2023-2024學(xué)年湘教版選擇性必修第一冊 3-3拋物線3-3-2拋物線的簡單幾何性質(zhì) 課件（30張）

基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖象范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈R

y≤0,x∈R對稱性對稱軸:x軸對稱軸:

頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)離心率e=1

拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比y≥0,x∈Ry軸

名師點(diǎn)睛1.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心.2.拋物線只有一個頂點(diǎn)、一個焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線.3.拋物線的離心率是確定的,e=1.4.拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線分別在頂點(diǎn)的兩側(cè),且它們到頂點(diǎn)的距離相等,均5.對于拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦(其中AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點(diǎn)F的一條弦,稱為焦點(diǎn)弦,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2))有如下結(jié)論:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)在所有的焦點(diǎn)弦中,垂直于對稱軸的焦點(diǎn)弦弦長最短,稱為拋物線的通徑;(3)若直線AB的傾斜角為α(α≠0),則過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)原點(diǎn)是拋物線y2=2px(p≠0)的對稱中心.(

)(2)在方程y2=2px(p>0)中,對于同一個x,p越大,|y|也越大,說明拋物線的開口越大.(

)(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程不同,但是離心率都是相等的.(

)2.結(jié)合直線與圓相切時直線與圓只有一個交點(diǎn),那么當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點(diǎn),直線與拋物線一定相切嗎?×√√提示可能相切,也可能相交,當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時,直線與拋物線相交且只有一個公共點(diǎn).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例1】已知拋物線y2=8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對稱軸、自變量x的范圍;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長.分析

根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其幾何性質(zhì)求解.解

(1)拋物線y2=8x的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線、對稱軸、自變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),直線x=-2,x軸,x≥0.規(guī)律方法

拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用方法

(1)拋物線的焦點(diǎn)始終在對稱軸上,頂點(diǎn)就是拋物線與對稱軸的交點(diǎn),準(zhǔn)線始終與對稱軸垂直,準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)對稱,頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,大小為

.(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時,要注意利用幾何圖形形象、直觀的特點(diǎn)來解題,特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題.變式訓(xùn)練1已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上不同的兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)F,求直線AB的方程.探究點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系角度1拋物線的焦點(diǎn)弦問題【例2】(1)過拋物線y2=8x的焦點(diǎn),且傾斜角為45°的直線被拋物線截得的弦長為

.

16解析

由拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),得直線的方程為y=x-2,設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2).將y=x-2代入y2=8x得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.所以x1+x2=12,弦長為x1+x2+p=12+4=16.(2)直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則直線l的方程為

.

x+y-1=0或x-y-1=0解析

因為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),若l與x軸垂直,則|AB|=4,不符合題意,所以可設(shè)所求直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).所以所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.規(guī)律方法

直線與拋物線相交的弦長問題直線和拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),直線的斜率為k.(1)一般的弦長公式:|AB|=|x1-x2|.(2)焦點(diǎn)弦長公式:當(dāng)直線經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)時,弦長|AB|=x1+x2+p.變式訓(xùn)練2已知直線l經(jīng)過拋物線y2=6x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn).若|AB|=9,求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.解

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6.于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,角度2直線與拋物線的位置關(guān)系【例3】設(shè)直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x,當(dāng)k為何值時,l與C有一個公共點(diǎn),有兩個公共點(diǎn),沒有公共點(diǎn)?分析

討論由直線方程與拋物線方程組成的方程組的解的情況,就可以判斷直線l與拋物線C的位置關(guān)系.消去y并整理,得k2x2+(2k-4)x+1=0.當(dāng)k≠0時,方程k2x2+(2k-4)x+1=0為一元二次方程.所以Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).當(dāng)Δ=0,即k=1時,l與C有一個公共點(diǎn);當(dāng)Δ>0,即k<1,且k≠0時,l與C有兩個公共點(diǎn);當(dāng)Δ<0,即k>1時,l與C沒有公共點(diǎn).當(dāng)k=0時,直線l的方程為y=1,顯然與拋物線C交于點(diǎn)(,1),這時,l與C只有一個公共點(diǎn).綜上所述,當(dāng)k=1時,l與C有一個公共點(diǎn);當(dāng)k<1時,l與C有兩個公共點(diǎn);當(dāng)k>1時,l與C沒有公共點(diǎn).規(guī)律方法

直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個交點(diǎn),該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時,直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).變式訓(xùn)練3過點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點(diǎn)的直線有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.0條C解析

易知過點(diǎn)(0,1),且斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線y2=4x只有一個公共點(diǎn).當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線方程為y=kx+1,與y2=4x聯(lián)立得k2x2+2kx+1=4x,即k2x2+(2k-4)x+1=0.當(dāng)k=0時,方程有一個解,即直線與拋物線只有一個公共點(diǎn);當(dāng)k≠0時,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直線與拋物線有一個公共點(diǎn).所以滿足題意的直線有3條.故選C.角度3數(shù)形結(jié)合法求解焦點(diǎn)分焦點(diǎn)弦的比值問題

B為y2=6x.設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A,則|AF|=3.過點(diǎn)Q作QQ1⊥l于點(diǎn)Q1,變式探究本例題條件不變,求直線PQ的斜率.規(guī)律方法

拋物線的焦點(diǎn)分焦點(diǎn)弦的比值問題的求法求解過拋物線的焦點(diǎn)的弦與拋物線的交點(diǎn)構(gòu)成的與焦點(diǎn)弦有關(guān)的問題,可以借助拋物線的定義,將過焦點(diǎn)的弦轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,再結(jié)合平面幾何的有關(guān)性質(zhì)(如平行線分線段成比例、三角形相似等知識)求解.探究點(diǎn)三利用拋物線的幾何性質(zhì)求解與拋物線上的點(diǎn)有關(guān)的最值問題【例5】若點(diǎn)P在拋物線y2=x上,點(diǎn)Q在圓(x-3)2+y2=1上,則|PQ|的最小值為

.

規(guī)律方法

求解與拋物線上的點(diǎn)有關(guān)的最值問題,可借助于拋物線的有關(guān)知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解,但要注意拋物線的范圍.變式訓(xùn)練4已知A(2,0),B為拋物線y2=x上的一點(diǎn),則|AB|的最小值為

.

本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:拋物線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率).2.方法歸納:利用幾何性質(zhì)根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)方程思想求解直線與拋物線的位置關(guān)系,根據(jù)函數(shù)最值轉(zhuǎn)化法求與拋物線上的點(diǎn)有關(guān)的最值.3.注意事項:討論拋物線的幾何性質(zhì),一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;焦點(diǎn)弦問題注意應(yīng)用拋物線的定義;直線與拋物線相切和直線與拋物線只有一個交點(diǎn)不是充要條件.學(xué)以致用·隨堂檢測全達(dá)標(biāo)123451.已知拋物線關(guān)于x軸對稱,它的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F,點(diǎn)(4,4)和點(diǎn)P(m,-4)在拋物線上,則|PF|的長為(

)A.2 B.3

C.4 D.5D解析

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),可得42=2p×4,即p=2.因此拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,∵點(diǎn)P(m,-4)在拋物線上,∴(-4)2=4m,解得m=4,∴線段|PF|的長度