第三章三維幾何造型

三維幾何造型計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的許多應(yīng)用涉及到三維幾何信息在計(jì)算機(jī)內(nèi)的生成和表示，如飛機(jī)、汽車的外形設(shè)計(jì)，機(jī)械零部件的設(shè)計(jì)，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的模擬等。這類問題統(tǒng)稱為幾何造型。幾何造型是通過對(duì)點(diǎn)、線、面、體等幾何元素，經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)等幾何變換和并、交、差等集合運(yùn)算，產(chǎn)生滿足設(shè)計(jì)目的的物體模型。機(jī)械產(chǎn)品三維幾何模型的基本構(gòu)成要素是空間的點(diǎn)、線、面和體。根據(jù)技術(shù)發(fā)展過程，三維幾何模型的建立相應(yīng)經(jīng)歷了線框(wireframe)、表面(surface)和實(shí)體(solid)三種模型。線框模型只是由一組頂點(diǎn)和邊構(gòu)成的。用一切面截取只能生成一組離散交點(diǎn)，不能形成切面的形狀。如果我們只關(guān)心物體的形狀、位置、方位，這種模型是可用的，也是最簡單的，占用內(nèi)存少，處理速度快。表面模型是由一組頂點(diǎn)、邊和面構(gòu)成的。用一切面截取則生成一組點(diǎn)和線，可形成切面的形狀?？梢员硎疚矬w的外表面或數(shù)控加工這些表面。實(shí)體模型由一組頂點(diǎn)、邊、表面和體積構(gòu)成。用一切面裁取可生成一組點(diǎn)、線和切平面上物體內(nèi)部面積?？梢杂?jì)算物體的質(zhì)量特性、動(dòng)態(tài)特性或力學(xué)特性，還可進(jìn)行多個(gè)物體間的干涉檢查。這種模型最復(fù)雜，占用內(nèi)存多，處理速度慢。實(shí)體模型有邊界表示、體素構(gòu)造表示、半空間表示、八叉樹表示等方法。線框模型

線框模型是由有限個(gè)空間點(diǎn)以及成對(duì)點(diǎn)之間相連的邊構(gòu)成的三維幾何模型。優(yōu)點(diǎn)：定義過程最簡單；數(shù)據(jù)存貯量最小，操作靈活，響應(yīng)速度快；靈活方便的線框功能是進(jìn)一步構(gòu)造表面模型和實(shí)體模型的工具。缺點(diǎn)：不能唯一定義物體的形狀或定義出實(shí)際不可能存在的形體；不能自動(dòng)消除隱藏線；無法計(jì)算物體的體積。線框模型的計(jì)算機(jī)表示線框模型的計(jì)算機(jī)表示主要包括兩類信息，一類是幾何信息，定義線框模型中空間點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)和曲邊的定義數(shù)據(jù)；一類是拓?fù)湫畔?，定義每條邊的兩個(gè)端點(diǎn)的標(biāo)號(hào)。線框模型的建立方法為了便于建立線框模型，一般設(shè)有兩種坐標(biāo)系。一種是總體坐標(biāo)系，或稱模型空間(modelspace)，對(duì)當(dāng)前的線框模型只能統(tǒng)一規(guī)定一個(gè)；另一種是局部坐標(biāo)系，或稱繪圖空間(drawingspace)或工作平面，用戶可以隨時(shí)根據(jù)需要定義。一個(gè)好的線框造型系統(tǒng)應(yīng)有豐富多樣的點(diǎn)和線的幾何定義方法，有方便靈活的局部坐標(biāo)系操作和快速的視圖旋轉(zhuǎn)變換，有必要的投影、作等距線等操作命令。線框模型存在的問題線框模型的表示過于簡單，用來表示一個(gè)真實(shí)物體的約束條件不夠充分，可能構(gòu)造出客觀不可能存在的物體，或不能唯一確定的物體。無法消隱造成線框模型的多義性，即一個(gè)線框模型有可能理解成多個(gè)實(shí)際的物體。表面模型表面模型是在線框模型的基礎(chǔ)上增加面的信息，表面不一定需要封閉。表面模型為形體提供了更多的幾何信息，可以在程序中實(shí)現(xiàn)自動(dòng)消除隱藏線，生成明暗圖，計(jì)算表面積，產(chǎn)生表面數(shù)控加工走刀軌跡等，也可以在有限元分析中生成表面有限元網(wǎng)格。表面模型的構(gòu)造方法大體可以分為兩類：一類是整體構(gòu)造法，一類是離散構(gòu)造法。整體構(gòu)造法使用貝齊埃曲面、B樣條曲面等進(jìn)行構(gòu)造，步驟點(diǎn)－線－面。離散構(gòu)造法從線框模型著手，交互繪制各個(gè)面的輪廓線，然后在封閉的內(nèi)外輪廓線間填補(bǔ)平面或規(guī)則曲面。實(shí)體模型

