基于數(shù)學問題解決的模式識別研究

基于數(shù)學問題解決的模式識別研究

1數(shù)學模式與數(shù)學問題解決的管理模式1.1數(shù)學模式的內(nèi)涵數(shù)學是一種研究形式的科學，現(xiàn)在得到了普遍認可。許多著名的數(shù)學家都同意了這一觀點。例如，數(shù)學原則的作者之一西藤娜說，“數(shù)學是研究模式中最具力量的工具?！睌?shù)學是“關系系統(tǒng)的科學”（亞歷山大羅），關系系統(tǒng)是模式或結構?！敖Y構”是數(shù)學的工具。它把數(shù)學作為所有科學的基礎。這是基于簡單的數(shù)學。最近的數(shù)學和未來的數(shù)學編輯stiende強調(diào)了人類語言被用于描述模式。美國坎德學校的數(shù)學課和評估標準（curveletandcowstier）強調(diào)了這一模式的重要性。此外，“該模式在我們的世界上是無限的。數(shù)學課應該幫助學生們在日常生活中接觸到的模式，并在數(shù)學表現(xiàn)上的這種模式?！泵绹驳拢╟orden）在2000年代將這一模式納入學校的數(shù)學原則和規(guī)范，將表達、理解、擴展和構建模式視為重要技能，并明確記錄每個級別的學生對該模式學習的期望水平。有關數(shù)學模式的說法,源于對數(shù)學本質(zhì)的探究.鄭毓信指出對于數(shù)學學科來講,模式對于數(shù)學具有特殊的意義,可以說,數(shù)學的本質(zhì)即是關于數(shù)學模式的科學.喻平進一步解釋說數(shù)學模式是指形式化的采用數(shù)學語言,概括的或近似的表述某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關系的一種數(shù)學結構.各種基本概念、理論體系、定理、法則、公式、算法、命題、方法都是數(shù)學模式;在問題解決中,具有共同結構或相同解法的一類問題也稱為一種模式.由于數(shù)學抽象的層次性,這種模式是有層次性的,即可以有基本的數(shù)學模式,也有可能幾種基本模式符合或疊加成一種新的數(shù)學模式;各種模式之間又有著內(nèi)容或方法的千絲萬縷的關系,可以構成一種網(wǎng)狀的模式結構.可見,這里的數(shù)學模式屬于一種寬泛的關于數(shù)學對象的范疇,是社會建構的產(chǎn)物,是社會約定的產(chǎn)物.從這樣廣泛的意義上來說,數(shù)學模式屬于人類文化的范疇,可以約定為一種“知識”.1.2學生的數(shù)學模式基于上述數(shù)學模式的觀點,從廣義上說,數(shù)學無非是各種模式的集合.而學生對于各種數(shù)學模式的習得,使得頭腦(記憶)中形成自己的獨特的數(shù)學模式.由于兩者在現(xiàn)實實在性上的本質(zhì)的不同,可稱前者為“作為知識的數(shù)學模式”,后者稱為“存于記憶的數(shù)學模式”.學生在面對一道問題(一種作為知識的數(shù)學模式或多種模式的復合或疊加)時,這道問題顯然是教師認為學生基于之前所學過的知識基礎之上就可以解決的,即是說,教師認為學生應該形成相應的一種記憶的數(shù)學模式或多種模式的復合或疊加.那么,如果學生拿到這道問題立刻表現(xiàn)出會做或者經(jīng)過一定的思考與轉(zhuǎn)化之后認為會做或者只得半解或者經(jīng)過半天而毫無頭緒,都意味著對記憶中的一種思維的模式或多種模式的各種水平上的匹配或識別.2基于數(shù)學問題解決的認知視角的研究2.1認知領域的認知評價研究2.1.1熱圖中的認識模式discis認知心理學對模式識別的研究是在知覺領域展開的,尤其對視覺的模式識別研究的最多.王甦,汪安圣認為,模式識別(patternrecognition)過程就是感覺信息與長時記憶中的有關信息進行比較、再決定它與哪個長時記憶中的項目有著最佳匹配的過程.