舊教材適用2023高考數(shù)學一輪總復習第十章統(tǒng)計統(tǒng)計案例第3講變量間的相關關系與統(tǒng)計案例

第3講變量間的相關關系與統(tǒng)計案例1．變量間的相關關系(1)常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數(shù)關系，另一類是相關關系；與函數(shù)關系不同，相關關系是一種非eq\o(□,\s\up3(01))確定性關系．(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關關系稱為eq\o(□,\s\up3(02))正相關，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關關系為eq\o(□,\s\up3(03))負相關．2．回歸方程與回歸分析(1)線性相關關系與回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在eq\o(□,\s\up3(04))一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程①最小二乘法：求回歸直線使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的eq\o(□,\s\up3(05))距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回歸方程：方程eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o(b,\s\up10(^))x＋eq\o(a,\s\up10(^))是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中eq\o(a,\s\up10(^))，eq\o(b,\s\up10(^))是待定數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up10(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up10(－))\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up10(－))2)，,\o(a,\s\up10(^))＝\o(y,\s\up10(－))－\o(b,\s\up10(^))\o(x,\s\up10(－)).))(3)回歸分析①定義：對具有eq\o(□,\s\up3(06))相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．②樣本點的中心：在具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(1,n)(x1＋…＋xn)，eq\o(y,\s\up10(－))＝eq\f(1,n)(y1＋…＋yn)，eq\o(a,\s\up10(^))＝eq\o(y,\s\up10(－))－eq\o(b,\s\up10(^))eq\o(x,\s\up10(－))，(eq\o(x,\s\up10(－))，eq\o(y,\s\up10(－)))稱為樣本點的中心．③相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up10(－))2))，當r>0時，兩變量eq\o(□,\s\up3(07))正相關；當r<0時，兩變量eq\o(□,\s\up3(08))負相關；當|r|≤1且|r|越接近于1時，相關程度eq\o(□,\s\up3(09))越強；當|r|≤1且|r|越接近于0時，相關程度eq\o(□,\s\up3(10))越弱．3．獨立性檢驗(1)獨立性檢驗的有關概念①分類變量可用變量的不同“值”表示個體所屬的eq\o(□,\s\up3(11))不同類別的變量稱為分類變量．②2×2列聯(lián)表假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)獨立性檢驗利用隨機變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．步驟如下：①計算隨機變量K2的觀測值k，查表確定臨界值k0：P(K2≥k0)0.50.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828②如果k≥k0，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關系”．1．求解回歸方程的關鍵是確定eq\o(a,\s\up10(^))，eq\o(b,\s\up10(^))，應充分利用回歸直線過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up10(－))，eq\o(y,\s\up10(－)))．2．根據(jù)回歸方程計算的eq\o(y,\s\up10(^))值，僅是一個預報值，不是真實發(fā)生的值．3．根據(jù)K2的值可以判斷兩個分類變量有關的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關的把握越大．1．下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x2222547總計b46120其中a，b處填的值分別為()A．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52答案C解析由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74.故選C.2．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩個變量的線性相關性做了試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學的試驗結果體現(xiàn)的A，B兩變量有更強的線性相關性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案D解析r越大，m越小，線性相關性越強，故選D.3．(2022·鄭州一中月考)變量X與Y相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關系數(shù)，則()A．r2<r1<0 B．0<r2<r1C．r2<0<r1 D．r2＝r1答案C解析對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關，即r1>0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關，即r2<0，故選C.4．通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動，得到了如下的列聯(lián)表．參照附表，能得到的正確結論是()男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.0100.001k03.8416.63510.828答案A解析由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.822>6.635，故有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”．故選A.5．(2021·山西太原模擬)某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o(b,\s\up10(^))x＋eq\o(a,\s\up10(^))中的eq\o(b,\s\up10(^))為9.4，據(jù)此模型預測廣告費用為6萬元時銷售額約為________萬元．