福建省德化縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期初檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

德化一中2022年秋季高二期初檢測數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.復(fù)數(shù)的實部和虛部之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先由復(fù)數(shù)乘法化簡，再求實部與虛部之和即可.，復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為.故選：B.2.“二萬五千里長征”是1934年10月到1936年10月中國工農(nóng)紅軍進行的一次戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移，是人類歷史上的偉大奇跡，向世界展示了中國工農(nóng)紅軍的堅強意志，在期間發(fā)生了許多可歌可泣的英雄故事.在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際，某中學(xué)組織了“長征英雄事跡我來講”活動，已知該中學(xué)共有高中生2700名，用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本參加活動，其中高三年級抽取了14人，高二年級抽取了15人，則該校高一年級學(xué)生人數(shù)為（）A.720 B.960 C.1020 D.1680【答案】B【解析】根據(jù)分層抽樣中樣本容量比與總體容量比相等可得．由題意高一抽取的學(xué)生為．設(shè)高一學(xué)生數(shù)為，則，解得．故選：B．3.如圖，在中，是的中點，若，則實數(shù)的值是A. B.1 C. D.【答案】C【解析】以作為基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．∵分別是的中點，∴又，∴.故選C.本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．4.某校高一年級15個班參加朗誦比賽的得分如下：則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)、分位數(shù)分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)從小到大依次排列，而且15×60%=9，15×90%=13.5，故這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是第9、10個數(shù)的平均數(shù)，90%分位數(shù)是第14個數(shù)．將數(shù)據(jù)從小到大依次排列如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，而15×60%=9，15×90%=13.5，故這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是，這組數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)是96，故選：D．5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.因為，，，所以，故選：D6.已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.－1 C.2 D.－2【答案】B【解析】首先求出的解析式，再根據(jù)指數(shù)對數(shù)恒等式得到，即可得到方程，解得即可；解：根據(jù)題意，，則有，若，即，解可得，故選：B．7.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則c的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知結(jié)合余弦定理可得，又即可求，，再由余弦定理求c.，∴，又，則，∴，，又，故，∴.故選：A.關(guān)鍵點：根據(jù)余弦定理邊角關(guān)系，結(jié)合已知等式條件求，.8.已知函數(shù)有唯一零點，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】令，轉(zhuǎn)化為有唯一零點，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性求解.因為函數(shù)，令，則為偶函數(shù)，因為函數(shù)有唯一零點，所以有唯一零點，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，則，解得，故選：B二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選例的得0分.）9.從裝有兩個紅球和三個黑球的口袋里任取兩個球，那么不互斥的兩個事件是A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”【答案】AB【解析】根據(jù)互斥事件的定義逐一對四個選項進行分析即可.“至少有一個黑球”中包含“都是黑球，A正確；“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”可能同時發(fā)生，B正確；“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”不可能同時發(fā)生，C不正確；“至少有一個黑球”與“都是紅球”不可能同時發(fā)生，D不正確.故選：AB.本題考查互斥事件，解題關(guān)鍵是要理解互斥事件的定義，側(cè)重考查對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則（）A.在上單調(diào)遞減B.C.的圖象與軸只有2個交點D.不等式的解集為【答案】ABD【解析】根據(jù)已知條件，可得在上單調(diào)遞減，且，從而對各選項逐一分析即可求解.解：對A：因為是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)有在上單調(diào)遞減，故選項A正確；對B：因為是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，所以，所以，故選項B正確；對C：由題意，，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以的圖象與軸有3個交點，故選項C錯誤；對D：由選項A、C可得的解集為，故選項D正確.故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.B.平面ABCDC.三棱錐的體積為定值D.的面積與的面積相等【答案】AD【解析】對于A，由特殊位置判斷，對于B，由面面平行的性質(zhì)判斷，對于C，由棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值判斷，對于D，由B到線段EF的距離與A到EF的距離不相等進行判斷對于A，由題意知，當(dāng)點與點重合時，與的夾角為，所以是錯誤的，對于B，因為正方體的兩個底面平行，即平面∥平面，而平面，所以∥平面，所以B正確，對于C，設(shè)點到平面距離為，則由正體的性質(zhì)可得，因為都為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C正確，對于D，設(shè)的中點為，連接，則，所以點A到EF的距離為長，而B到線段EF的距離為長，顯然與不相等，因為，所以的面積與的面積不相等，所以D錯誤，故選：AD12.若函數(shù)滿足：在定義域D內(nèi)存在實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“1階馬格丁香小花花”函數(shù).給出下列4個函數(shù)，其中是“1階馬格丁香小花花”函數(shù)的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)是否滿足“1階馬格丁香小花花”函數(shù)的定義，同時也可舉例說明．選項：對于，若是“1階馬格丁香小花花”函數(shù)，則有解，變形可得，而該方程無實數(shù)解，故不是“1階馬格丁香小花花”函數(shù)；選項：對于，其定義域為，若是“1階馬格丁香小花花”函數(shù)，則方程有解，變形可得，解可得，故函數(shù)是“1階馬格丁香小花花”函數(shù)；選項：對于，若存在，使，則，即，而，故方程無解，故不是“1階馬格丁香小花花”函數(shù)；選項：對于，存在，有成立，故是“1階馬格丁香小花花”函數(shù)．