類似地,林崇德等認為,模式識別是知覺的一種形式,人將某種特定的感覺信息與長時記憶中的有關信息進行比較,再決定它與長時記憶中哪個項目有最佳匹配的信息加工過程.喻平認為,一般地,模式識別是一種知覺過程,是感覺信息與長時記憶中的有關信息進行比較,再決定它與哪個信息有著最佳匹配的過程.彭耽齡,張必隱認為,模式識別是認知心理學知覺研究的一個重要概念.模式傳遞著外部世界的信息.當一個模式作用于人的感覺器官時,便在人腦中引起了一系列復雜的活動.人能夠覺察(detection)到模式的存在,將一個模式與另一個模式加以分辨(discrimination),并進而確認(identification)它是什么或代表什么,這就是對模式的識別.因此,模式識別可定義為對模式的覺察、分辨和確認的過程,是主體運用記憶中己經(jīng)儲存的信息,對當前出現(xiàn)的刺激模式作出有效解釋的過程.2.1.2珍復本模板按照心理學的觀點,在知覺領域,模式識別過程就是感覺信息與長時記憶中的項目有著最佳匹配的過程,其匹配方式有以下幾種說法:(1)模板說(TemplateMatching).人在長時記憶中貯存了由過去經(jīng)驗形成的外部模式的袖珍復本(模板),當一個外界模式與記憶中己貯存的某個模板重疊時,就達到了模式識別的目的.(2)原型說(PrototypeTheory).人在記憶中貯存的并非與外部模式一一對應的模板,而是原型(prototype).此處的原型是指一個類別或范疇的所有個體的概括表征,它反映一類客體所具有的基本特征.原型說對模式識別的解釋意味著只要存在相應的原型,模式識別即可實現(xiàn).(3)特征分析說(FeatureAnalysis).模式可以分解為諸特征,外部刺激在人的長時記憶中,是以各種特征來表征的.在模式識別過程中,首先要對刺激的特征進行分析,抽取刺激的有關特征,然后將這些抽取的特征加以合并,再與長時記憶中各種刺激的特征進行比較,一旦獲得最佳匹配,外部刺激即被識別.2.2針對數(shù)學問題解決領域的認知研究2.2.1應用“觀點與策略”的數(shù)學描述波利亞(Polya)提出了解決數(shù)學問題的4個步驟:弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧.其中,擬定計劃環(huán)節(jié)中提出了“你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道與此有關的問題?你是否知道一個可能用得上的定理?試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的問題.這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關,且早已解決的問題,你能不能利用它?你能利用它的結果嗎?你能利用它的方法嗎?為了利用它,你是否應該引入某些輔助元素?”其中尤以“你以前見過它嗎?”而著名,其中的“它”實際上就是記憶中的“模式”.或者,換句話可以說,“你能識別出這種模式嗎?”波利亞明確指出,一些“定型的”問題和建議可被看成教學啟發(fā)法的核心,這也就是說,只要運用得當,這些問題和建議就能起到“思想指南”的作用,即能夠給解題者以一定的啟示,從而幫助他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)好的或正確的解題方法與解答.在這里,如此之多的這些問題實際上都是關于“模式識別”的,盡管波利亞并沒有給出確切的名稱.但其中蘊涵了模式識別的思想.匈菲爾德(SchoenfeldAH)在波利亞的基礎上發(fā)展起來一個問題解決模型,分為6個階段:讀題(reading);分析(analysis);探索(exploration);計劃(planning);執(zhí)行(implementation);驗證(verification).