2021屆新高考地區(qū)優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析12 三角函數(shù)與解三角形（解答題）解析版

2021屆新高考地區(qū)優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析

專題12三角函數(shù)與解三角形

五、解答題

46.（2021?江蘇常州市?高三一模）在口48。中，ZBAC=-,點(diǎn)〃在邊上，滿足

2

（1）若NBAD--,求ZC；

6

（2）若CO=2M,AD=4,求口抽。的面積.

■JT

【答案】（1）一；（2）125/2.

【解析】

在△AB。中，由正弦定理求得sinN8D4=、5，得到NBZM的大小，進(jìn)而求得NC的大小;

（1）

2

（2）由ABfBD,CD=2BD,得到A3=組3。,AC=，根據(jù)向量的線性運(yùn)算，求得

33

umr21X111tin41

AD=-AB+-AC,進(jìn)而得到AO2=-AB2+-AC2,求得6C,AB,AC的長(zhǎng)，利用面積公式，即可求

3399

解.

【詳解】

BDAB

（1）在△A60中，山正弦定理得

sinABAD~sinABDA

山.ABsm—右

所以?673,

sinABDA=--------=——

BD2

2萬TC

因?yàn)镹BZMw（O,乃），所以N5D4=—或/394二-,

33

9777T1T

當(dāng)N5ZM=—時(shí)，可得NB=-,可得/。=一；

363

'll'll'Ji

當(dāng)=2時(shí)，可得NB=2,因?yàn)镹84C=上（舍去）,

322

1T

綜上可得NC=-

3

（2）因?yàn)锳B=6BD,CD=2BD,所以==BC，

33

____1121

由而=通+麗=通+—配=通+-（而-通）=一通+—才乙

3333

4-2

所以礪2=(2而+L衣)2=3而2+!而2+已通而AB

9-

33999

即AD2=-AB2+-AC2,

99

又由A￡>=4，可得乎

［x（BCy+qxBC)2=42,解得BC=672，

則AB=2疝4。=46,

所以s.=3鉆34。=12&.

47.（2021?河北邯鄲市?高三一模）設(shè)口45。的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足

3

acosB-bcosA-—c

5

、tanA…y

（1）求-----的值；

tanB

（2）若點(diǎn)〃為邊AB的中點(diǎn)，AB=10,CD=5,求的值.

【答案】⑴4；（2）475.

【解析】

33

（1）由QCOS8-》COSA=《C,帶入余弦定理整理可得/一〃,所以

a2+c2-b2

tanAsinAcosBcl2ac《V3

,帶入/-/=即可得解:

tanBcosAsinBb1+c2-a2,b2+c2-a2

-----------b

2bc

CFCEtanABE

（2）作A3邊上的高CE,垂足為瓦因?yàn)閠anA=—,tanB=——,所

AEBEtanBAE

,tanA

乂-----4,所以3E=4AE，因?yàn)辄c(diǎn)〃為邊A5的中點(diǎn)且A5=10,所以8D=5,A￡=2,OE=3,

tan3

再根據(jù)勾股定理即可得解.

【詳解】

3

(1)因?yàn)閍cosB-Z7cosA=—

5

所以/+C?23

—c

lea2bc5

BPa2-b2=|c2

jtanA_sinAcosB_a2ac

tanBcosAsinBb2+c2-a2.

---------------b

2hc

a”tanAa-+c2-b~8c-5,

所以-----=F——9——T=——X--二4?

tanB一礦52c2

（2）如圖，作AB邊上的高CE,垂足為反

m、一ACE，CE,tanABE

因?yàn)閠anA-,tanBn——，所以------

AEBEtanBAE

,tanA，

又-----=4,所以5E=4AE.

tanB

因?yàn)辄c(diǎn)〃為邊AB的中點(diǎn)，AB=10,所以8D=5,AE=2,OE=3.

在直角三角形CDE中，8=5,所以CE=JFM=4?

在直角三角形BCE中，BE=8,所以BC="7F=4逐.