答案65.5解析由表可計算eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝3.5，eq\o(y,\s\up10(－))＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42，因為點(3.5,42)在回歸直線eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o(b,\s\up10(^))x＋eq\o(a,\s\up10(^))上，且eq\o(b,\s\up10(^))＝9.4，所以42＝9.4×3.5＋eq\o(a,\s\up10(^))，解得eq\o(a,\s\up10(^))＝9.1.故回歸方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝9.4x＋9.1.令x＝6，得eq\o(y,\s\up10(^))＝65.5.故預測廣告費用為6萬元時銷售額約為65.5萬元．6.(2021·安徽馬鞍山模擬)某企業(yè)為了調(diào)查其產(chǎn)品在國內(nèi)和國際市場的發(fā)展情況，隨機抽取國內(nèi)、國外各100名客戶代表，了解他們對該企業(yè)產(chǎn)品的發(fā)展前景所持的態(tài)度，得到如圖所示的等高條形圖，則________(填“能”或“不能”)有99%的把握認為是否持樂觀態(tài)度與國內(nèi)外差異有關．P(K2≥k0)0.0500.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).答案能解析根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：樂觀不樂觀總計國內(nèi)代表6040100國外代表4060100總計100100200則K2＝eq\f(200×60×60－40×402,100×100×100×100)＝8>6.635，所以有99%的把握認為是否持樂觀態(tài)度與國內(nèi)外差異有關.精準設計考向，多角度探究突破考向一兩個變量的相關性角度相關關系的判斷例1觀察下圖所示的散點圖，其中對兩個變量的相關關系判斷正確的是()A．a(chǎn)為正相關，b為負相關，c為不相關B．a(chǎn)為負相關，b為不相關，c為正相關C．a(chǎn)為負相關，b為正相關，c為不相關D．a(chǎn)為正相關，b為不相關，c為負相關答案D解析根據(jù)散點圖，由相關性可知，a中各點分布在從左下角到右上角的區(qū)域里，是正相關；b中各點分布不是帶狀的，相關性不明確，所以不相關；c中各點分布在從左上角到右下角的區(qū)域里，是負相關．角度相關系數(shù)的意義例2(2021·南寧一中期末)某公司為了準確地把握市場，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計劃，對過去四年的數(shù)據(jù)進行整理得到了第x年與年銷售量y(單位：萬件)之間的關系如下表：x1234y12284256(1)在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)根據(jù)(1)中的散點圖擬合y與x的回歸模型，并用相關系數(shù)加以說明；(3)建立y關于x的回歸方程，預測第5年的銷售量約為多少？參考數(shù)據(jù)：eq\r(\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))yi－\o(y,\s\up10(－))2)≈32.7，eq\r(5)≈2.24，eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xiyi＝418.參考公式：相關系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up10(－))2\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i＝1))yi－\o(y,\s\up10(－))2))，回歸方程eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o(a,\s\up10(^))＋eq\o(b,\s\up10(^))x的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up10(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up10(－))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up10(－))\o(y,\s\up10(－)),\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up10(－))2)，eq\o(a,\s\up10(^))＝eq\o(y,\s\up10(－))－eq\o(b,\s\up10(^))eq\o(x,\s\up10(－)).解(1)作出散點圖如圖：(2)由(1)中的散點圖可知，各點大致分布在一條直線附近，由題中所給表格及參考數(shù)據(jù)，得eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up10(－))＝eq\f(69,2)，eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xiyi＝418,eq\r(\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))yi－\o(y,\s\up10(－))2)≈32.7，eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝30，eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up10(－)))(yi－eq\o(y,\s\up10(－)))＝eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xiyi－4eq\o(x,\s\up10(－))eq\o(y,\s\up10(－))＝418－4×eq\f(5,2)×eq\f(69,2)＝73,eq\r(\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up10(－))2)＝eq\r(\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up10(－))2)＝eq\r(30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\r(5)≈2.24，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\r(\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up10(－))2\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))yi－\o(y,\s\up10(－))2))≈eq\f(73,2.24×32.7)≈0.9966.∵y與x的相關系數(shù)近似為0.9966，說明y與x的線性相關程度相當強，∴可以用線性回歸模型擬合y與x的關系．