎn),求t的取值范圍;（3)若存在實(shí)數(shù)t∈[0,2]，使對(duì)任意的x∈［1,m］,不等式f（x）≤x恒成立，求正整數(shù)m的最大值．請(qǐng)考生在第22、23三題中任選一題作答，如果多做,則按所做的第一題記分.[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22．在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ+）．現(xiàn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù))．(I）寫(xiě)出直線l和曲線C的普通方程；（Ⅱ）設(shè)直線l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P(﹣2，﹣3)，求｜PA|?｜PB|的值．[選修4—5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）=｜x﹣1｜．（1）解不等式f（x）+f(x+4）≥8；(2）若｜a｜＜1,｜b｜＜1，且a≠0,求證：f(ab）＞|a｜f（）．

2016—2017學(xué)年福建省泉州市南安一中高三（上)第二次段考數(shù)學(xué)試卷（理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合A={x|x2﹣3x＜0},B=｛x|﹣2≤x≤2｝,則A∩B=（)A．{x|2≤x＜3} B．{x｜﹣2≤x＜0} C．｛x|0＜x≤2｝ D．｛x|﹣2≤x＜3}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出集合A中不等式的解集，根據(jù)集合B，求出得到兩個(gè)集合的交集．【解答】解：A={x｜x2﹣3x＜0}={x｜0＜x＜3｝,∵B={x｜﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x｜0＜x≤2}，故選C．2．復(fù)數(shù)z滿足（1+i）?z=2﹣i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由（1+i）?z=2﹣i，得，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z得答案．【解答】解:由（1+i）?z=2﹣i，得=，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)=．故選：B．3．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】利用向量垂直的性質(zhì)直接求解．【解答】解:∵向量,,且，∴=4k﹣6﹣6=0，解得實(shí)數(shù)k=3．故選:C．4．等差數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=32，則a3=（）A． B．2 C． D．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，S5=5a3,即可得出．【解答】解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),S5=5a3，∴．故選：A．5．下列命題中正確的是（()A．若p∨q為真命題，則p∧q為真命題B．“a＞0,b＞0”是“+≥2"的充分必要條件C．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1或x≠2，則x2﹣3x+2≠0”D．命題p:?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，則￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A根據(jù)且命題和或命題的概念判斷即可；B均值定理等號(hào)成立的條件判斷;C或的否定為且；D對(duì)存在命題的否定,應(yīng)把存在改為任意，然后再否定結(jié)論．【解答】解：A、若p∨q為真命題，p和q至少有一個(gè)為真命題，故p∧q不一定為真命題，故錯(cuò)誤;B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必須a=b時(shí),等號(hào)才成立,故不是充分必要條件，故錯(cuò)誤；C、命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1且x≠2，則x2﹣3x+2≠0”,故錯(cuò)誤；D、對(duì)存在命題的否定，應(yīng)把存在改為任意,然后再否定結(jié)論，命題p：?x0∈R,使得x02+x0﹣1＜0，則￢p:?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正確．故選：D．6．已知,則的取值范圍是（）A．［0，+∞) B． C． D．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由題意作平面區(qū)域，聯(lián)立方程解出各點(diǎn)的坐標(biāo)；利用的幾何意義是點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（﹣2,﹣1）的直線的斜率，從而求得．【解答】解：由題意作平面區(qū)域如右圖,由解得，故點(diǎn)B（7,9）；同理可得，A（3,1）,D(1，3)；則的幾何意義是點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（﹣2,﹣1）的直線的斜率，而kAC==，kCD==2;故≤z≤2，則的取值范圍為［，2]．故選:B．7．若正數(shù)x,y滿足3x+y=5xy，則4x+3y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】已知式子變形可得+=1，進(jìn)而可得4x+3y=（4x+3y）（+）=++，由基本不等式求最值可得．【解答】解:∵正數(shù)x，y滿足3x+y=5xy，∴=+=1，∴4x+3y=（4x+3y）(+）=++≥+2=5當(dāng)且僅當(dāng)=即x=且y=1時(shí)取等號(hào)，∴4x+3y的最小值是5故選：D8．我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法"是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是:設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為和（a,b，c，d∈N*），則是x的更為精確的不足近似值或過(guò)剩近似值．