48.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，在口46c中，AB1AC，A3=AC=2,點(diǎn)E，尸是線段8C

7T

（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)E在點(diǎn)尸的右下方，在運(yùn)動(dòng)的過程中，始終保持/"尸=一不變，設(shè)NE48=8

4

弧度.

（1）寫出。的取值范圍，并分別求線段AE,A/關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求/面積S的最小值.

血

【答案】(1)0<0<-,AE

sinje+工、,AF號(hào)⑵2GM.

4I4J

【解析】

(1)依據(jù)直角三角形也接寫出。的范圍，然后根據(jù)正弦定理可得AE，A/關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)(1)的條件可得SAEAF，并結(jié)合輔助角公式，簡(jiǎn)單計(jì)算以及判斷即可.

【詳解】

71

(1)由題意知o<ew—,

4

AEAB_V2

-7=AE-7

sin-sin|6>+-|sin6>+-|

4I4)I4)

&五V2_A/2___________1___________

A￡4F-'-

(2)2.(aTlVcos^'VVO2V21

sin8+7——sin6+——cos。cos。

14)22

________1________

1.“l(fā)+cos26

—sin20+--------

22

7T

當(dāng)且僅當(dāng)。=—時(shí)，取“=”.

8

49.(2021?全國(guó)高三專題練習(xí))在口A8C中，a,b,c分別為角A，B,C的對(duì)邊，且bcos-A=c-匚。.

2

(1)求角8；

(2)若口48。的面積為26，8c邊上的高AH=1，求b,5

【答案】(1)(2)b=2后,c=2.

6

【解析】

(l)化角為邊，化簡(jiǎn)得c2+a2-62=百ac，再利用余弦定理求角5；

(2)由正弦定理算出c,由面積公式算出“，由余弦定理計(jì)算人中即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)閎cosA=c---a?所以/??:+。-=c----a?

22bc2

所以/+。2一。2=2"-百，BPc2+a2-b2=y[3ac-

由余弦定理可得cosB="一〃二—，

2ac2

TT

因?yàn)?￡(0,7)，所以3=—.

6

A//sin

AHsinZAHB2o

(2)由正弦定理可得。=----———=---------=2.

sin5.兀

sin—

6

因?yàn)镈A3c的面積為，所以；。。5m8=；。=26，解得&=4出.

由余弦定理可得。2="+,2-2accosB=48+4—2x2x46x^=28,

2

則b=2a.

3TI

50.(2021?湖南高二月考)如圖，在平面四邊形力版中，ADLCD./BAD=—，2AB=B24.

(1)求cosNADB；

(2)若BC=?,滎CD.

【答案】(1)cosZA￡)S=—;(2)CD=30

4

【解析】

(1)△A3。中，利用正弦定理可得sinNAOB，進(jìn)而得出答案;

(2)△88中，利用余弦定理可得CD.

【詳解】

2，4

ABBD即sin/AQB一正,解得sinNADB=3，故

(1)△AB。中,

sinNADB-sinNBAD—4

V14

cosZADB=---

4

⑵sin/ADB=J=cos/CDB

4

△BCQ中，cosZCDB=BD+CD~BC-,即夜「一(岳)，

2BDCD424CD

化筒得(C力一3底)(CO+&)=0,解得CZ)=3夜.

51.(2021?山東高三專題練習(xí))在□ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且

a(sinA-sinB)+Z?sinB=csinC.

(1)求角C；

(2)若c=3,a+b=6,求DABC的面積.

【答案】(1)-；(2)噸.

34

【解析】

(1)由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理可得。角；

(2)利用余弦定理和已知a+b=6可求得。力，從而得三角形面積.

【詳解】

CLhC

(1)由正弦定理，得sinA=—,sinB=—?sinC=—,

2H2R2R

又。(sinA-sinB)+Z?sinB=csinC,所以Q?+人2一i="

2?22

由余弦定理，得cosC——ab

2ab2ab

故cosC=—.