(3)由(2)，知eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up10(－))＝eq\f(69,2)，eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xiyi＝418，eq\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝30，∴eq\o(b,\s\up10(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up10(－))\o(y,\s\up10(－)),\o(∑,\s\up10(4),\s\do7(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up10(－))2)＝eq\f(73,5)，eq\o(a,\s\up10(^))＝eq\o(y,\s\up10(－))－eq\o(b,\s\up10(^))eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(69,2)－eq\f(73,5)×eq\f(5,2)＝－2.故y關于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\f(73,5)x－2.當x＝5時，eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\f(73,5)×5－2＝71，∴預測第5年的銷售量約為71萬件．判斷相關關系的兩種方法(1)散點圖法：如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關關系．如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關關系．(2)相關系數(shù)法：利用相關系數(shù)判定，|r|越趨近于1相關性越強．1.(2021·江西六校聯(lián)考)對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3答案A解析易知題中圖①與圖③是正相關，圖②與圖④是負相關，且圖①與圖②中的樣本點集中分布在一條直線附近，則r2<r4<0<r3<r1.2．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(1,16)eq\i\su(i＝1,16,x)i＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,)xi－\o(x,\s\up10(－))2)＝eq\r(\f(1,16)\i\su(i＝1,16,x)\o\al(2,i)－16\o(x,\s\up10(－))2)≈0.212,eq\r(\i\su(i＝1,16,)i－8.52)≈18.439，eq\i\su(i＝1,16,)(xi－eq\o(x,\s\up10(－)))(i－8.5)＝－2.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16.(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關系數(shù)r，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小)；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(eq\o(x,\s\up10(－))－3s，eq\o(x,\s\up10(－))＋3s)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．①從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？②在(eq\o(x,\s\up10(－))－3s，eq\o(x,\s\up10(－))＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差．(精確到0.01)附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up10(－))2)).參考數(shù)據(jù)：eq\r(0.008)≈0.09.解(1)由樣本數(shù)據(jù)，得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,16,)xi－\o(x,\s\up10(－))i－8.5,\r(\i\su(i＝1,16,)xi－\o(x,\s\up10(－))2)\r(\i\su(i＝1,16,)i－8.52))≈eq\f(－2.78,0.212×\r(16)×18.439)≈－0.18.由于|r|<0.25，因此可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。?2)①由于eq\o(x,\s\up10(－))＝9.97，s≈0.212，因此由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(eq\o(x,\s\up10(－))－3s，eq\o(x,\s\up10(－))＋3s)以外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．②剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)×(16×9.97－9.22)＝10.02，這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.eq\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(2,i)≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的標準差的估計值為eq\r(0.008)≈0.09.考向二回歸分析例3在紅外線照射下，組織溫度升高，毛細血管擴張，血流加快，物質代謝增強，組織細胞活力及再生能力提高，因此紅外線治療儀對某些疾病的治療有著很好的作用．某藥店兼營某紅外線治療儀，經(jīng)過近5個月的營銷，對銷售狀況進行相關數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)月銷售量與銷售價格有關，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：每臺紅外線治療儀的銷售價格x/元140150160170180紅外線治療儀的月銷售量y/臺6455453526(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求y關于x的線性回歸方程；(2)①每臺紅外線治療儀的價格為165元時，預測紅外線治療儀的月銷售量；(四舍五入為整數(shù))②若該紅外線治療儀的成本為120元/臺，要使每月獲得最大的純收益，利用(1)中結論，問每臺紅外線治療儀的銷售價格應定為多少？(四舍五入，精確到1元)參考公式：回歸方程eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o(b,\s\up10(^))x＋eq\o(a,\s\up10(^))，其中eq\o(b,\s\up10(^))＝eq\f(\o(\o(∑,\s\up10(n)),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\o(\o(∑,\s\up10(n)),\s\do7(i＝1))xi－\o(x,\s\up10(－))2)，eq\o(a,\s\up10(^))＝eq\o(y,\s\up10(－))－eq\o(b,\s\up10(^))eq\o(x,\s\up10(－)).