我們知道π=3。14159…，若令＜π＜,則第一次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過(guò)剩近似值，即＜π＜,若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么第四次用“調(diào)日法”后可得π的近似分?jǐn)?shù)為（)A． B． C． D．【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】利用“調(diào)日法”進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論．【解答】解：第一次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過(guò)剩近似值,即＜π＜，第二次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過(guò)剩近似值，即＜π＜；第三次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過(guò)剩近似值，即＜π＜，第四次用“調(diào)日法"后得是π的更為精確的過(guò)剩近似值，即＜π＜，故選：A．9．等比數(shù)列{an}中，a1=3，a8=9，函數(shù)f(x）=x（x﹣a1）(x﹣a2）…（x﹣a8)，則f'（0）=（）A．36 B．39 C．312 D．315【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】求出f（x)的導(dǎo)函數(shù)，取x=0，結(jié)合已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案．【解答】解:由f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2)…（x﹣a8),得f′（x)=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x［（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′，∴f′(0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=312．故選：C．10．函數(shù)y=xsinx+cosx的圖象大致為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】利用特殊值法排除A，C選項(xiàng)，再根據(jù)單調(diào)性得出選項(xiàng)D．【解答】解：∵f（0）=1，排除A，C；f’（x）=xcosx，顯然在（0，）上,f'（x)＞0，∴函數(shù)為遞增,故選：D．11．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，都有＜0，記a=25f（0.22)，b=f（1），c=﹣log53×f（log5)，則（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜b＜c【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】設(shè)g（x）=，利用對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2,都有＜0,可得g（x）在(0，+∞）上單調(diào)遞減，分別化簡(jiǎn)a，b，c,即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)g(x）=,∵對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，都有＜0，∴g(x)在（0，+∞)上單調(diào)遞減，∵a=25f（0.22）=g(0.22），b=f（1）=g(1），c=﹣log53×f(log5）=g（log5）,log5＜0＜0。22＜1，∴c＞a＞b．故選：B．12．已知函數(shù)f(x）=,若關(guān)于x的方程f2（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則b+c的取值范圍為（)A．（﹣∞，3） B．（0，3] C．[0，3］ D．(0，3)【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】題中原方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f(x)=某個(gè)常數(shù)K，有2個(gè)不同的K,再根據(jù)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則，每一個(gè)常數(shù)可以找到4個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，就出現(xiàn)了8個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖，由圖可知，只有滿足條件的K在開(kāi)區(qū)間（0，1）時(shí)符合題意．再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案．【解答】解：根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖:由圖象可得當(dāng)f（x)∈(0,1]時(shí),有四個(gè)不同的x與f(x）對(duì)應(yīng)．再結(jié)合題中“方程f2（x）﹣bf（x）+c=0有8個(gè)不同實(shí)數(shù)解"，可以分解為形如關(guān)于k的方程k2﹣bk+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根K1、K2，且K1和K2均為大于0且小于等于1的實(shí)數(shù)．列式如下：，化簡(jiǎn)得，此不等式組表示的區(qū)域如圖：令z=b+c,則z=b+c在（2，1）處z=3，在（0，0)處z=0，所以b+c的取值范圍為（0，3），故選：D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．觀察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102,…，則13+23+33+43+53+63=212．【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】觀察已知等式得到一般性規(guī)律，即可確定出所求式子的值．