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文檔簡介
2022-2023學(xué)年廣東省東莞市新風(fēng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列滿足則數(shù)列的前10項的和為
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:D2.已知直線l,m與平面滿足,,則有(
)A.且B.且C.且D.且參考答案:B3.曲線y=x3﹣2x+4在點(1,3)處的切線的傾斜角為()A.30° B.45° C.60° D.120°參考答案:B【考點】62:導(dǎo)數(shù)的幾何意義.【分析】欲求在點(1,3)處的切線傾斜角,先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知k=y′|x=1,再結(jié)合正切函數(shù)的值求出角α的值即可.【解答】解:y/=3x2﹣2,切線的斜率k=3×12﹣2=1.故傾斜角為45°.故選B.【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及利用正切函數(shù)的圖象求傾斜角,本題屬于容易題.4.命題“?x∈R,x2+2x+2>0”的否定是()A.?x∈R,x2+2x+2≤0 B.?x∈R,x2+2x+2≤0C.?x∈R,x2+2x+2<0 D.?x∈R,x2+2x+2>0參考答案:B【考點】命題的否定.【分析】根據(jù)全稱命題的否定要改成存在性命題的原則,可寫出原命題的否定.【解答】解:原命題為:?x∈R,x2+2x+2>0,∵原命題為全稱命題,∴其否定為存在性命題,且不等號須改變,∴原命題的否定為:?x∈R,x2+2x+2≤0.故選:B.5.過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點,若,則實數(shù)p的值為(
)A. B.1 C. D.參考答案:B【分析】設(shè)直線方程為,,聯(lián)立直線與拋物線可得,可得答案.【詳解】解:易得,設(shè)直線方程為,(此題中),,可得,,可得,,可得,由題意的,故P=1,故選B.【點睛】本題是一道關(guān)于拋物線的題目,關(guān)鍵是掌握拋物線的簡單性質(zhì)及弦長的計算方法.6.已知復(fù)數(shù),則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案:D由題意可得,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第四象限,選D7.若,是第三象限的角,則等于(
)A.
B.
C.-2
D.2參考答案:A8.若焦點在軸上的橢圓的離心率為,則=
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B9.如圖所示,四邊形中,,,,將沿折起,使平面平面,構(gòu)成四面體,則在四面體中,下列說法不正確的是(
).A.直線直線 B.直線直線 C.直線平面 D.平面平面參考答案:A∵平面平面,平面平面,平面且,∴平面.∴,且平面平面.所以,,正確,故選.10.若復(fù)數(shù)(b∈R)的實部與虛部互為相反數(shù),則b=()A. B. C. D.2參考答案:C【考點】A5:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算;A2:復(fù)數(shù)的基本概念.【分析】化簡復(fù)數(shù)為+,由題意可得=﹣,由此解得b的值.【解答】解:∵復(fù)數(shù)===+.由題意可得=﹣,解得b=﹣.故選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0),P為x軸上一動點,經(jīng)過P的直線y=2x+m(m≠0)與雙曲線C有且只有一個交點,則雙曲線C的離心率為________.參考答案:即雙曲線的漸近線與直線y=2x+m平行,即=2,所求的離心率e===.12.已知向量=(cosα,0),=(1,sinα),則|+|的取值范圍為
.參考答案:[0,2]【考點】三角函數(shù)的最值;平面向量的坐標(biāo)運算.【分析】直接利用向量的模化簡,通過三角函數(shù)求解表達(dá)式的最值.【解答】解:向量=(cosα,0),=(1,sinα),則|+|==∈[0,2].故答案為:[0,2].13.已知橢圓E:與雙曲線D:(a>0,b>0),直線:與雙曲線D的兩條漸近線分別交于點A,B.若橢圓E的右焦點F在以線段AB為直徑的圓內(nèi),則橢圓的離心率的取值范圍是________.參考答案:14.一元二次不等式的解集為
.參考答案:15.讀下面的程序框圖,若輸入的值為,則輸出的結(jié)果是 .參考答案:-116.若,則的最小值為
▲
.參考答案:解法一:如圖,可看成(0,0)到直線上的點的距離的平方,而的最小值就是原點到直線的距離的平方,此時,其平方即為.解法二:由得,代入中,則=,易知的最小值為.