其中,在探索階段,列出了若干與模式識別有關的解題策略:“準備:你以前見過它嗎?如果你解決過一個類似的問題,考慮使用相同的方法;如果你知道一個類似的問題,你能用類比的方法得出結論嗎?你適應用來解決這個問題的技術嗎?”“陷入困境(檢驗任何相關的問題):你能想到任何條件相似或者結論相似的問題嗎?你是用什么方法解的?這些方法現(xiàn)在能用嗎?”喻平建立了一個數(shù)學解題認知模式的“循環(huán)系統(tǒng)”,認為,解決數(shù)學問題分為4個過程:理解問題、選擇算子、應用算子、結果評價.與此對應,其認知過程分別為:問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控.并進一步指出,對于數(shù)學解題中的模式識別與知覺中的模式識別的概念是有差異的,解題過程中有知覺成分,因而包含知覺模式識別因素,但解題過程中,思維是主要成分,解題中的模式識別是在知覺和思維的交互作用中完成,因而認知加工更為復雜.羅增儒認為數(shù)學問題的解題策略可分為:模式識別、映射化歸、差異分析、分合并用、進退互化、正反相輔、動靜轉(zhuǎn)換、數(shù)形結合、有效增設、以美啟真.前蘇聯(lián)學者奧加涅相把解題分為4個階段:理解習題的條件、制定解題計劃、實行解題計劃、研究所得的解.并且給出了在第一、第二個階段常用的有關“模式識別”的解題策略,具體來說,在“理解習題的條件”階段:盡可能從整體上理解題的條件,找出它的特點.想想以前是否遇到過和這個題有些類似的題目;在“制定解題計劃”階段:想方設法將所給的題同你會解的某一類題聯(lián)系起來.如果連這一點也做不到,就盡可能找出你熟悉的、最適合于已知條件的一種解題方法;試試看能不能用你熟悉的某種方法去解出題目;如果所給題解不出來,你可以從課本或者科普書籍中找一個與所給題目相似的、但已經(jīng)給出解答的題.2.2.2抽象分析過程,提出了一個“歸類”的觀點,即用一個“膜”組成一個“問題”鄭毓信認為,模式的識別,即對問題的歸類,在問題求解中(特別是對于問題的表征)有著十分重要的作用.鄭毓信進一步指出,抽象分析包括一個“歸類”(模式識別)的過程:成功的模式識別無非是將新的問題納入到了適當?shù)膱D式之中,直接依賴于對新的問題與記憶中各個范例或一般模式的比較;通過歸類得以建構的“問題空間”事實上就是外部輸入的新的信息和來自已有圖式的信息的一種綜合.2.2.3自我監(jiān)控.喻平建立了數(shù)學問題解決認知模型,反映了模式識別與其他因素的內(nèi)在關系,如圖1.并進一步剖析了模式識別與元認知、遷移、問題表征的關系,具體如下:模式識別與元認知:在模式識別的過程中貫穿著自我監(jiān)控的成分.模式識別與遷移:模式識別是知識遷移的前提,遷移是指對模式的遷移,能否對模式進行識別,是能否產(chǎn)生遷移的先決條件.模式識別與問題表征:模式識別以問題表征為基礎.模式識別作為問題解決過程中的第二環(huán),以問題表征為基礎,又是實現(xiàn)解題遷移的前提條件,可見模式識別在問題解決過程中的地位.在模式識別的過程中又貫穿著自我監(jiān)控的成分.在模式識別階段,如果不能找到合適的模式與已表征的問題匹配,或找到的模式不能用于磨合已表征的問題,那么需要重新表征問題.2.2.4關于被試和被試在內(nèi)容方面的表現(xiàn)格里諾(JGreeno)進行了一個幾何解題的研究,即關于利用各個角之間相互關系(如互為同位角補角和對頂角等)來求其他角的度數(shù);并通過此問題的具體研究,得出解題需要的3種基本能力或一般的知識成分,即模式識別的知識、定理推理的知識與策略知識;最后發(fā)展出了一個稱為Perdix的計算機程序.