解(1)eq\o(x,\s\up10(－))＝eq\f(140＋150＋160＋170＋180,5)＝160，eq\o(y,\s\up10(－))＝eq\f(64＋55＋45＋35＋26,5)＝45，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up10(－)))2＝(140－160)2＋(150－160)2＋(160－160)2＋(170－160)2＋(180－160)2＝1000，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\o(x,\s\up10(－)))(yi－eq\o(y,\s\up10(－)))＝－20×19－10×10＋0×0－10×10－20×19＝－960，∴eq\o(b,\s\up10(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),eq\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up10(－))2)＝eq\f(－960,1000)＝－0.96，∴eq\o(a,\s\up10(^))＝eq\o(y,\s\up10(－))－eq\o(b,\s\up10(^))eq\o(x,\s\up10(－))＝45＋0.96×160＝198.6，∴y關于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝－0.96x＋198.6.(2)①由(1)知，當x＝165時，eq\o(y,\s\up10(^))＝－0.96×165＋198.6＝40.2≈40，即每臺紅外線治療儀的價格為165元時，紅外線治療儀的月銷售量約為40臺．②藥店每月獲得的純收益Q(x)＝(－0.96x＋198.6)(x－120)＝－0.96x2＋313.8x－23832，∴當x＝eq\f(313.8,2×0.96)≈163時，Q(x)取得最大值，即要使每月獲得最大的純收益，每臺紅外線治療儀的銷售價格應定為163元．(1)正確理解計算eq\o(b,\s\up10(^))，eq\o(a,\s\up10(^))的公式和準確的計算是求線性回歸方程的關鍵．(2)回歸方程eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o(b,\s\up10(^))x＋eq\o(a,\s\up10(^))必過樣本點中心(eq\o(x,\s\up10(－))，eq\o(y,\s\up10(－)))．(3)在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程來估計和預測．(4)對非線性回歸分析問題可通過適當?shù)膿Q元轉化為線性回歸分析問題求解．3.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\o(x,\s\up10(－))eq\o(y,\s\up10(－))eq\o(w,\s\up10(－))eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do7(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up10(－)))2eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do7(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up10(－)))2eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do7(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up10(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up10(－)))eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do7(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up10(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up10(－)))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\o(w,\s\up10(－))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do7(i＝1))wi.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up10(^))＝eq\o(α,\s\up10(^))＋eq\o(β,\s\up10(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up10(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i＝1))ui－\o(u,\s\up10(－))vi－\o(v,\s\up10(－)),\o(∑,\s\up10(n),\s\do7(i＝1))ui－\o(u,\s\up10(－))2)，eq\o(α,\s\up10(^))＝eq\o(v,\s\up10(－))－eq\o(β,\s\up10(^))eq\o(u,\s\up10(－)).解(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關于w的線性回歸方程．由于eq\o(d,\s\up10(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(8),\s\do7(i＝1))wi－\o(w,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\o(∑,\s\up10(8),\s\do7(i＝1))wi－\o(w,\s\up10(－))2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up10(^))＝eq\o(y,\s\up10(－))－eq\o(d,\s\up10(^))eq\o(w,\s\up10(－))＝563－68×6.8＝100.6，所以y關于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝100.6＋68w，因此y關于x的回歸方程為eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up10(^)))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當x＝49時，年銷售量y的預報值eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up10(^)))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up10(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(jù)(2)的結果知，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up10(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up10(^))取得最大值．故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．考向三獨立性檢驗例4(1)黨的十九大報告明確提出：在共享經(jīng)濟等領域培育增長點、形成新動能．共享經(jīng)濟是公眾將閑置資源通過社會化平臺與他人共享，進而獲得收入的經(jīng)濟現(xiàn)象．