17.設(shè)為曲線上的點,且曲線在點處切線的傾斜角取值范圍是,則點縱坐標(biāo)的取值范圍為
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)
經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計男性50
100女性70
100合計
(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為X,求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.01000050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案:(1)詳見解析;(2)①;②數(shù)學(xué)期望為6,方差為2.4.【分析】(1)完成列聯(lián)表,由列聯(lián)表,得,由此能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購的有人,偶爾或不用網(wǎng)購的有人,由此能選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率.②由列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為:,由題意,由此能求出隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】解:(1)完成列聯(lián)表(單位:人):
經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計男性5050100女性7030100合計12080200
由列聯(lián)表,得:,∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購的有人,偶爾或不用網(wǎng)購的有人,∴選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率為:.②由列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為:,將頻率視為概率,∴從我市市民中任意抽取一人,恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購市民的概率為0.6,由題意,∴隨機變量的數(shù)學(xué)期望,方差D(X)=.【點睛】本題考查獨立檢驗的應(yīng)用,考查概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法,考查古典概型、二項分布等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.19.(本小題滿分12分)已知一條曲線在軸右側(cè),上每一點到點的距離減去它到軸距離的差都是1.(1)求曲線的方程;(2)(文科做)已知點是曲線上一個動點,點是直線上一個動點,求的最小值.(理科做)是否存在正數(shù),對于過點且與曲線有兩個交點的任一直線,都有·?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.參考答案:即
將①代入上式,得.
-----------------------8分∵對任意實數(shù)上式成立,∴,而
-----------------------10分即∴.
∴存在正數(shù),對于過點且與曲線有兩個交點的任一直線,都有·,且的取值范圍.-----------------------12分20.設(shè)函數(shù)f(x)=2xlnx﹣1.(1)求函數(shù)f(x)的最小值及曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若不等式f(x)≤3x3+2ax恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.參考答案:【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程;函數(shù)恒成立問題.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,可得極值、最值;求得切線的斜率和切點坐標(biāo),由點斜式方程可得切線方程;(2)由題意可得a≥lnx﹣﹣,在(0,+∞)上恒成立,構(gòu)造函數(shù)h(x)=lnx﹣﹣,h′(x)=﹣+=﹣,求解最大值,即可求解a的取值范圍.【解答】解:(1)函數(shù)f(x)=2xlnx﹣1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2(lnx+1),當(dāng)x>時,f′(x)>0,f(x)遞增;當(dāng)0<x<時,f′(x)<0,f(x)遞減.即有x=取得極小值,也為最小值,且為﹣﹣1;可得曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為k=f′(1)=2,切點為(1,﹣1),曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y+1=2(x﹣1),即為2x﹣y﹣3=0;(2)不等式f(x)≤3x3+2ax恒成立,可得:a≥lnx﹣﹣,在(0,+∞)上恒成立,設(shè)h(x)=lnx﹣﹣,h′(x)=﹣+=﹣,h′(x)=0,得:x=1,x=﹣(舍去),當(dāng)0<x<1時,h′(x)>0,當(dāng)x>1時,h′(x)<0,∴當(dāng)x=1時,h(x)max=﹣2,∴a≥﹣2,∴實數(shù)a的取值范圍:[﹣2,+∞).21.(14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(-1,1),P是動點,且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP+kOA=kPA.(1)求點P的軌跡C的方程;(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點,且=λ,直線OP與QA交于點M,問:是否存在點P,使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.參考答案:(1)y=x2(x≠0且x≠-1)(2)(1,1)(1)設(shè)點P(x,y)為所求軌跡上的任意一點,則由kOP+kOA=kPA得,整理得軌跡C的方程為y=x2(x≠0且x≠-1).(2)設(shè)P(x1,),Q(x2,,M(x0,y0),由=λ可知直線PQ∥OA,則kPQ=kOA,故,即x2+x1=-1,由O、M、P三點共線可知,=(x0,y0)與=(x1,)共線,∴x0-x1y0=0,由(1)知x1≠0,故y0=x0x1,同理,由=(x0+1,y0-1)與=(x2+1,-1)共線可知(x0+1)(-1)-(x2+1)(y0-1)=0,即(x2+1)[(x0+1)·(x2-1)-(y0-1)]=0,由(1)知x2≠-1,故(x0+1)(x2-1)-(y0-1)=0,將y0=x0x1,x2=-1-x1代入上式得(x0+1)(
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