實(shí)體造型是構(gòu)造物體的完整的三維幾何模型。實(shí)體模型是描述幾何形體的最高層次模型。實(shí)體模型與表面模型的區(qū)別在于前者的表面必須封閉、有向，各張表面間有嚴(yán)格的拓?fù)潢P(guān)系，形成一個(gè)整體；而表面模型的面可以不封閉，面的上下表面都可以有效。

實(shí)體造型的核心問題是在計(jì)算機(jī)內(nèi)如何來表示三維的物體。經(jīng)過二十多年的研究和發(fā)展形成了幾種不同的基本表示方法，主要有邊界表示法、體素構(gòu)造法、半空間表示法和八叉樹表示法等。邊界表示法－層次結(jié)構(gòu)在邊界定示中，物體通過其封閉的邊界表面來描述，而物體封閉的邊界表面由一組面所構(gòu)成，各個(gè)面均有方向，明確地劃分出物體的里面和外面，每個(gè)面均有單獨(dú)的數(shù)學(xué)定義；每個(gè)面由封閉的環(huán)來確定其邊界；每個(gè)環(huán)由一組邊所構(gòu)成，每條邊也有其單獨(dú)的數(shù)學(xué)定義；每條邊由兩個(gè)頂點(diǎn)(端點(diǎn))所界定，一個(gè)為邊的起始點(diǎn)，另一個(gè)為邊的終點(diǎn)；每個(gè)頂點(diǎn)由空間三個(gè)坐標(biāo)值來確定。在邊界模型中，存貯的信息分成相對(duì)獨(dú)立的兩部分：拓?fù)浜蛶缀巍＿吔绫硎痉ǎ瓕哟谓Y(jié)構(gòu)物體(body)：是由封閉表面圍成的有限空間。邊界表面上任一點(diǎn)的鄰域都明確分成兩部分，一部分在物體之內(nèi)，另一部分在物體之外。殼(shell)：是方向一致的一組面的集合，形成封閉的單一連通空間。一個(gè)物體可有多個(gè)殼，其中一個(gè)為外殼，共余為內(nèi)殼。面(face)：是物體表面的一部分，是有界、不自交的連通表面，帶有方向性。面的有效范圍由一個(gè)外環(huán)和若干內(nèi)環(huán)界定。環(huán)(Loop)：是由有序、有向邊組成的封閉周界。確定面的最大外邊界的環(huán)是外環(huán)，外環(huán)按逆時(shí)針走向，根據(jù)外壞的走向，按右手定則確定面的外指法矢方向；確定面中內(nèi)孔或凸臺(tái)周界的環(huán)是內(nèi)環(huán)，內(nèi)環(huán)按順時(shí)針走向。邊(edge)：是物體兩個(gè)鄰面的交界。邊有方向，不能自交。項(xiàng)點(diǎn)(vertex)：是邊的端點(diǎn)，不允許出現(xiàn)在邊的內(nèi)部，也不能孤立存在于物體的內(nèi)外或面的內(nèi)部。歐拉公式式中各符號(hào)分別為頂點(diǎn)、邊、面、殼、孔、內(nèi)環(huán)的數(shù)量。邊界表示中的翼邊結(jié)構(gòu)描述面、邊、頂點(diǎn)三種拓?fù)湓氐泥徑雨P(guān)系有3組共9種表示方式，其中以邊為核心的一組鄰接信息最實(shí)用，稱為翼邊結(jié)構(gòu)，它是描述與一條邊相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)、四條鄰邊和兩個(gè)鄰面這些拓?fù)湫畔⒌臄?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。通過這種翼邊結(jié)構(gòu)可以方便地查找各元素之間的鄰接關(guān)系。邊界表示的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)集合運(yùn)算

集合運(yùn)算又稱布爾運(yùn)算。在邊界表示的實(shí)體造型系統(tǒng)中，復(fù)雜的形體一般是用若干簡單的形體(體素)經(jīng)并、交、差、求補(bǔ)等集合運(yùn)算自動(dòng)生成。基于邊界表面分類的算法：設(shè)兩個(gè)物體A和B的邊界表面表示為b(A)和b(B)，將其各面經(jīng)過剪裁可歸納成四類：AinB、AoutB、BinA和BoutA?；谏鲜鲞吔绫砻娴姆诸悾傻贸鲆韵录线\(yùn)算的表達(dá)式：體素構(gòu)造法體素構(gòu)造法(CSG)是用基本