為考察共享經(jīng)濟對企業(yè)經(jīng)濟活躍度的影響，在四個不同的企業(yè)各取兩個部門進行共享經(jīng)濟對比試驗，根據(jù)四個企業(yè)得到的試驗數(shù)據(jù)畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是()答案D解析根據(jù)四個選項中的等高條形圖可知，選項D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟活躍度的差異較大，且最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟對該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D.(2)(2021·全國甲卷)甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400①甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？②能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質量與乙機床的產(chǎn)品質量有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解①設甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別為P1，P2，則P1＝eq\f(150,200)＝0.75，P2＝eq\f(120,200)＝0.6.②根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)，得K2＝eq\f(400×150×80－50×1202,200×200×270×130)＝eq\f(400,39)≈10.256.因為10.256>6.635，所以有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質量與乙機床的產(chǎn)品質量有差異．1．比較幾個分類變量有關聯(lián)的可能性大小的方法(1)通過計算K2的大小判斷：K2越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．(2)通過計算|ad－bc|的大小判斷：|ad－bc|越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．(3)通過計算eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的大小判斷：相差越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．2．獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計算K2的觀測值k.(3)比較k與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷．4.(2021·南陽市一中第一次目標考試)為考察A，B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物實驗，分別得到如下等高條形圖．根據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是()A．藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果B．藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果C．藥物A，B對該疾病均有顯著的預防效果D．藥物A，B對該疾病均沒有預防效果答案B解析由題圖可得服用藥物A的患病比例少于服用藥物B的患病比例，而服用藥物A的未患病比例多于服用藥物B的未患病比例，所以藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果．故選B.5．(2022·廣西柳州高三摸底考試)隨著我國老齡化進程不斷加快，養(yǎng)老將會是未來每個人要面對的問題，而如何養(yǎng)老則是我國逐漸進入老齡化社會后，整個社會需要回答的問題．為了調(diào)查某地區(qū)老年人是否愿意參加個性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結合型養(yǎng)老機構，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老人，結果如下：男女不愿意參加4030愿意參加160270(1)估計該地區(qū)老年人中，愿意參加個性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結合型養(yǎng)老機構的男性老年人的比例以及女性老年人的比例；(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)能有多大的把握認為該地區(qū)的老年人是否愿意參加個性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結合型養(yǎng)老機構與性別有關？請說明理由．參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828解(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知愿意參加個性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結合型養(yǎng)老機構的男性老年人人數(shù)為160，調(diào)查的男性老年人總人數(shù)為200，故愿意參加個性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結合型養(yǎng)老機構的男性老年人的比例為eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)；由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知愿意參加個性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結合型養(yǎng)老機構的女性老年人人數(shù)為270，調(diào)查的女性老年人總人數(shù)為300，故愿意參加個性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結合型養(yǎng)老機構的女性老年人的比例為eq\f(270,300)＝eq\f(9,10).(2)結合列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算K2＝eq\f(500×40×270－30×1602,70×430×200×300)＝eq\f(3000,301)≈9.967>7.879，所以有99.5%的把握認為該地區(qū)的老年人是否愿意參加個性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結合型養(yǎng)老機構與性別有關．