2

又Ce(O,〃)，所以C=三.

(2)由余弦定理，得^+從一出;二，

9=a1+b2-ah

聯(lián)立方程組，得〈

〃+/?=6

ab=9

化簡(jiǎn),

。+。=6

。=3

解得《

b=3

所以DAHC的面枳S=g"sinC=￥.

7T

52.(2021?全國(guó)高三專題練習(xí))在圓內(nèi)接四邊形ABCO中，8。=4,/8=2/。,/4。8=—,求八48

面積的最大值.

【答案】最大值為6百

【解析】

)TTTT7T

因?yàn)樗倪呅蜛5CD是圓內(nèi)接四邊形，求得NB=—,/￡>=一,得到NE4C=一,由正弦定理，求得

334

AC=2R，在八48中，由余弦定理和基本不等式，求得4>CD<24,即可求解.

【詳解】

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓內(nèi)接四邊形，可得NB+ND=TT,

又因?yàn)镹8=2N。，所以/8=生,/。=￡,

33

Jr27r717t

在nABC中，因?yàn)镹ACB=—，可得NBAC=九一一-一一

123124

4G

.4x

由正弦定理得等=—,所以得AC==2瓜,

sinBsmZ.BACsinNBACV2

在AACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD1-2AD-CDCOSD，

即24=AD2+CD2-ADCD>2ADCD-ADCD=ADCD>

當(dāng)且僅當(dāng)AD=C￡>時(shí)，取等號(hào)，即4NCOW24,

所以S,e=-ADCDsinD=—ADCD<6^，

A2?

即AACD面積的最大值為6百.

53.(2021?山東棗莊市?高三二模)若/(x)=sin?x+0),>O,O<9<、的部分圖象如圖所示,

(1)求/(x)的解析式;

(A-B3,求并證明sinA叵.

(2)在銳角口48。中，若A>8,

525

【答案】⑴/(x)=sin(2x+看(2)cos?二0=±但，證明見解析.

210

【解析】

(1)由7(0)=g結(jié)合9的取值范圍可求得9的值，再結(jié)合=0可求得出的值，進(jìn)而可得出函數(shù)

/(x)的解析式;

(2)求出A—5的取值范圍，由已知條件求出sin(A-B)的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的

降舞公式可求得cos上2的值，然后利用兩角和的正弦公式可證明得出sinA>—.

25

【詳解】

1I-JTjr

(1)由/(0)=—，得sin^=—，又金<(p<—,故。=一.

由空］=0，得sin（0?也+工］=0,所以0?2+工=2&萬+%

keZ、

\12JV126J126

即啰=2H———,keZ、

八12萬5萬匚口、1八12

由0>0，結(jié)合函數(shù)圖象可知------>,所以。<69<.

2CDn5

又攵eZ,所以女=1，從而。=與2=2,因此，/(x)=sin(2x+^

⑵由/（鋁培卜sin（A"）=|,

jrTT4

?.?0<8<4<一,所以，0<A—8<O,故cos（A—6）=—

22v75

3/)=2于是,?！菏瑏兒?/p>

所以，sin"=、「^亙=畫.

2V210

ITA+BA-BA-B

又A+8>—,故4=------------1-------->---—+

22242

又y=sinx在(o,])上單調(diào)遞增，Aefo,yj,￡,，一《吟

A-By.7tA-B71.A-BV2（3>/ioy/io}2小

所以sinA>sin|工sin—cos-------+cos—sin-------=——x--------F=.

（4424221010J5

7T

54.(2021?河北唐山市?高三二模)在口48c中，角A,8,C的對(duì)邊分別為“，b,c.C=~,AB

邊上的高為

(1)若SABC=26,求口48。的周長(zhǎng);

21

(2)求*+：的最大值.

ab

【答案】(1)2>/10+4；(2)殍.