【解答】解：由題意，13+23+33+43+53+…+n3=(1+2+…+n)2，所以13+23+33+43+53+63=212．故答案為：212．14．已知一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球表面積為6π．【考點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．【分析】由正四面體的棱長(zhǎng),求出正四面體的高,設(shè)外接球半徑為R，利用勾股定理求出R的值，可求外接球的表面積．【解答】解：正四面體的棱長(zhǎng)為：2,底面三角形的高：×2,棱錐的高為:=,設(shè)外接球半徑為R，R2=(×2﹣R）2+解得R=,所以外接球的表面積為：4π×22=×22;故答案為6π．15．（x2+）dx=．【考點(diǎn)】定積分．【分析】首先利用定積分的運(yùn)算法則將所求轉(zhuǎn)化為和的積分，結(jié)合幾何意義,然后分別求原函數(shù)代入求值．【解答】解：（x2+）dx=2x2dx+2dx=2×｜+2××π×12=．故答案為：．16．若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f(a﹣x）=2b(其中a，b不同時(shí)為0）,則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，稱(chēng)點(diǎn)(a，b）為函數(shù)f（x)的“中心點(diǎn)"．現(xiàn)有如下命題：①函數(shù)f（x)=sinx+1是準(zhǔn)奇函數(shù)；②若準(zhǔn)奇函數(shù)y=f（x）在R上的“中心點(diǎn)"為(a，f（a）），則函數(shù)F(x)=f(x+a）﹣f（a）為R上的奇函數(shù)；③已知函數(shù)f(x）=x3﹣3x2+6x﹣2是準(zhǔn)奇函數(shù)，則它的“中心點(diǎn)"為（1，2）；其中正確的命題是①②③．．(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】在①中，f(0+x）+f（0﹣x）=2，得a=0，b=1，滿足“準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義；在②中，根據(jù)函數(shù)“準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義,利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)F（x)=f（x+a)﹣f（a)為R上的奇函數(shù);在③中，f（1+x)+f(1﹣x）=（1+x）3﹣3(1+x）2+6（1+x）﹣2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+6（1﹣x）﹣2=4，得點(diǎn)（1，2）為函數(shù)f（x）的“中心點(diǎn)”．【解答】解：在①中，∵函數(shù)f(x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0﹣x)=2，∴a=0，b=1，滿足“準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，故①正確;在②中，若F（x)=f（x+a）﹣f（a)，則F（﹣x）+F(x）=f（x+a）﹣f（a）+f（﹣x+a）﹣f（a）=f（a﹣x）+f（a+x）﹣2f（a）,∵f（x)在R上的“中心點(diǎn)"為（a，f（a）),∴f（a﹣x）+f（a+x）=2f（a）,即F（﹣x）+F（x）=f（a﹣x)+f(a+x）﹣2f（a)=0,∴F（﹣x）=﹣F（x）,∴函數(shù)F（x)=f（x+a）﹣f（a）為R上的奇函數(shù),∴故②正確．在③中,函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+6x﹣2,∴f（1+x）+f(1﹣x）=(1+x）3﹣3（1+x）2+6(1+x）﹣2+（1﹣x）3﹣3(1﹣x）2+6（1﹣x）﹣2=4，∴點(diǎn)（1，2)為函數(shù)f(x）的“中心點(diǎn)”,故③正確．故答案為：①②③．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3an﹣1，其中n∈N＊．(Ⅰ）求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)anbn=，求數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（I）分n=1與n≥2討論，從而判斷出｛an｝是等比數(shù)列，從而求通項(xiàng)公式；(II）化簡(jiǎn)可得=3（﹣)，利用裂項(xiàng)求和法求解．【解答】解：（I）∵，①當(dāng)n=1時(shí),a1=a1﹣，∴a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，∵Sn﹣1=an﹣1﹣,②①﹣②得：an=an﹣an﹣1，即：an=3an﹣1（n≥2），又∵a1=1,a2=3，∴對(duì)n∈N*都成立，故｛an}是等比數(shù)列，∴．（II）∵，∴=3（﹣），∴，∴,即Tn=．18．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;（2）將函數(shù)y=f(x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,把所得圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g(x)在的值域．【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性，得出結(jié)論．（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g(x）的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)y=g（x）在的值域．【解答】解：（1）==，所以函數(shù)f（x）的最小正周期為．由，求得（k∈Z），∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知，將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，可得y=sin（4x﹣）的圖象，再把所得圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象．∵x∈（﹣，0），∴4x+∈(﹣，），∴sin(4x+)∈（﹣,1］，∴g(x）∈（﹣，］，即值域?yàn)椋ī?