故選：．三、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40.0分）13.已知l∥α，且l的方向向量為（2，m，1），平面α的法向量為，則m＝__．【答案】﹣8【解析】由題意知向量（2，m，1）與平面α的法向量垂直，即可算出答案.∵l∥α，且l的方向向量為（2，m，1），平面α的法向量為，∴向量（2，m，1）與平面α的法向量垂直則解得故答案為：﹣8本題考查向量內(nèi)積的坐標運算.屬于基礎(chǔ)題.14.已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則f(-8)的值是____.【答案】【解析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求，因為為奇函數(shù)，所以故答案為：本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___________.【答案】【解析】首先根據(jù)題中所給的分段函數(shù)的解析式，分和兩種情況討論，求解指對不等式求得結(jié)果.①且，解得，②且，解得，綜上所示，的取值范圍是.故答案為：.該題考查的是有關(guān)分段函數(shù)的問題，涉及到的知識點有根據(jù)函數(shù)值的范圍確定自變量的范圍，屬于簡單題目.16.若，則實數(shù)a的取值范圍是______________．【答案】【解析】將對數(shù)不等式的右邊化成以為底的對數(shù)，再對進行分類討論，求得的范圍.∵，∴或解得：.故答案為：.17.若正三棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，高為，則這個三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【解析】根據(jù)已知，求出的外接圓半徑，再結(jié)合勾股定理即可求出球的半徑，進而得到球的表面積.設(shè)三棱錐的高為PH，其外接球的球心為O，則，，，所以.在中，，，即，解得，從而三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.18.已知函數(shù)圖像關(guān)于對稱，當(dāng)時，恒成立，則滿足的取值范圍是_____________．【答案】【解析】由函數(shù)圖像關(guān)于對稱，可得函數(shù)是偶函數(shù)，由當(dāng)時，恒成立，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，從而將轉(zhuǎn)化為，進而可求出取值范圍因為函數(shù)圖像關(guān)于對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以可轉(zhuǎn)化為因為當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，解得，所以取值范圍為，故答案為：19.，分別是關(guān)于的方程和的根，則_____.【答案】【解析】依題意可得函數(shù)與的交點橫坐標為，函數(shù)與的交點橫坐標為，再根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)求出與的交點坐標，即可得解.解：依題意可得，，即函數(shù)與的交點橫坐標為，函數(shù)與的交點橫坐標為，又函數(shù)與互為反函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于對稱，又與互相垂直，且由，解得，即兩直線的交點坐標為，所以；故答案為：20.如圖，在長方體中，E是的中點，點F是AD上一點，2，，動點P在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線CP與所成角的正切值的最小值為_________.【答案】【解析】建立空間直角坐標系，設(shè)，通過向量法算出點P到平面BFE的距離，結(jié)合三棱錐的體積等于1可得到，再通過向量法計算直線CP與所成角的余弦值的范圍，繼而算出答案解：以D坐標原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，，則，，，設(shè)平面的法向量為則，令，則，所以平面的一個法向量因為所以點P到平面BFE的距離因為，所以在等腰中，到的高為，所以因，所以所以或(舍去)，設(shè)直線與所成的角為，則，所以，所以的最大值為，此時最小，此時最小，因為，且，所以，所以，即直線CP與所成角的正切值的最小值為，故答案為：四、解答題（本大題共4小題，共50.0分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步21.已知函數(shù)的圖象過原點，且無限接近直線但又不與該直線相交.（1）求該函數(shù)的解析式；（2）判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.【答案】（1）；（2）偶函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).【解析】（1）由題得，，即得解；（2）利用函數(shù)的奇偶性定義證明函數(shù)是偶函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性得解.【小問1】解：由題得，∵∴.∴.【小問2】解：函數(shù)的定義域為R，且.∴是偶函數(shù).當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得此時函數(shù)是增函數(shù).∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).22.如圖，是半球的直徑，O為球心，，依次是半圓上的兩個三等分點.P是半球面上一點，且.（1）證明：平面平面；（2）若點在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】(1)由面面垂直的判斷定理可知，要證平面平面，只需證一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線即可，又因為，結(jié)合題意只需證明，即四邊形OMNB是菱形即可；(2)由(1)可得PON⊥平面OMNB，結(jié)合已知條件可得點P在底面圓內(nèi)的射影是ON與MB的交點Q，在中，由勾股定理計算即可.【小問1】解：證明：連接OM，MN，如圖，M，N是半圓上的兩個三等分點，則有,∵∴都是正三角形.∴四邊形OMNB是菱形，∵PN⊥MB，PN、ON平面PON∴MB⊥平面PON，BM平面PBM.∴平面PBM⊥平面PON.【小問2】解：由（1）知，MB⊥平面PON，所以平面PON⊥平面OMNB，平面PON∩平面OMNB=ON.則點P在底面圓內(nèi)的射影在ON上，又∵點P在底面圓內(nèi)的射影在BM上，∴點P在底面圓內(nèi)的射影是ON與MB的交點Q，∴.23.如圖，且且且平面．（1）若為的中點，為的中點，求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求直線到平面的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】（1）依題意，以為坐標原點，分別以、、的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系．求出對應(yīng)點的坐標，求出平面的法向量及，由，結(jié)合直線平面，可得平面；（2）分別求出平面與平面平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值；（3）根據(jù)，得平面，則直線到平面的距離即為點到平面的距離，利用向量法求出點到平面的距離，即可得出答案.（1）證明：依題意，以為坐標原點，分別以、、的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系．可得，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，1，，，0，，，，，，0，．設(shè)為平面的法向量，則，不妨令，可得；又，可得．所以，又直線平面，平面；（2）解：依題意，可得，，．設(shè)為平面的法向量，則，不妨令，可得．設(shè)為平面的法向量，則，不妨令，可得．因此有，于是．二面角的正弦值為；（3）解：因為，平面，平面，所以直線到平面的距離即為點到平面的距離，由（2）得，平面的法向量，，則，即直線與平面所成角得正弦值為，所以點到平面的距離為，即直線到平面的距離為.24.已知函數(shù)是定義在R上的奇