【解析】

(1)由一角形面積公式可得c=4,ab=8,結(jié)合余弦定理，可得(a+0)2=40,即可得口人6。的周長(zhǎng);

2sin------A+sinA

（2）由（1）和正弦定理可得，2?1=2sin8+smA=I3J,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)以后利

a~b~73百

24

用輔助角公式化簡(jiǎn)運(yùn)算，由0<A<——，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.

3

【詳解】

解：（1）依題意5AAsc=ga"sinC=gc?6=2G,可得c=4,

jr

因?yàn)椤?一，所以訪=8.由余弦定理得"+從_加,=。2,

3

因此（4+6）2=c?+3必=40,即“+〃=2疝L

故DABC的周長(zhǎng)為2加+4.

（2）由（1）及正弦定理可得,

2sinfA|+sinA.八

212b+a2b+a2sinB+sinAr

—+-=---------=----------=--------------------I3)_V7sin(A+^),(其中。為銳角,

ahah2cJ3

忑一石

且tan6=—）

2

由題意可知0<A〈二，因此，當(dāng)A+6=工時(shí)，2+,取得最大值叵.

32ab3

55.（2021?遼寧高三二模）已知在銳角DABC中，角A,B.C的對(duì)邊分別為a,b,。，口相。的面

積為S,若45=從+。2-/，b=瓜.

（1）求A；

（2）若,求DABC的面積S的大小.

（在①2cos之3+cos23=0,②。cosA+〃cos8=6+1，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上）

【答案】（1）A=f；（2）條件選擇見解析；S=上也.

42

【解析】

（1）利用三角形面積公式由45=爐+°2—/,得到426csinA=〃+c2-a2,再利用余弦定理求解；

2

7T

（2）若選①，由2cos23+COS23=0，易得B=1,再結(jié)合（1）利用正弦定理求得a,再利用三角形面

積公式求解：若選②，由bcosA+acosB=6+l，利用余弦定理得易得c=J5+l,再利用三角形面積

公式求解.

【詳解】

（1）因?yàn)?s=巨+——儲(chǔ),

22sn222

所以41Z?csinA=〃+c-6/,即"2"^"h+c-a,

2--------------=--------------

2bc2bc

所以sinA=cosA,故tanA=1,

因?yàn)?<A〈工，

2

所以A=f.

4

（2）若選①，因?yàn)?cos2B+cos28=0，

所以cos?B=L

4

所以cosB=±，.

2

7T

因?yàn)?<8<一,

2

jr

所以8J.

3

ab

由正弦定理「■=「；，得.或一.兀，

sinAsinBsin—sin—

43

所以。=2.

所以S=La/?sinC='?2?逐?5泊（兀一色一色=―—―.

22142

若選②，因?yàn)槿薱osA+acosB=6+l,

,.,b2+c2-a2a2+c2-b2/r.

由余弦定理得人----------+a--------------=J3+1,

2bclac

解得c=W+l.

S=gbcsinA=g.卡?（百+l）?si吟=

56.（2021?江蘇鹽城市?高三二模）在①Q(mào)&a；②a=3cos3：③asinC=1這三個(gè)條件中任選一個(gè),

補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的三角形存在，求該三角形面積的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在它的內(nèi)角ARC的對(duì)邊分別為a/,c,且5足8—411(4一。)=65畝。，

c=3?

【答案】答案不唯一，具體見解析.

【解析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和為燈及題干條件，結(jié)合兩角和與差的正弦公式，可求得角力,

7727rTC

選擇①，利用正弦定理可得sin8,根據(jù)角8的范圍，可求得3=—，或8=—.當(dāng)8=一時(shí)，求得角G

333

—27r

即可求得面積，當(dāng)8=7時(shí)，根據(jù)正弦定理，求得。，即可求得面積；

jr

選擇②，根據(jù)余弦定理.，可求得。二一，即可求得小b,進(jìn)而可求得面積；

2

3

選擇③，根據(jù)正弦定理，可得asinC=csinA=一，與題干條件矛盾，故不存在.