，]．19．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，，且∥．（1）求角A;（2）若b+c=4,△ABC的面積為，求邊a的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式建立方程關(guān)系,利用余弦定理即可求∠A的大?。?2)利用三角形面積公式可求bc=3，進(jìn)而利用余弦定理可求a的值．【解答】解：(1）∵，，且∥，∴b（sinC﹣sinB)﹣（c﹣a)（sinC+sinA）=0，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==,∴∠A=．（2)∵，∴bc=3；∴a2=b2+c2﹣2bc?cosA=，∴．20．已知數(shù)列（n∈N＊）．（1）證明：當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),；（2）若a＞1,對(duì)于任意n≥2,不等式恒成立，求x的取值范圍．【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,證明求解即可．（2）構(gòu)造函數(shù)f（n）=a2n﹣an，判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化不等式為，對(duì)數(shù)不等式,通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】（1）證：①當(dāng)n=2時(shí)，左邊=,右邊=，左邊＞右邊，命題成立；②假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即：；那么n=k+1時(shí)，==∴n=k+1時(shí)命題成立,∴對(duì)于n≥2，n∈N*命題都成立．（2）令f（n)=a2n﹣an=，∴f（n+1)﹣f（n）=﹣（）==＞0，即f（n）單調(diào)遞增，∴a2n﹣an≥f（2）=，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:＞（loga+1x﹣logax+1)恒成立，可得loga+1x＜logax，即：lgx(lg（a+1）﹣lga）＞0,可得x＞1．21．已知函數(shù)f(x）=（x3﹣6x2+3x+t）?ex，t∈R．（1）當(dāng)t=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x)在x=0處的切線方程;（2）若函數(shù)y=f(x）有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求t的取值范圍；（3）若存在實(shí)數(shù)t∈[0，2］，使對(duì)任意的x∈[1，m],不等式f(x）≤x恒成立,求正整數(shù)m的最大值．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù),就是f（0），f′（0），求出切線方程即可；(2)求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x)有三個(gè)極值點(diǎn)，可得f′（x)=0有三個(gè)根，構(gòu)造新函數(shù),確定其單調(diào)性，從而可得不等式，即可求t的取值范圍;（3）不等式f(x)≤x，即（x3﹣6x2+3x+t)ex≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x，轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)t∈［0，2],使對(duì)任意的x∈[1，m］，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，確定單調(diào)性，計(jì)算相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)，即可求正整數(shù)m的最大值．【解答】解:(1）∵t=1，f（x）=（x3﹣6x2+3x+1)?ex，∴f'（x）=（x3﹣3x2﹣9x+4）?ex，∴f'（0）=4；∵f（0)=1,即切點(diǎn)（0,1）,∴y=f（x）在x=0處的切線方程為：y=4x+1．(2）f′（x）=（3x2﹣12x+3)ex+（x3﹣6x2+3x+t）ex=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）ex∵f（x）有三個(gè)極值點(diǎn),∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有三個(gè)根，令g(x)=x3﹣3x2﹣9x+t+3，g′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）∴g(x)在（﹣∞，﹣1）,（3，+∞）上遞增,（﹣1，3）上遞減,∵g(x）有三個(gè)零點(diǎn)，∴，∴﹣8＜t＜24；(3)不等式f（x)≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)t∈[0，2]，使對(duì)任意的x∈[1，m］,不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式2≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈［1，m］上恒成立；設(shè)φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，則φ（x）=﹣g﹣x﹣2x+6．設(shè)r(x）=φ(x）=﹣g﹣x﹣2x+6,則r′（x）=g﹣x﹣2,因?yàn)?≤x≤m，有r′（x）＜0．故r（x）在區(qū)間［1，m］上是減函數(shù)，又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0,r（3）=﹣e﹣3＜0故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x0）=0．當(dāng)1≤x＜x0時(shí)，有φ′（x)＞0,當(dāng)x＞x0時(shí),有φ′（x）＜0．從而y=φ（x)在區(qū)間[1，x0）上遞增，在區(qū)間（x0,+∞）上遞減；又φ（1)=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0φ（4）=e﹣4+5＞0,φ（5）=e﹣5+2＞0，φ(6)=e﹣6﹣3＜0所以當(dāng)1≤x≤5時(shí),恒有φ（x）＞0；當(dāng)x≥6時(shí)，恒有φ（x