在此研究中,解題者關于各個角之間相互關系(如互為同位角補角和對頂角等)的分析事實上就是一個模式識別的過程.不過,與其他識別例如關于文字應用題類型的辨別不同,這里所說的模式識別主要依賴于視覺,而不是問題中所包括的文字信息,因此,可把它稱為“視覺模式識別”.對此,鄭毓信指出,由圖形對于幾何解題的特殊重要性,就可清楚地看出視覺模式識別在這一活動中的重要作用,從而,這也就從另一側(cè)面表明了模式識別能力確實應當被看成決定數(shù)學解題活動成功與否的一個重要因素.針對視覺模式識別的教學,鄭毓信進一步指出,幾何教學中應當高度重視對于學生視覺模式識別能力的培養(yǎng).特別是,必須十分注意“圖形的變式”.例如,應當防止將一種幾何圖形(模式)與某一特定的“視覺位置”固定地連接起來,而應經(jīng)常變換圖形的“視覺位置”.(2)基于幾何問題解決中的模式識別.朱新明探討了初中學生解幾何題的思維過程.運用出聲思維方法,收集他們證題時的口語材料,并對這些材料作了初步的分析.結果表明,其一,幾何問題解決過程往往包含有假設驗證的過程.其中,被試如果能從問題的情境中正確地辨認出某種模式,就能喚起與解題有關的知識.其二,兩組被試在解題的時間和過程方面有一些差異.甲組被試(解題經(jīng)驗較多)解題的平均時間是乙組被試的1/3.甲組被試能很快地把他原來熟悉的模式辨認出來.乙組被試(相當于初學者)多半要作一些無效的嘗試才有可能正確地認出模式.甲組被試比乙組被試善于交替運用逆推和順推的搜索策略以及其他有效的策略和辦法.(3)基于解代數(shù)應用題的認知模式.施鐵如運用出聲思維方法,探討了初中學生解代數(shù)應用題中認知模式的作用和特點.在解代數(shù)應用題中,認知模式主要表現(xiàn)為識別應用題的類型.結果表明,其一,被試能否識別類型在很大程度上決定他能否迅速、準確地解答課題.其二,要正確識別應用題類型,需要從課題的具體語義情境中分出確定的、一般的關系或結構.其三,這種能力可以通過訓練加以提高,訓練所使用的材料應具有多種變式.(4)基于文字應用題求解中的模式識別.Hinsley作了如下實驗:要求被試:第一,對一些“標準的”文字題進行分類;第二,在僅僅聽到部分內(nèi)容的情況下,指出問題的類別;第三,同時求解一些“標準的”和“非標準”的問題,后者是按其“事實內(nèi)容”與內(nèi)在的數(shù)學結構并不相符;第四,求解“無意義的”問題,這是用某些不相干的內(nèi)容取代“標準問題”中的部分內(nèi)容所得出的;第五,求解包含有多余的不相干內(nèi)容的問題.研究發(fā)現(xiàn),學生確實具有關于標準問題的若干模式,即如工程問題、水流問題、相遇問題、比例分配問題等;而且這些知識在新問題的表征過程中發(fā)揮了十分重要的作用.例如,被試往往常常只是聽到了問題的開頭部分:“一艘船順流而下……”就已立即意識到其所面臨的是一個“水流問題”,并預計到必須對逆流而上和順流而下所花費的時間(或者,在時間為常數(shù)的情況下,對所通過的路程)進行比較,以求得水速及船在靜水中的速度.這也使得被試在遇到某些“無意義問題”(例如不包含“問題”的問題)時,根本沒有注意問題的不存在,而直接投入了所謂的解題工作.再如,面對所謂的“非標準問題”時,由于歸類方法的不同(如或者把它歸為“工程問題”,或者把它歸結為“相遇問題”),解題者對問題中有關數(shù)據(jù)的注意往往表現(xiàn)出很大的差異,即只注意到其中的某些方面,而完全忽視其他方面.(5)數(shù)學建模中的模式識別.李明振指出,數(shù)學建模過程不僅僅包含知覺成分,更多的是思維成分,是在知覺成分與思維成分交互作用中完成的.因此,其加工過程更加復雜,往往需要調(diào)動建模者已有的問題圖式,而且往往需要對當前數(shù)學建模問題與原有數(shù)學建模問題圖式從問題的深層結構層面上進行識別匹配.