1．為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩位同學各自獨立地做了100次和150次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2，已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說法正確的是()A．l1和l2有交點(s，t)B．l1與l2相關，但交點不一定是(s，t)C．l1與l2必定平行D．l1與l2必定重合答案A解析由題意知(s，t)是甲、乙兩位同學所做試驗的樣本點的中心，而線性回歸直線恒過樣本點的中心，故選A.2．某互聯(lián)網(wǎng)公司借助手機微信平臺推廣自己的產(chǎn)品，對今年前5個月的月微信推廣費用x與月利潤額y(單位：百萬元)進行了初步統(tǒng)計，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：x24568y304060p70經(jīng)計算，月微信推廣費用x與月利潤額y滿足線性回歸方程eq\o(y,\s\up10(^))＝6.5x＋17.5，則p的值為()A．50 B．56.5C．60 D．70答案A解析由于回歸直線過樣本中心點，eq\o(x,\s\up10(－))＝5，eq\o(y,\s\up10(－))＝eq\f(200＋p,5)，代入線性回歸方程得eq\f(200＋p,5)＝6.5×5＋17.5，解得p＝50.故選A.3．(2020·全國Ⅰ卷)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx答案D解析由散點圖可知，實驗數(shù)據(jù)分布在一個對數(shù)型函數(shù)圖象的附近，因此最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是y＝a＋blnx．故選D.4．以下四個命題：①在回歸分析中，可用相關指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好；②回歸模型中殘差是實際值yi與估計值eq\o(y,\s\up10(^))的差，殘差點所在的帶狀區(qū)域寬度越窄，說明模型擬合精度越高；③在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝－eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為－eq\f(1,2)；④對分類變量x與y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，判斷“x與y有關系”的把握程度越大．其中真命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析根據(jù)相關指數(shù)的意義可知①正確；由殘差的定義和殘差圖的繪制可以知道②正確；相關系數(shù)req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up10(－))2))))反映的是兩變量之間線性相關程度的強弱，與回歸直線斜率eq\o(b,\s\up10(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))2)無關，因為所有樣本點都在直線y＝－eq\f(1,2)x＋1上，所以樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為－1，故③錯誤；K2的觀測值k越小，x與y有關系的把握程度越小，故④錯誤．故選B.5．(2021·山西大同模擬)針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的eq\f(1,2)，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的eq\f(1,6)，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的eq\f(2,3).若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則男生至少有()A．11人 B．12人C．18人 D．24人附表及公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879答案B解析設男生人數(shù)為x，依題意可得2×2列聯(lián)表如下：追星不追星總計男生eq\f(x,6)eq\f(5x,6)x女生eq\f(x,3)eq\f(x,6)eq\f(x,2)總計eq\f(x,2)xeq\f(3x,2)若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則K2>3.841，即eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)－\f(5x2,18)))2,x·\f(x,2)·\f(x,2)·x)＝eq\f(3x,8)>3.841，則x>10.24，∵eq\f(x,2)，eq\f(x,6)為整數(shù)，∴若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則男生至少有12人，故選B.6．高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績、數(shù)學成績與總成績在全年級中的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學生．從這次考試成績看，(1)在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是________；(2)在語文和數(shù)學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是________．答案(1)乙(2)數(shù)學解析(1)由圖分析，甲的語文成績名次比其總成績名次靠后，乙的語文成績名次比其總成績名次靠前，故填乙．(2)根據(jù)丙在兩個圖中對應的點的縱坐標，觀察易得，丙同學成績名次更靠前的科目是數(shù)學．7．某數(shù)學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高約為________cm.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up10(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))yi－\o(y,\s\up10(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up10(－))2)，\o(a,\s\up10(^))＝\o(y,\s\up10(－))－\o(b,\s\up10(^))\o(x,\s\up10(－))))答案185解析設父親身高為xcm，兒子身高為ycm，則x173170176y170176182eq\o(x,\s\up10(－))＝173，eq\o(y,\s\up10(－))＝176，eq\o(b,\s\up10(^))＝eq\f(0×－6＋－3×0＋3×6,02＋9＋9)＝1，eq\o(a,\s\up10(^))＝eq\o(y,\s\up10(－))－eq\o(b,\s\up10(^))eq\o(x,\s\up10(－))＝176－1×173＝3，所以eq\o(y,\s\up10(^))＝x＋3，當x＝182時，eq\o(y,\s\up10(^))＝185.8．(2022·北京海淀模擬)如圖是某地區(qū)2004年至2020年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預測該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2004年至2020年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up10(^))＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2014年至2020年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up10(^))＝99＋17.5t.利用這兩個模型，該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值分別為________，________；并且可以判斷利用