2

【詳解】

解：在口46。中，3二乃一(A+C),

所以sin5=sin[7r—(A+C)]=sin(A+C).

因?yàn)閟in5-sin(A-C)=6sinC,

所以sin(A+C)-sin(A-C)=V3sinC,

即sinAcosC+cosAsinC-(sincosC-cosAsinC)=GsinC,

所以2cosAsinC=V3sinC.

在UABC中,?！?0,%)，所以sinCwO,

A

所以cosA=——?

2

TT

因?yàn)锳E(O,;T),所以A=一.

6

選擇①：因?yàn)?由正弦定理得sinB=J^sinA=,

因?yàn)?￡（0,?）,

TT

所以8=—，或8=——,此時(shí)口43。存在.

33

當(dāng)8=2■時(shí)，C=—,所以/?=(7cosA=之?，

322

所以DABC的面積為

當(dāng)6=2時(shí)，C=工，所以匹也0=3石，

36sinC

所以口抽。的面積為5,腔=；歷5小4=3乂36乂3*3=乎?

選擇②：因?yàn)椤?3cos5,

所以。=3x"”—,得/+尸=9=/,

6。

TT

所以。=一，此時(shí)口48。存在.

2

71

因?yàn)锳=一，

6

所以。=3cos—=,a=3xsin—=—

6262

所以□A6c的面積為S^BC==ab=處.

28

c3

選擇③：由-----=-----,得asinC=csinA='，

sinAsinC2

這與asinC=l矛盾，所以口/⑥。不存在.

57.(2021?湖南衡陽市?高三一模)口48。中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，方，J且。成

等差數(shù)列.

冗

(1)若A=一,求3；

3

(2)求3的取值范圍.

冗兀

【答案】(1)3=—；(2)0<B<—.

33

【解析】

7127r

(1)由等差數(shù)列得力>=a+c，由正弦定理化邊為角，利用A=§得。=彳—8,代入可求得B角；

（2）由余弦定理表示出cosB，代入/?=——，用基本不等式得COS8的范圍，從而得3角范圍.

2

【詳解】

（1）a，b,。成等差數(shù)列，,2/?=。+。2sin3=sinA+sinC,

當(dāng)4=工時(shí)，2sin8=sin工+sinC,BfJ2sinB=sin—+sin|——B|=—―H———cosB+—sinB?

333(3)222

^sinB——cosB=一，

222

乃,71n7171.o7171.n萬

I6；23662663

22（tZ+cY

（2）由余弦定理及處=a+c,八,+,一〔亍J3（ca\1、1,當(dāng)。=c時(shí)取等號(hào).

2ac81ac）42

TT

結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知：0<8工一.

3

58.（2021?遼寧鐵嶺市?高三一模）在①sin?A-（sinB-sinC）2=sinBsinC,②』sin=asinB,

③“sin8=bsin（葛這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.

口A6C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為b、c,若JZ+Z?=2c，求A和C.

n5乃

【答案】選擇見解析，A=—,C=——.

312

【解析】

選擇條件①，利用正弦定理結(jié)合余弦定理求出cosA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得A的值，由正弦定

理結(jié)合條件&a+b=2c可得出75sinA+sinB=2sinC，由三角形的內(nèi)角和定理以及三角恒等變換思想

求出sin（C-今）=；,由角C的取值范圍可求得結(jié)果；

A

選擇條件②，利用誘導(dǎo)公式、正弦定理以及三角恒等變換思想求出sin—的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得

2

角A的值，由正弦定理結(jié)合條件、歷a+b=2c可得出J5sinA+sin5=2sinC，由三角形的內(nèi)角和定理

以及三角恒等變換思想求出sinlC-^-=萬1，山角。的取值范圍可求得結(jié)果;

2

選擇條件③，由正弦定理以及兩角差的正弦公式可求得tanA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值,

由正弦定理結(jié)合條件J5Q+Z?=2c可得出V2sinA4-sinB=2sinC，由三角形的內(nèi)角和定理以及三角恒等

變換思想求出sin[C-看）=g,ill角C的取值范圍可求得結(jié)果.

