2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第6章立體幾何第4節(jié)直線平面垂直的判定與性質(zhì) 學(xué)案

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考試要求：1．能以立體幾何中的定義、基本事實(shí)和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形中垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．“任意一條直線”與“所有直線”是同義的，但與“無(wú)數(shù)條直線”不同，定義的實(shí)質(zhì)是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直a性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行a⊥αb⊥線面垂直的判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須是相交的．2．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直l⊥αl?性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直α⊥βl?面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)．我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可．3．線面角與二面角(1)直線與平面所成的角(線面角)①平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．②特例：若一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°.若一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°.③直線與平面所成的角θ的取值范圍是：0°≤θ≤90°.(2)二面角①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．③二面角的平面角的范圍：0°≤θ≤180°.4．常用結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”．(1)若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α. (×)(2)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直． (√)(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b. (√)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α. (×)(5)a⊥α，a?β?α⊥β. (√)2．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，則下列說(shuō)法正確的是()A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥mA解析：因?yàn)閘⊥β，l?α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)．3．(多選題)如圖，圓柱的軸截面是四邊形ABCD，E是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCEABD解析：由AB是底面圓的直徑，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．因?yàn)閳A柱的軸截面是四邊形ABCD,BC⊥底面AEB，所以BC⊥AE.又EB∩BC＝B，BC，BE?平面BCE，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥CE，故A正確．同理可得，BE⊥DE，故B正確．若DE⊥平面CEB，則DE⊥BC．因?yàn)锽C∥AD，所以DE⊥AD．在△ADE中AD⊥AE，所以DE⊥AD不成立，所以DE⊥平面CEB不成立，故C錯(cuò)誤．由A的證明可知AE⊥平面BCE.因?yàn)锳E?平面ADE，所以平面BCE⊥平面ADE，故D正確．故選ABD．4．“直線a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面α垂直”的________條件．必要不充分解析：根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面α垂直”，反之則可以，所以應(yīng)是必要不充分條件．5．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．4解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，從而B(niǎo)C⊥PC．因此△ABC，△PBC也是直角三角形．故圖中共有4個(gè)直角三角形．考點(diǎn)1垂直關(guān)系的基本問(wèn)題——基礎(chǔ)性1．已知平面α和直線a，b，若a∥α，則“b⊥a”是“b⊥α”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B解析：根據(jù)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，由a∥α，b⊥α，可得b⊥a.反之不成立，可能b與α相交或平行．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件．2．(多選題)已知a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是()A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，則a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，則b∥βD．若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥βABD解析：對(duì)于A，若a⊥α，α∥β，則a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正確；對(duì)于B，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，所以存在直線m?α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β.故B正確；對(duì)于C，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，又α∥β，所以b?β或b∥β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥β，故D正確．3．在三棱錐S-ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜邊AB＝a的等腰直角三角形，則以下結(jié)論：①異面直線SB與AC所成的角為90°；②直線SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④點(diǎn)C到平面SAB的距離是12a其中正確的是________．(填序號(hào))①②③④解析：由題意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正確；再根據(jù)SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正確；取AB的中點(diǎn)E，連接CE(圖略)，可證得CE⊥平面SAB，故CE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)C到平面SAB的距離，為12a，故④在判斷垂直關(guān)系問(wèn)題時(shí)，需明確各類(lèi)垂直關(guān)系及其內(nèi)在聯(lián)系，可借助幾何圖形來(lái)判斷，也可列舉反例進(jìn)行判斷，同時(shí)要注意判斷滿足定理的條件．考點(diǎn)2空間角及其應(yīng)用——應(yīng)用性(2022·全國(guó)甲卷)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則()A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°D解析：如圖所示，連接AB1，BD，不妨令A(yù)A1＝1，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面AA1B1B，BB1⊥平面ABCD，所以∠B1DB和∠DB1A分別為B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，所以在Rt△BDB1中，BB1＝AA1＝1，BD＝3，B1D＝2，在Rt△ADB1中，DB1＝2，AD＝1，AB1＝3，所以AB＝2，CB1＝2，AC＝3，故選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤，由圖易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB為AB與平面AB1C1D所成的角，在Rt△ABB1中，sin∠B1AB＝BB1AB1＝13＝33，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，如圖，連接B1C，則B1D在平面BB1C所以∠DB1C為B1D與平面BB1C1C所成的角，在Rt△DB1C中，B1C＝2＝DC，所以∠DB1C＝45°，所以選項(xiàng)D正確．求線面角、二面角的常用方法(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線、找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來(lái)度量．平面角的作法常見(jiàn)的有定義法和垂面法．注意利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)．在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為5的等腰三角形，則二面角V-AB-C的大小為_(kāi)_______．60°解析：如圖，作VO⊥平面ABCD，垂足為O，則VO⊥AB．取AB的中點(diǎn)H，連接VH，OH，則VH⊥AB．因?yàn)閂H∩VO＝V，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO為二面角V-AB-C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2.而OH＝12BC＝1，所以∠VHO＝60°.故二面角V-AB-C考點(diǎn)3線面、面面垂直的判定與性質(zhì)——綜合性考向1線面垂直的判定與性質(zhì)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF＝54，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.求證：D′H⊥平面ABCD．證明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD．又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，因此EF⊥HD，從而EF⊥D′由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14，所以O(shè)H＝1，D′H于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF?平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD．證明線面垂直的4種方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)考向2面面垂直的判定與性質(zhì)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.