其測試表明,進行過大量數(shù)學建模訓練的被試在解決數(shù)學建模問題時習慣于將當前建模問題與其所學(或所建)數(shù)學建模問題相匹配.對數(shù)學建模問題模式的識別受多種認知與非認知因素的影響.(1)問題情境.在數(shù)學建模問題模式的識別中,問題情境對問題模式識別具有重要作用,對問題模式的識別依賴于其與問題情境是否具有一致的關系,當問題情境與要識別的問題模式的關系一致時,問題情境能促進對問題模式的識別,相反,當兩者關系不一致時,情境也能干擾模式的識別.(2)知識經(jīng)驗.模式識別是將刺激模式與頭腦中己有的模式互相匹配的過程,或者是運用頭腦中已經(jīng)建構的模式對刺激模式作出解釋的過程.在這個過程中,主體已有的知識經(jīng)驗起著重要的作用.主要表現(xiàn)在知識經(jīng)驗對模式識別的催化作用、補充作用和期待作用.催化作用是指知識經(jīng)驗能加快主體對模式的識別速度,提高識別的準確性.主體對熟悉的模式的識別過程表現(xiàn)為一種自動化的、壓縮的形式,因而速度快、準確性高.對不熟悉的模式,識別過程則受注意控制,具有展開的形式,因而速度慢、準確性差;補充作用是指知識經(jīng)驗能補充或填補感覺信息的缺失,幫助人們對模式作出恰當?shù)慕忉?期待作用是指知識經(jīng)驗能產(chǎn)生知覺期待,根據(jù)頭腦中已建構的模式,預測環(huán)境中將出現(xiàn)的信息,并積極探索所需要的信息.當實際的數(shù)學建模問題模式與期待一致時,知識經(jīng)驗起促進作用,當兩者不一致時,知識經(jīng)驗起干擾作用.此外,需要、動機、情緒、態(tài)度、人格等非認知因素也對數(shù)學建模的模式識別產(chǎn)生一定影響.3評論與展望3.1最佳匹配的信息加工過程不難看出,在知覺領域中,王甦、林崇德等一派的觀點認為,模式識別是知覺的一種形式,人將某種特定的感覺信息與長時記憶中的有關信息進行比較,再決定它與長時記憶中哪個項目有最佳匹配的信息加工過程.另一派如彭聊齡等認為,模式識別可定義為對模式的覺察、分辨和確認的過程,是主體運用記憶中己經(jīng)儲存的信息,對當前出現(xiàn)的刺激模式作出有效解釋的過程.在數(shù)學問題解決領域中,波利亞、匈菲爾德、奧加涅相等是基于解題策略角度來研究模式識別;喻平是把模式識別作為問題解決的認知過程的4個階段之一來看待的;羅增儒把它看作有效的解題策略之一;鄭毓信把模式的識別視為對問題的歸類;劉電芝認為模式識別就是問題解決的實質(zhì).因此,在兩大研究領域以及各領域內(nèi)部對“模式識別”的表述是存在一定的混亂性的.3.2“解決數(shù)學問題的模式”的概念的定義和澄清3.2.1基于數(shù)學問題解決的教學模式知覺領域內(nèi),模式識別是“人將某種特定的感覺信息與長時記憶中的某項目最佳匹配的信息加工過程”.由此可見,模式是“長時記憶中的某項目”,即模式是存在于記憶中的,自然是人的頭腦中的事物,是對現(xiàn)實的某種反映.對于數(shù)學問題解決領域中的模式識別來講,這個“模式”當然也是“長時記憶中的某項目”,只不過這個“項目”更為具體,即限制為“存于記憶的數(shù)學模式”,是個體對“作為知識的數(shù)學模式”的反映.這種反映可能是正確的反映,也有可能是部分正確的反映甚至是錯誤的反映.這種模式是存在于個體頭腦中的,對同一個“作為知識的數(shù)學模式”,也很有可能存在很大的個體差異.因此,這種模式與個體的“記憶”密切相關.由于“作為知識的數(shù)學模式”的層次性與網(wǎng)狀結構,“存于記憶的數(shù)學模式”也就具有層次性與網(wǎng)狀結構.