【詳解】

（1）選擇條件①，由sin?A—（sin=sin3sinC及正弦定理知。？一（b-cj=bc,

扇*「2_211

整理得，b2+c2^a2=bc9由余弦定理可得cosA=幺^--=—=

2bc2bc2

又因?yàn)锳e（O,〃），所以A=2,

又由J5Q+/?=2C，得J5sinA+sin6=2sinC，

由8=至_。，得0sin至+sin（空一C1=2sinC,

33I3J

即+且<osC+^sinC=2sinC，即3sinC-GcosC=C，即2Gsin[C'—,整理得,

222I

.J吟如

叫。一封。，

因?yàn)镃ep）,，],所以（一[.J],從而C—2=工，解得c=回；

I3J6I62j6412

選擇條件②，因?yàn)锳+3+C=〃，所以生￡=三一2,

222

由=asinB得bcosA="sinB,

22

AAA

由正弦定理知，sinBcos—=sinAsin3=2sin—cos—sinB,

222

?.?5￡（0,%），A￡（0,?）,可得

AA1A-rrJT

所以，sinB>0,cos->0,可得sing==,所以，一=一，故4=一.

222263

以下過程同（1）解答；

選擇條件③，[±1asin8=Z?sin（g-A）,

及正弦定理知，sinAsinB=sinBsin,vfie(0,^),則sin3>0，

從而sinA=sin(互一A1=@cosA+'sinA,則sinA=GcosA，解得tanA=g，

I3J22

rr

又因?yàn)锳e(O,〃)，所以A=§,以下過程同(1)解答.

59.(2021?山東煙臺(tái)市?高三一模)將函數(shù)/(x)=sinx+Gcosx圖象上所有點(diǎn)向右平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度,

然后橫坐標(biāo)縮短為原來的/(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在口⑷?。中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,6,c,若sin(W-8卜=；,

。=且(51力=26，求DABC的面積.

kO；

【答案】⑴g(x)=2sin(2x+?J,單調(diào)遞增區(qū)間為:--+k7i,—+k7T(ZeZ)；(2)工it叵或

36」2

272.

【解析】

/、

11ijrjr冗

(1)由題可得g(x)=2sin2x+-\,令一一+2br<2x+—<—+2攵乃即可解得單調(diào)遞增區(qū)間;

k67262

TT7T

(2)由題可得c=2,B=—或8=一，由余弦定理可求得。，即可求出面積.

62

【詳解】

(1)/(%)=sinx+V3cosx=2sinx+?］，

/(x)圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin(x+總的圖象，

橫坐標(biāo)縮短為原來的J(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2sin1+高圖象，

所以83=2511112%+看)，

令一工+2々萬<2x+—<—+2A:^,解得一2+<x<2+改開,

26236

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：一g+Z乃彳+4乃(ZeZ)

(2)由(1)知，c=g[wj=2,

因?yàn)閟in(?_Bkose+§]=cos2仁+8)=；,所以cos仁+B)=±g

乂因?yàn)?w(0,〃)，所以6+二=(",一不]，

ov66J

當(dāng)COS(2+B]=，時(shí)，B+—^—,B-—,

<6J2636

此時(shí)由余弦定理可知，4+a~-2x2xacos—=12,解得a=+JIT,

6

5

所以SABc=gx2x(6+Vn)xsin^~=Al,

當(dāng)COS[Z+B]=一工時(shí)，B+—=—,B=—,

16J2632

此時(shí)由勾股定理可得，a=J12-4=2加‘

所以ZABC=；X2X2夜=2夜?

60.(2021?廣東汕頭市?高三一模)在口48。中，角A3,C的對(duì)邊分別為a,dc,已知:

b=y15,c=x/2,ZB=45°.

(1)求邊8c的長(zhǎng)和三角形ABC的面積；

4

(2)在邊8C上取一點(diǎn)〃，使得cos?AO6求tanZDAC的值.