證明：(1)(方法一)取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EH∥AB且EH＝12AB又CD∥AB且CD＝12AB，所以EH∥CD且EH＝CD所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD．(方法二)連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF＝12AB．又CD＝12AB，所以AF＝又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，因此CF∥AD．又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA．又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD．因?yàn)镃F∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD．(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA．又因?yàn)锳B⊥PA，所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG.又因?yàn)镋F∩FG＝F，EF，F(xiàn)G?平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又因?yàn)镸，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因?yàn)镸N?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.1．證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義．(2)面面垂直的判定定理．2．已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)A的位置為點(diǎn)P，且使平面PBD⊥平面BCD．求證：(1)CD⊥平面PBD；(2)平面PBC⊥平面PCD．證明：(1)因?yàn)锳D＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.又因?yàn)锳D∥BC，所以∠DBC＝45°.又∠DCB＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD．因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面PBD．(2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD．又BP?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD．課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十五)A組全考點(diǎn)鞏固練1．已知平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，過(guò)平面α和β外的一點(diǎn)P作直線m⊥l，則“m∥α”是“m⊥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C解析：當(dāng)m∥α?xí)r，過(guò)m作平面γ∩α＝n，則m∥n，結(jié)合α⊥β，得n⊥β，從而m⊥β；當(dāng)m⊥β時(shí)，在α內(nèi)作直線n⊥l，結(jié)合α⊥β，得n⊥β，所以m∥n.又m?α，n?α，所以m∥α.故選C．2．如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是()A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PABC解析：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD．3．已知AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，D為下底面圓周上一點(diǎn)，且AD⊥圓柱的底面，則必有()A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABDB解析：因?yàn)锳B是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥BC．又AD⊥圓柱的底面，所以AD⊥BC，因?yàn)锳C∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD．又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為94，底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABCA．5π12 C．π4 D．B解析：如圖，取正三角形ABC的中心O，連接OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角．因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為3，所以AD＝3×32＝32，AO＝2三棱柱的體積為34×(3)2AA1＝9解得AA1＝3，即OP＝AA1＝3，所以tan∠PAO＝OPOA＝3因?yàn)橹本€與平面所成角的范圍是0，所以∠PAO＝π35．若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面夾角的余弦值為_(kāi)_______．13解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由題意πrl＝3πr2，即l＝3r，設(shè)母線與底面夾角為θ，則cosθ＝rl＝6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以BD⊥PA．連接AC(圖略)，則BD⊥AC，且PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC．所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD．又PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．7．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上．點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_(kāi)_______．255解析：點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長(zhǎng)度的最小值．當(dāng)P′C⊥DE時(shí)，P′C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P′C＝2×8．如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)若PA＝PC，求三棱錐P-ABC的體積．(1)證明：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，PO.因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以BO⊥AC，BO＝3.因?yàn)镻A⊥PC，所以PO＝12AC因?yàn)镻B＝2，所以O(shè)P2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB．因?yàn)锳C∩OP＝O，AC，OP?平面PAC，所以BO⊥平面PAC．又OB?平面ABC，OB?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．(2)解：因?yàn)镻A＝PC，PA⊥PC，AC＝2，所以PA＝PC＝2.由(1)知BO⊥平面PAC，所以VP-ABC＝VB-APC＝13S△PAC·BO＝13×B組新高考培優(yōu)練9．(2022·全國(guó)乙卷)在正方體中ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1DA解析：對(duì)于A，由于E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF∥AC．又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1?平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，則EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在該正方體中，試想D1運(yùn)動(dòng)至A1時(shí)，平面B1EF不可能與平面A1BD垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在平面ABB1A1上，易知AA1與B1E必相交，故平面B1EF與平面A1AC不平行，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1，故平面B1EF與平面A1C1D不可能平行，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．10．(多選題)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，則下面結(jié)論正確的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．平面ACC1A1⊥CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°ABC解析：對(duì)于A，因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體，所以BD∥B1D1，由線面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，故A正確；對(duì)于B，連接AC，因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體，所以BD⊥AC，且CC1⊥BD，由線面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，所以BD⊥AC1，故B正確；對(duì)于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，所以B1D1⊥平面ACC1，則平面ACC1A1⊥CB1D1，故C正確；對(duì)于D，異面直線AD與CB1所成的角即為直線BC與CB1所成的角為45°，故D錯(cuò)誤．故選ABC．11．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，BC＝1，點(diǎn)E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿AE折起，使點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影K在直線AE上，當(dāng)點(diǎn)E從D運(yùn)動(dòng)到C，則點(diǎn)K所形成軌跡的長(zhǎng)度為()A．32 B．C．π3 D．C解析：由題意，將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AE，K為垂足，由翻折的特征知，連接D′K，則∠D′KA＝90°，故點(diǎn)K的軌跡是以AD′為直徑的圓上一弧，根據(jù)長(zhǎng)方形知圓半徑是12，如圖，當(dāng)E與C重合時(shí)，AK＝1×14＝12，取O為AD′的中點(diǎn)，得到△OAK是正三角形．故∠KOA＝π3，所以∠KOD′＝212．如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC的內(nèi)部A解析：連接AC1，因?yàn)锳C⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．13．已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：________．若l⊥m，l⊥α，則m∥α(答案不唯一)解析：若l⊥α，l⊥m，則m∥α，顯然①③?②正確；若l⊥m，m∥