勾股定理知識(shí)點(diǎn)及典型例題

勾股定理知識(shí)點(diǎn)、勾股定理的證明試通過等積法得出啊a,b,。三者的關(guān)系。首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三邊存在關(guān)系a2+b2c2。BP勾股定理可以表述為：二、勾股定理的定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=C2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。簡單的說，勾股定理就是直角三角形三邊的一種數(shù)量關(guān)系。其中較短的直角邊我們叫它：勾；較長長邊我們叫它：股；斜邊叫它：弦。既然直角三角形三邊是這樣關(guān)系，那么對于銳角三角形和鈍角三角形又是怎樣的關(guān)系呢？這里大家可以通過特殊三角形來記憶:銳角三角形就通過邊長為1的等邊三角形來特殊化，顯然a2+b2>C2對于鈍角三角形，可以通過底角為30度，腰為2的等腰三角形來記憶，計(jì)算可知a2+b2<c2大家不僅要掌握勾股定理，對于勾股定理的逆定理也是必須掌握的，它是我們判斷直角三角形時(shí)一個(gè)很好的方法，那我們看看它的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有下面關(guān)系：a2+b2=C2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：A、 若已知邊長：（1） 確定最大邊（不妨設(shè)為C）；（2） 若C2=a2+b2，則△ABC是以NC為直角的三角形；若a2+b2<C2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2+b2>C2，則此三角形為銳角三角形（其中C為最大邊）B、 若未知邊長，則直接進(jìn)行第二步。例2:在AABC中，若a2=(b+c)(b-c),則AABC是 三角形，且匕90。三、 對于勾股定理，還有個(gè)很重要的概念：勾股數(shù)：滿足a2+b2=C2的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)(注意：若a,b,c、為勾股數(shù)，那么ka,kb,kc同樣也是勾股數(shù)組。)*附：常見勾股數(shù):3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13四、 勾股定理的作用：已知直角三角形的兩邊求第三邊。例3：在直角三角形中兩直角邊分別為3、2,求斜邊長；例4：在直角三角形中兩邊長分別為3、2,求第三邊。已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。：用于證明線段平方關(guān)系的問題。例5：如圖所示，在AABC中，AB=AC=5,P為BC邊上任意ATOC\o"1-5"\h\z一點(diǎn).求證：AB2—AP2=BP?PC(先直接因式分解不行，再間接分解) ABPD C利用勾股定理，作出長為、?成的線段。 v13例6：請?jiān)跀?shù)軸上表示出、13解決實(shí)際應(yīng)用問題例7、梯子滑動(dòng)問題：一架長2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m(如圖)，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動(dòng)0.8米例8、爬行距離最短問題：如圖，一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,則它走過的路程最短為(D)A.?容a B.（+克） C.3a "BaTOC\o"1-5"\h\z/ QA M'-'BP N例9、折疊問題：如圖，在長方形ABCD中，將AABC沿AC對折至AAEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F。（1）試說明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的長有兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS或“角角邊”）歸納下當(dāng)題目提到直角三角形的時(shí)候應(yīng)該立刻在腦子里想到：（1） 角度關(guān)系。（2） 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（3） 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（4） 在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。（5） 勾股定理。練習(xí)在AABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長為（5+9=14）已知|x—12|+|x+y—25與z2-10z+25互為相反數(shù)，試判斷以x、y、z為三邊的三角形的形狀。已知*a—6+2步—8+（c—10）2=0,則以a、b、c為邊的三角形直角三角形兩直角邊長為a，b，斜邊上的高為h，則下列式子總能成立的是（D）1.1 1一1,1 1A.ab=b2b.a2+b2=2h2 C,—+片=萬D.——+甘=有勾股定理能力提高訓(xùn)練題一.勾股定理中方程思想的運(yùn)用例題1.如左圖所示，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm，BC=10cm，將^ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD的長為（）二.勾股定理中分類討論思想的運(yùn)用例題2.已知^ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，求△ABC的面積。三勾股定理中類比思想的運(yùn)用例題3.如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S「S2、S3表示，則不難證明S1=S2+S3（1） 如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關(guān)系？（不必證明）（2） 如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其面積分別用S「S2、S3表示，請你確定S「S2、學(xué)之間的關(guān)系并加以證明四.勾股定理中整體思想的運(yùn)用例題4.在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖）.巳知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S、S、S、S，則S+S+S+S= .1 2 3 4 1 2 3 4五.勾股定理中數(shù)型結(jié)合思想的運(yùn)用例題5.在一棵樹的10m高處有兩只猴子，其中一只爬下樹直奔離樹20m的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？