32

【答案】(1)BC=3；S.c=—；(2)—.

ABC211

【解析】

(1)法一：DABC中，由余弦定理求BC的長(zhǎng)，應(yīng)用三角形面積公式求A5C的面積；法二：過A作出高

交BC于F，在所得直角三角形中應(yīng)用勾股定理求3F,FC,即可求BC,由三角形面積公式求A5C的面

積；

(2)由正弦定理、三角形的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系，法一：求sin。、cosC、sinZADB.cosZADB,

由sin/D4C=sin(NAOB-NC)結(jié)合兩角差正弦公式求值即可；法二：求tanC、tanNADB，再由

tan/D4C=tan(〃-(NAr)C+/C))結(jié)合兩角和正切公式求值即可；法三：由(1)法二所作的高，直角

△亞)中求sinNADB,進(jìn)而求sinNAOC，再根據(jù)正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系求值即可.

【詳解】

(1)法■：在口45。中，由。=J?,c=0,NB=45。，

由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB>得5=2+/-2x0xax——，解得。=3或。=一1(舍)，

2

所以BC-a—3>S,8r=—acsinB=--3-V2=.

ABC2222

法二：(1)過點(diǎn)A作出高交3C于尸，即口43尸為等腰直角三角形，

QAB=母,A尸=3尸=1，同理△AFC為直角三角形，

vAF=l,AC=y[5,

13

:.FC=2,故5c=5E+EC=3,SABC=-\BC\-\AF\=-.

(2)在DA5c中，由正弦定理/一=—^,即&_=*L,得sinC=立，又b=gc=6，

sin6sinCsin45°sinC5

所以NC為銳角,

2由(為銳角)，得

法一：由上，cosC=Vl-sinC=-1cos?AO6gZ4DB

53

2

sinZADB=71-cosZADB=11--=-,

V255

sinZDAC=sin(ZAD8-ZC)=sinZADBcosZC-cosZADB-sinZC=-x--x

555525

由圖可知：ND4c為銳角，則cosNDAC=Jl一sin?NDAC=，所以

25

sinZDAC2

tanZDAC二

cosADAC11

143

法二：由上，tanC=-,Ellcos?ADB-(ZAD5為銳角)，得tanNAOS=—，

254

?.?NADB+NADC=7T

3

?.tanZADC=——，故

4

tan(ZAZ)C)+tan(ZC)

tanZDAC=tan(乃-(ZADC+ZC))=-tan(ZADC+ZC)=-

l-tan(ZA￡>C).tan(ZC)

4

法三：△井D為直角三角形，且IA尸|=1,cos4403=1,

所以sinZADB=Vl-cos2ZADB

AF5423

AD=------------=-,DF=ADcosZADB=-,CD=-,sinZADC=-

sinZADB3335

CDAC

在DADC中，由正弦定理得,，故sinN￡>AC=*

sinZDACsinZADC25

由圖可知ND4C為銳角,則cosZDAC=Jl-sir?ND4c=業(yè)5，所以tanADAC=sinZDAC2

25cos/.DAC11

61.（2021?聊城市?山東聊城一中高三一模）在口ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c

請(qǐng)?jiān)冖?cosc=JjcsinB；②儂一a）cosC=ccosA；③/十/一,2=孚§板這三個(gè)條件中任

選一個(gè)，完成下列問題

（1）求角C；

(2)若。=5,c=7,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)。，使85440。=上，求線段BD的長(zhǎng)度.

7

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

IT

【？'+案】（1）條件選擇見解析，C=一；（2）班）=5.

3

【解析】

（1）利用所選條件，應(yīng)用正余弦定理的邊角關(guān)系、三角形面積公式，化簡(jiǎn)條件等式，結(jié)合三角形內(nèi)角的性

質(zhì)，求角C;

（2）由正余弦定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式及兩角和正弦公式求C￡＞，進(jìn)