基于此,可以將基于數(shù)學問題解決的模式識別界定為:當主體接觸到數(shù)學問題后,與自己認知結構中的某數(shù)學問題圖式相匹配的思維與認知過程.3.2.2“歸類”強調(diào)思維,強調(diào)過程,強調(diào)提取(1)歸類表現(xiàn)于教與學實踐層面.教“歸類”:在教學中,每個教師都會善于歸納總結,例如廣泛運用的例題教學.“一元二次方程求解”中會有各種例題,教師會說,例一是(35)>0的情況;例2是(35)=0的情況;例3是首項系數(shù)為負數(shù)的情況……如此種種.這是教材編寫者與教師的“實踐行為”層面上的分類,主旨在于希望通過對各種題目類型的“歸類”引導學生在具體解題過程中根據(jù)各種類別選擇相應的解決對策.學“歸類”:學生在梳理自己的所學內(nèi)容時也往往采用“歸類”的思想方法,主旨在于“分類”儲存自身的所學,使之合理高效地內(nèi)化,最終為了在解決問題時按類提取.由此,對學生來說,“歸類”是儲存知識——記憶的前提或方法,“歸類”了才得以記憶,“歸類”才得以更好的記憶.因此,“歸類”強調(diào)行為,強調(diào)方法,強調(diào)儲存.認知心理學認為,模式識別(patternrecognition)是一種知覺過程,與長時記憶中某項目最佳匹配的過程.喻平指出,解題中的模式識別與知覺中的模式識別的概念是有差異的,解題過程中有知覺成分,因而包含知覺模式識別因素,但解題過程中,思維是主要成分,解題中的模式識別是在知覺和思維的交互作用中完成,因而更復雜.由此,模式識別是對“記憶”的匹配與提取,顯然是一種思維層面的東西.因此,模式識別強調(diào)思維,強調(diào)過程,強調(diào)提取.如果說,歸類是教師或?qū)W生把“知識內(nèi)容”這一物品有序組合地放到學生的“記憶”置物架上的話,那么模式識別就是學生按照解題任務的要求,從“記憶”架上拿取“知識內(nèi)容”之物的過程,顯然,這種過程重點在于如何去達到適合任務的匹配.由此,兩者相輔相成,可以說,歸類是模式識別的前提,如果沒有合理歸類,“記憶”架上之物品雜亂無章,又何談匹配及最佳匹配?從這樣的意義上說,教學中對于“歸類”的強調(diào)必然是提高模式識別的有效手段之一.3.2.3數(shù)學的駁岸應用:“化歸”的內(nèi)涵化歸是數(shù)學解題的精髓,正如波利亞關于數(shù)學家與物理學家燒第二壺水的經(jīng)典論述所言,數(shù)學家解題的過程就是把新問題通過某種途徑轉(zhuǎn)換(化歸)為已經(jīng)解決的問題(即使原問題與新問題比較,層次顯得更高也無所謂,如燒水問題),只要轉(zhuǎn)換成功,我的目標就達到了,或者說新問題就解決了.難怪原蘇聯(lián)著名女數(shù)學家、莫斯科大學教授CA雅諾夫斯卡婭有一次向奧林匹克數(shù)學競賽參加者發(fā)表了《什么叫解題?》的演講,她的答案顯得驚人的簡單,完全出乎聽眾的意料:“解題就是把題歸結為已經(jīng)解過的題.”因而,在這樣的意義上,數(shù)學解題就是化歸.可以看出“化歸”強調(diào)的是轉(zhuǎn)換,即新問題向已解決的問題的轉(zhuǎn)換,這種轉(zhuǎn)換可以看成是一種解決問題的思路或思想或方法,所以有人稱之為“化歸方法”,但由于它較之具體方法如代換法等更為宏觀與抽象,所以更多的人稱之為“化歸思想”.由此,化歸是一種思想,是諸多解題方法的升華,是數(shù)學解題的精髓,更多是一種思想層面的概念.模式識別也含有思想層面的內(nèi)涵,即解決新問題時,要尋找匹配于當前任務的“記憶”,但更多的是思維層面的,即尋找合適的匹配的心理與思維過程.3.2.4思維過程思維策略階段.我國關于命題是一種思維過程的階段,但不是解構如前所述,問題解決中模式識別表述的不清使得很多研究者在此三者上幾乎是混為一談的.對于前兩者,都強調(diào)思維,這里認為其既是解題中一種不可或缺的解題策略,又是一種必然的思維階段.關于解題的全部,難免言過其實,這