初中數(shù)字規(guī)律探索與函數(shù)的聯(lián)系 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選初中數(shù)字規(guī)律探索與函數(shù)的聯(lián)系摘的關(guān)系。關(guān)鍵詞：一階等差數(shù)列、二級(jí)等差數(shù)列、一次函數(shù)和二次函數(shù)。引 教材中沒(méi)有具體的解題方法，學(xué)生只能通過(guò)探索、猜想、驗(yàn)證，最后才能得出結(jié)果。此文通過(guò)探索和驗(yàn)證，得出數(shù)字規(guī)律問(wèn)題與函數(shù)的關(guān)系。初中數(shù)字規(guī)律問(wèn)題完全可以利用一次函數(shù)或二次函數(shù)建立模型，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，從而得出數(shù)列的規(guī)律即通項(xiàng)公式。一、提出問(wèn)題包含以下三種：（1）數(shù)式規(guī)律的探索；（2）圖形規(guī)律的探索；（3）圖形與數(shù)式規(guī)律得出規(guī)律。一般具體步驟如下：第一步：將數(shù)列標(biāo)上序數(shù)；關(guān)系用含序數(shù)的式子表示出來(lái)；第三步：根據(jù)找出的規(guī)律寫出第n個(gè)式子；第四步：檢驗(yàn)。如果學(xué)生沒(méi)能探索出每一項(xiàng)與序數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，就很難得出正確的結(jié)果。那么，有沒(méi)有一種具體的代數(shù)方法來(lái)解決此類問(wèn)題呢？二、解決問(wèn)題（一）基本概念12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選在研究初中數(shù)字規(guī)律探索問(wèn)題與函數(shù)的聯(lián)系前，先明確相關(guān)概念。1．初中數(shù)字規(guī)律探索題基本可歸納為兩種類型，即一階等差數(shù)列和二階等差數(shù)列（新定義）：LL-ank則這組數(shù)列就稱為一階等差數(shù)列。例如：L，其中k=2.（2）二階等差數(shù)列：一組數(shù)列LL，如果-an，得到一組新的數(shù)列LL

bn--bn-1kL

n(n)2。2．初中主要學(xué)習(xí)的函數(shù)有兩種類型，即一次函數(shù)和二次函數(shù)：（1）一次函數(shù)：一般地，如果有：y（k、b為常數(shù)，且k10y叫做x的一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)：一般地，如果有：y=ax2（為常數(shù)，且a10那么y叫做x的二次函數(shù)；（二）探索問(wèn)題1．一階等差數(shù)列與一次函數(shù)的聯(lián)系：（1）問(wèn)題：一階等差數(shù)列：L

，求an的值。解析：①將這組數(shù)列轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)：序號(hào)為橫坐標(biāo)，數(shù)值為縱坐標(biāo)，則可得到一②建立坐標(biāo)系，按順序描出各點(diǎn)；③由圖可知，這四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上；y利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式為：y-2，即an-2?？偨Y(jié)：一階等差數(shù)列可轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)形式，建立一次函數(shù)模型，再利用待定系數(shù)法求出解析式，即可得到這組數(shù)列的規(guī)律。22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選（2）例題講解：例題磚，把第n個(gè)圖形用圖表示，那么圖?中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是（ …A．150 B．200 C．355 D．505yìk將（1,12）和（2,19）代入上式得：í?2k

，解得：kb，所以一次函數(shù)關(guān)系式為：y=7x。所以，這組數(shù)列第n個(gè)數(shù)值為7n，當(dāng)n時(shí)，結(jié)果為355，故本題答案為C。例題2：（2020?安徽中考）觀察以下等式：1′

2?2-1第1個(gè)等式：

?+3è 1? 13′

2?2-1第2個(gè)等式：

?+4è 2? 25′

2?2-1第3個(gè)等式：

?+5è 3? 37′

2?2-1第4個(gè)等式：

?+6 è 4? 49′

2?2-1第5個(gè)等式：

?+7 è 5? 5······按照以上規(guī)律．解決下列問(wèn)題：32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選（1）寫出第6個(gè)等式 ；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：(用含n的等式表示)，并證明．解析：先將每個(gè)等分成3個(gè)部分分別探索規(guī)律：y=2x-1，所以第n個(gè)式子的分子是2n-1；同理，可求出分母為n；第二部分的分子是常數(shù)建立一次函數(shù)模型，求出第n個(gè)式子的分母為n；第三部分的分子是常數(shù)建立一次函數(shù)模型，求出第n個(gè)式子的分母為n；? ?故，本題第n個(gè)等式為：2n-1′2-? ?n+2

è n? n? ?所以本題答案：（1）11′2-1? ?8 è 6? 6? ?（2）2n-1′2-? ?n+2

è n? n證明：∵等式左邊=2n-1′n=2n-1-

1∴等式成立。

n

n n n42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選2.二階等差數(shù)列與二次函數(shù)的聯(lián)系：L

，求的值。解析：①將這組數(shù)列轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)：序號(hào)為橫坐標(biāo)，數(shù)②建立坐標(biāo)系，按順序描出各點(diǎn)；③有圖可知，這五個(gè)點(diǎn)在同一條拋物線上；故，可用二次函數(shù)建立模型，設(shè)函數(shù)解析式為：y=ax2，利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式為：ny=x2-2，即bn

=n2-2。模型，再利用待定系數(shù)法求出解析式，即得到數(shù)字規(guī)律。1中有22中有73中有1410個(gè)圖中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ．y=ax2ìaí?4aí??9a?

，解得：abc1，所以二次函數(shù)關(guān)系式為：y=x2-1，所有第n圖有n2-1個(gè)點(diǎn)。當(dāng)n=10時(shí)，n2-1=119.=+例題2：觀察以下等式：第1個(gè)等式：2 1 1=+1 1 1+第2個(gè)等式：2=1 1，+3 2 652022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選=第3個(gè)等式：2 1+1，=5 3 15第4個(gè)等式：2=1+1，7 4 28=第5個(gè)等式：2 1+1，=9 5 45…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫出第6個(gè)等式： ;(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式： (用含n的等式表示)，并證明．解析：先將每個(gè)等分成3個(gè)部分分別探索規(guī)律：第一部分的分子是常數(shù)階等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，可求出第n個(gè)分母是2n-1；第二部分的分子是常數(shù)1，分母為一組一階等差數(shù)列1、2、3、4、5……，同理可求出第n個(gè)分母是n；第三部分的分子是常數(shù)1，分母為一組二階等差數(shù)列：1、6、15、28、45……，可解析式為：y=ax2，由待定系數(shù)法可求出y=2x2-x，故第n個(gè)分母是2n2-n。所以，第n個(gè)等式為：2 =1+ 1 。=本題答案：（1）2 1+1=

2n-1；

n 2n2-n11 6 66（2）2 =1+ 1 ；2n-1

n 2n2-n證明：等式右邊=1+ 1

=2n-= 2n

= 2 =左邊；n n(2n-

n(2n-

n(2n-2n-162022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選故，等式成立。四、得出結(jié)論等差數(shù)列，那么就可以