練習(xí)題設(shè)^ABC的面積為S,1、已知RtAABC中，匕A,ZB,ZC，的對邊長分別為a,b,設(shè)^ABC的面積為S,（1）、請你完成下面的表格：a,b,ca+b-cS/L3,4,55,12,138,15,17（2） 、仔細(xì)觀察上表中你填寫的數(shù)據(jù)規(guī)律，如果a,b,c為已知的正實(shí)數(shù)，且a+b-c=m，那么S/L= （用含m的式子表示）（3） 、請說明你寫的猜想的推理過程。2、在RtAABC中，匕ACB=900,AC=4,BC=3,在RtAABC外部拼接一個(gè)合適的三角形，使得拼成的圖形剛好是一個(gè)等腰三角形。要求畫出圖形并計(jì)算出邊長。3、（09.恩施）如圖，長方體的長為15,寬10,高為20,點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離為5,一只螞A蟻如果沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是（AA.5"21B.25C.10V5+5D.354.勾股數(shù)又稱商高數(shù)，它有無數(shù)組，是有一定規(guī)律的比如有一組求勾股數(shù)的式子：a=m2-〃2,b=2mn,c=m2+n2（其中m,n為正整數(shù)，且m>n）.你能驗(yàn)證它嗎？利用這組式子，完成下表，通過表格，你會(huì)發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)有哪些規(guī)律？請查閱有關(guān)資料，相信你將有5、（5、（2009?赤峰）公園里有一塊形如四邊形ABCD的草地，測得BC=CD=10米，ZB=ZC=120°,ZA=45度.請你求出這塊草地的面積？6、（2008-南昌）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B'處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處；（1） 求證：B‘E=BF；（2） 設(shè)AE=a,AB=b,BF=c,試猜想a,b,c之間的一種關(guān)系，并給予證明.7、（2007安徽）如圖，DE分別是△ABC的邊BC和AB上的點(diǎn)，AABD與^ACD的周長相等，ACAE

與^CBE的周長相等.設(shè)BC=a，AC=b，AB=c.（1）求AE和BD的長；(2)若ZBAC=90°,AABC的面積為S,求證：S=AE?BD.8、（2010?河南）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE,且點(diǎn)G在矩形ABCD內(nèi)部.小明將BG延長交DC于點(diǎn)F,認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？說明理由.（2）問題解決：的值;保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求的值;（3）類比探求:的值.保持（1）中條件不變，若DC=nDF,求的值.9.（2010哈爾濱）.如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在（第19題圖）點(diǎn)C'處，折痕為EF，若匕ABE=20°，那么匕EFC'的度數(shù)為度.（第19題圖）10.（2010湖北省咸寧市）如圖，直角梯形ABCD中，AB^DC，ZDAB=90。，AD=2DC=4，AB=6.動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)M作直線l〃AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為0點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（（秒）.（1） 當(dāng)t=0.5時(shí)，求線段QM的長；（2） 當(dāng)0<t<2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值；（3） 當(dāng)t>2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R.請?zhí)骄緾QQ是否為定值，若是，試求這個(gè)定值；若不是，請說明理由.（第24題）（備用圖1）（第24題）（備用圖1）（備用圖2）11.（2010年眉山）如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1,A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則匕4BC的度數(shù)為A.的度數(shù)為A.90°B.60°C.45° D.30°12.（10重慶潼南縣）如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AG，點(diǎn)E、F分別在AG上，連接BE、DF，Z1=Z2，Z3=Z4.（1） 證明：△ABE^^DAF；（2） 若ZAGB=30°，求EF的長.13.（2010山西）.如圖，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DELAC于點(diǎn)E，則DE的長是 .（2010山東德州）如圖，小明在A時(shí)測得某樹的影長為2m，B時(shí)又測得該樹的影長為8m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為m.A時(shí)B時(shí)、.，??第14題圖（2010?浙江溫州）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的