新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值課件

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第二講函數(shù)的單調(diào)性與最值知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一函數(shù)的單調(diào)性1．單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有____________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有_____________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是_________________，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，_________叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．增函數(shù)或減函數(shù)區(qū)間D知識點二函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有____________

；(2)存在x0∈I，使得_______________(1)對于任意x∈I，都有_____________；(2)存在x0∈I，使得________________結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y＝f(u)，u＝φ(x)，在函數(shù)y＝f[φ(x)]的定義域上，如果y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性相同，則y＝f[φ(x)]單調(diào)遞增；如果y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性相反，則y＝f[φ(x)]單調(diào)遞減．2．單調(diào)性定義的等價形式設(shè)任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2.3．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)若f(x)，g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)．(2)若f(x)、g(x)均為區(qū)間A上的單調(diào)函數(shù)，f(x)增，g(x)減，則f(x)－g(x)增，g(x)－f(x)減．(3)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同，若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反．(4)函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)與y＝－f(x)單調(diào)性相反．題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若f(x)的定義域為R，且f(－3)<f(2)，則f(x)為R上的增函數(shù)．(

)(2)函數(shù)f(x)在(－2,3)上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2,3)．(

)(3)因為y＝x與y＝ex都是增函數(shù)，所以y＝xex在定義域內(nèi)為增函數(shù)．(

)××××××[解析]

(1)函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)了任意性，即對于單調(diào)區(qū)間上的任意兩個自變量值x1，x2，均有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，而不是區(qū)間上的兩個特殊值．(2)單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間，如y＝x在[1，＋∞)上是增函數(shù)，但它的單調(diào)遞增區(qū)間是R，而不是[1，＋∞)．(3)y′＝(x＋1)ex，因此y＝xex在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，增函數(shù)的積、商不一定具備單調(diào)性．(4)多個單調(diào)區(qū)間不能用“∪”符號連接，而應(yīng)用“，”或“和”連接．題組二走進教材2．(必修1P85習(xí)題T1改編)設(shè)定義在[－1,7]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為________________________.[－1,1]和[5,7]3．(必修1P86T3改編)若函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)>f(－m＋9)，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[解析]

函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，解得m>3.C－15題組三走向高考6．(2021·全國甲，4)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(

)D[解析]

排除法，利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個選項．對于f(x)＝－x，由正比例函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)是減函數(shù)，故A不符合題意；7．(2020·新高考Ⅱ，7)已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)D考點突破·互動探究考向1函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明——自主練透

(1)(多選題)(2023·廣東省名校聯(lián)考改編)設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的是()例1考點一函數(shù)的單調(diào)性ABC②解法一：設(shè)1<x1<x2，思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法．考向2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間——師生共研求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；例2[分析](1)可用圖象法或化為分段函數(shù)或用化為復(fù)合函數(shù)求解；(2)復(fù)合函數(shù)求解；(3)導(dǎo)數(shù)法．[解析]

(1)解法一：(圖象法)解法二：(化為分段函數(shù)求解)解法三：(復(fù)合函數(shù)法)函數(shù)由y＝－u2＋2u＋3(u≥0)和u＝|x|復(fù)合而成，y＝－u2＋2u＋3(u≥0)的對稱軸為u＝1，由|x|＝1得x＝±1.x(－∞，－1)(－1,0)(0,1)(1，＋∞)u(1，＋∞)(0,1)(0,1)(1，＋∞)u＝|x|

y＝－u2＋2u＋3

f(x)

∴f(x)在增區(qū)間為(－∞，－1)，(0,1)，減區(qū)間為(－1,0)，(1，＋∞)．[引申1]本例(1)f(x)＝|－x2＋2x＋3|的增區(qū)間為___________________.[解析]

作出f(x)＝|－x2＋2x＋3|的圖象，由圖可知所求增區(qū)間為(－1,1)和(3，＋∞)．[引申2]本例(2)f(x)＝log2(－x2＋4x＋5)的增區(qū)間為_______________.(－1,1)和(3，＋∞)(－1,2]求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(確定函數(shù)單調(diào)性)的方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知單調(diào)性的函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間．(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義求解．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象直接寫出它的單調(diào)區(qū)間．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(5)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟是：①求函數(shù)的定義域；②求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，依據(jù)是“同增異減”．注意：(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，定義域優(yōu)先．(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號“∪”連接，也不能用“或”連接．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2019·北京)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(

)(2)(2023·滄州七校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)(3)函數(shù)f(x)＝(a－1)x＋2在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)g(x)＝a|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間是_______________.AA(－∞，2]令t＝(x＋1)(x－3)，則函數(shù)t在區(qū)間(3，＋∞)上單調(diào)遞增．又0<0.5<1，∴f(x)在區(qū)間(3，＋∞)上單調(diào)遞減．(3)由已知得a－1>0，∴a>1，∴g(x)＝a|x－2|減區(qū)間為q(x)＝|x－2|減區(qū)間，(－∞，2]，故填(－∞，2]．考向3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——多維探究角度1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3D角度2利用單調(diào)性求最值例43角度3利用單調(diào)性解不等式

(1)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，則實數(shù)x的取值范圍是______________________.例5(－2,1)角度4利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

(1)已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)<f(a2－1)，求a的取值范圍．例6[解析]

(1)由題意可得1>1－a>a2－1>－1，函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的重要方法，特別是當函數(shù)圖象不易作出時，單調(diào)性法幾乎成為首選方法．(3)解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．(4)利用單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關(guān)系求參數(shù)．求解時注意函數(shù)定義域的限制，遇分段函數(shù)注意分點處左、右端點函數(shù)值的大小關(guān)系．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是(

)A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)A(1,2)[－3，－2][解析]

(1)因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因為函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．故選A.(4)設(shè)u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函數(shù)u在[0,1]上是減函數(shù)．由題意可知函數(shù)y＝logau在[0,1]上是增函數(shù)，∴a>1.又∵u在[0,1]上要滿足u>0，∴2－a×1>0，得a<2.綜上得1<a<2.例7考點二函數(shù)的最值——自主練透D利用單調(diào)性求最值，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)性質(zhì)求解．若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)．若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)．名師講壇·素養(yǎng)提升(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(3)求f(x)在[－3,6]上的最大值與最